(LUẬN văn THẠC sĩ) nghiên cứu lý thuyết hàng đợi và mô phỏng bãi gửi xe tại siêu thị big c hà nội

Trong thực tế, chúng ta bắt gặp rất nhiều các hệ thống được thiết lập bởi các yêu cầu của khách hàng, trong đó các thời điểm xuất hiện được xem như một đại lượng ngẫu nhiên, còn nhu cầu

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ MÔ PHỎNG BÃI GỬI XE TẠI SIÊU THỊ BIG C – HÀ

NỘI

VŨ TUẤN DOANH

THÁI NGUYÊN 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Tác giả

Vũ Tuấn Doanh

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC……… ……… ii

DANH MỤC CÁC BẢNG……… ….……… iv

DANH MỤC CÁC HÌNH……….……… … v

LỜI MỞ ĐẦU……… ……… … 1

Chương 1:CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ HÀNG ĐỢI 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.1.1 Định nghĩa hàng đợi 3

1.1.2 Các tham số đặc trưng của một hàng đợi 3

1.1.3 Các thông số hiệu năng thường dùng khi phân tích hệ thống sử dụng mô hình mạng xếp hàng 6

1.2 Ứng dụng của hệ thống hàng đợi 8

1.2.1 Hệ thống phục vụ 8

1.2.2 Các yếu tố của hệ thống phục vụ 10

1.2.3 Trạng thái hệ thống phục vụ 14

1.3 Kết luận chương 17

Chương 2:NGHIÊN CỨU HÀNG ĐỢI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁNTRONG SIÊU THỊ 18

2.1 Một số hàng đợi trong bài toán mô phỏng siêu thị 18

2.2 Hàng đợi M/M/k 20

2.2.1 Trạng thái ổn định của hàng đợi M/M/k 20

2.2.2 Phân bố dừng của hàng đợi M/M/k 21

2.2.3 Hàng M /M / k / N 21

2.3 Hàng đợi G/G/1 23

2.3.1 Phương pháp phương trình tích phân 24

2.3.2 Hàng đợi M/G/1 26

2.3.3 Các trường hợp đặc biệt của hàng đợi M/G/1 27

2.3.4 Phương pháp chuỗi Markov nhúng áp dụng cho hàng G/M /1 29

2.3.5 Các cận trên của thời gian đợi trung bình của hàng 31

2.4 Một số bài toán tổng quát trong siêu thị 32

2.5 Quy trình sử dụng GPSS mô phỏnghàng đợi 33

2.6 Kết luận chương 35

Chương 3:BÀI TOÁN MÔ PHỎNG BÃI GỬI XE TẠISIÊU THỊ BIG C – HÀ NỘI 36

3.1 Bài toán bãi xe tại siêu thị (mô hình hoạt động đơn giản) 36

3.1.1 Mô tả bài toán 36

3.1.2 Phân tích bài toán 36

3.1.3 Giải bài toán 37

3.1.4 Mô hình GPSS World 38

3.2 Bài toán mô phỏng hoạt động của siêu thị 39

3.2.1 Mô tả bài toán 39

3.2.2 Phân tích bài toán 41

3.2.3 Giải bài toán 42

3.2.4 Mô hình GPSS World 43

3.3 Đánh giá, so sánh kết quả mô phỏng 52

3.4 Kết luận chương 56

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1: Các thành phần trong kí hiệu Kendall 18

Bảng 2.2: Một số phân phối xác suất liên quan đến A và Btrong mô tả Kendall 19 Bảng 3.1 So sánh kết quả tính toán theo lý thuyết với tính toán trong GPSS với thời gian T = 8 giờ 39

Bảng 3.2: So sánh kết quả tính toán theo lý thuyết với tính toán

trong GPSS với T = 8 giờ 52

Bảng 3.3 So sánh kết quả tính toán theo lý thuyết với tính toán trong GPSS theo thời gian T tại mô hình ở mục 3.1 53

Bảng 3.4: Mức độ sai lệch giữa mô phỏng và lý thuyết theo đại lƣợng

“Số xe ô tô đến siêu thị” với mô hình ở mục 3.1 54

Bảng 3.5: Mức độ sai lệch giữa mô phỏng và lý thuyết theo đại lƣợng “Số xe ô tô đƣợc phục vụ tại bãi xe” với mô hình ở mục 3.1 54

Bảng 3.6: Mức độ sai lệch giữa mô phỏng và lý thuyết theo đại lƣợng

“Số xe ô tô đƣợc phục vụ tại bãi xe” với mô hình ở mục 3.2 55

Hình 3.7: Đồ thị phụ thuộc độ sai lệch tính toán giữa GPSS và lý thuyết

theo thời gian 55

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1: Mô hình chung của hệ thống hàng đợi 3

Hình 1.2: Mô hình cơ bản của hệ thống phục vụ 8

Hình 1.3: Mô tả hệ thống phục vụ đám đông 9

Hình 1.4: Sơ đồ trạng thái của hệ thống phục vụ 15

Hình 2.1: Đồ thị biểu diễn tốc độ phục vụ 29

Hình 3.1: Mô hình hàng đợi của bãi xe 36

Hình 3.2: Sơ đồ thuật toán mô phỏng bãi xe 37

Hình 3.3: Mô hình minh họa hoạt động của siêu thị 41

Hình 3.4: Mô hình hoạt động các hàng đợi của siêu thị 41

Hình 3.5 Sơ đồ thuật toán mô phỏng hàng đợi của siêu thị 42

LỜI MỞ ĐẦU

Những năm gần đây, việc ứng dụng công nghệ thông tin vào các hoạt động trong đời sống, xã hội là rất cần thiết Trong thực tế, chúng ta bắt gặp rất nhiều các hệ thống được thiết lập bởi các yêu cầu (của khách hàng), trong đó các thời điểm xuất hiện được xem như một đại lượng ngẫu nhiên, còn nhu cầu được đặc trưng bằng khối lượng các công việc phải làm để phục vụ, thứ tự ưu tiên trước sau, thời gian hoàn thành công việc và toàn bộ công việc Đó là những hệ thống như: Mạng điện thoại, mạng máy tính, hệ thống phục vụ sử dụng phòng máy thực hành, hệ thống các quầy thu ngân trong siêu thị, hệ thống bán vé tự động, sân bay… Những hệ thống này được biết đến với tên gọi hệ thống phục vụ đám đông (hay hệ thống hàng đợi)

Nhìn chung các hệ thống phục vụ đám đông là hệ thống phức tạp, việc vận hành và tính toán các đặc trưng của hệ thống để tư vấn cho nhà quản lý là một vấn đề hết sức cần thiết Trong quá khứ, có rất nhiều dự án xây dựng hệ thống phục vụ phức tạp dựa trên hàng chờ (Queue) không thành công vì đã không đặc tả được chính xác bài toán thực tiễn Việc xây dựng mô hình toán học cho mỗi hệ thống là rất cần thiết để giảm chi phí tối đa cho các hoạt động đặc tả nó Khi đó tính chất đầy đủ của các mô hình mô phỏng cần đạt được việc mô phỏng quá trình làm việc của mỗi phần tử trong hệ thống với việc đảm bảo logic, quy tắc của sự tương tác và phát triển của chúng, cả trong không gian và trong thời gian Các câu hỏi được đặt ra là: Làm thế nào để mô phỏng một hệ thống phức tạp dưới dạng đơn giản nhưng chính xác? Phương pháp nào là khả thi nhất, tối ưu nhất? Có rất nhiều phương pháp đã được đưa ra để giải quyết bài toán trên như: Tính toán bằng các công thức toán học, xây dựng hệ thống phục vụ bằng các ngôn ngữ lập trình (Pascal, C++…), mô phỏng bằng các công cụ mô phỏng (Matlab, Petri Network…)… Để xây dựng

khá phức tạp, khó khăn do khi lập trình chúng ta phải quản lý các sự kiện theo một mô hình nhiều sự kiện xảy ra đồng thời (song song) với việc xây dựng hàm tạo ngẫu nhiên các sự kiện (random) cũng không hề đơn giản , chính vì vậy đã xuất hiện những ngôn ngữ mô phỏng chuyên dụng Một trong những ngôn ngữ chuyên dụng mô phỏng hệ thống phức tạp, rời rạc có hiệu quả và phổ biến nhất hiện nay là General Purpose Simulation System (GPSS), ngôn ngữ này thuộc về lớp ngôn ngữ hướng vấn đề Lĩnh vực áp dụng chính của GPSS là hệ thống phục vụ đám đông Đối tượng của ngôn ngữ này được sử dụng tương tự như: Thành phần chuẩn của một hệ thống phục vụ đám đông ; các yêu cầu , thiết bị phục vụ , hàng đợi… Tập hợp đầy đủ những thành phần như vậy cho phép xây dựng các mô phỏng phức tạp trong khi đảm bảo những thuật ngữ thông thường của hệ thống phục vụ đám đông

Trên thế giới nói chung và ở Liên bang Nga nói riêng, việc nghiên cứu

và ứng dụng của GPSS rất phổ biến và phát triển Tuy nhiên việc triển khai và ứng dụng công cụ mô phỏng GPSS trong giải quyết các bài toán hệ thống phục vụ đám đông vẫn là mới ở Việt Nam

Chính vì vậy, yêu cầu lựa chọn, so sánh, đánh giá các công cụ dựa trên định hướng xây dựng mô phỏng hệ thống phục vụ đám đông là một đề tài mang ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao Với lý do đó, tôi lựa chọn đề tài

“Nghiên cứu lý thuyết hàng đợi và mô phỏng bãi gửi xe tại siêu thị Big C –

Hà Nội” cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ của mình

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ HÀNG ĐỢI

1.1 Các khái niệm cơ bản

Hình 1.1: Mô hình chung của hệ thống hàng đợi

Khách hàng vào hệ thống được đưa vào hàng đợi, đến lượt thì được phục vụ ở server, sau khi được phục vụ xong thì ra khỏi hệ thống Khi dùng hàng đợi ta hiểu là toàn bộ hệ thống xếp hàng bao gồm các yêu cầu đợi phục

vụ và các yêu cầu đang đợi phục vụ và các yêu cầu đang được phục vụ [2]

Hệ thống được mô hình hoá dưới dạng hàng đợi như sau:

Mỗi loại tài nguyên của hệ thống tương ứng với một trung tâm dịch

vụ (server center)

Mỗi giao dịch yêu cầu tài nguyên thứ i sẽ là một khách hàng trong hàng đợi Qi tương ứng với loại tài nguyên đó

1.1.2 Các tham số đặc trưng của một hàng đợi

- Tính chất của dòng khách hàng đến hàng đợi hay phân bố xác suất khoảng thời gian giữa các yêu cầu hàng đợi

- Phân bố xác suất khoảng thời gian dịch vụ cho mỗi yêu cầu trong hàng đợi

- Số các server tại hàng đợi

- Tổng số các yêu cầu hiện đang có mặt tại hàng đợi

( ) ( )

Phân phối Hypexponential (H r): Mỗi giai đoạn trễ trong mô hình E r

có các thời gian dịch vụ khác nhau với các giai đoạn đƣợc phục vụ song song

và chờ để đƣợc lên đầu hàng theo nguyên tắc FCFS và cuối cùng khách hàng nhận đƣợc một lƣợng tử cho quá trình phục vụ khi lƣợng tử này hết

mà khách hàng vẫn chƣa đƣợc phục vụ thì khách hàng đó phải quay lại hàng đợi cho đến khi khách hàng đó đƣợc phục vụ xong

 PS(Processor Shariny) : Trong hệ thống này các bộ vi xử lý đóng vai trò nhƣ server có tốc độ phục vụ cố định Nó có thể phân phối khả năng phục vụ bằng nhau cho các khách hàng trong hệ thống có nghĩa là không có hàng đợi nào trong hệ thống cả Mỗi khách hàng đến lập tức đƣợc phục vụ

 P: Chế độ có ƣu tiên Một số khách hàng đƣợc quyền ƣu tiên hơn

1.1.3 Các thông số hiệu năng thường dùng khi phân tích hệ thống sử

vị thời gian Ví dụ, nếu một hệ điều hành được cung cấp các công cụ để mà đếm số yêu cầu về phục vụ một số tài nguyên (CPU, đĩa ) thì tổng số lần đếm trong một đơn vị thời gian chính là tốc độ đến

- Thông lượng (throughput) của hệ thống xếp hàng hay là tốc độ trung

trong đó Pn là xác suất trạng thái cân bằng khi hệ thống có n khách hàng trong

hệ thống Thông lượng trung bình là trung bình trọng số của các tốc độ dịch

vụ (n) còn các xác suất trạng thái cân bằng Pn được dùng như các trọng số

- Số khách hàng trung bình trong hệ thống xếp hàng :

1

n n

Cách biểu diễn khác, thời gian đáp ứng : R = W+S (thời gian thường

trú bằng tổng thời gian phục vụ và thời gian mà khách hàng đó phải đợi trước khi được phục vụ)

- Thời gian phục vụ (S-service time) được định nghĩa là : S = B

C

Trong đó B - tổng thời gian hệ thống bận trong khoảng thời gian T Đại lượng này không phải là tốc độ mà nó biểu diễn tổng thời gian trung bình để hoàn thành phục vụ một yêu cầu đến

- Thời gian dợi (W-waiting time) thời gian đợi của một khách hàng

trước khi được phục vụ được xác định : W=SQ, trong đó Q - số các khách hàng trung bình trong hàng đợi, S - tốc độ dịch vụ

- Độ hiệu dụng (utilitization) hay là xác suất để hệ thống xếp hàng là không rỗng và tất cả các server bận (trường hợp nhiều server): U = 1 - p o

Cách định nghĩa khác : độ hiệu dạng trung bình U = B

T : Đại lượng này biểu diễn tổng thời gian trung bình mà server hay tài nguyên bị bận trong khoảng thời gian quan sát T Độ hiệu dụng không có đơn vị mà thường được biểu diễn dưới dạng %

- Xác suất để hệ thống xếp hàng là rỗng po

hàng bị từ chối là : PN hay P[quetteing] (trong đó N-kích thước hệ thống)

Nhận xét: Một điều đáng lưu ý là hầu như tất cả các độ đo hiệu năng,

được xét đến đều phụ thuộc vào giá trị của các xác suất trạng thái cân bằng

P n , n = 0, 1, 2 Do vậy để xác định được các độ đo hiệu năng đó cần phải tìm

ra được giá trị của các xác suất trạng thái cân bằng

Các độ đo trên có thể được dùng trực tiếp không chỉ trong các hệ thống xếp hàng đơn mà còn có thể được áp dụng cho một hàng đợi trong mạng xếp hàng nơi mà xác suất trạng thái thành phần của hàng đó

Trong các hệ thống phục vụ, hàng đợi xuất hiện bất cứ lúc nào khi nhu cầu hiện tại đối với dịch vụ vượt quá khả năng cung ứng dịch vụ tại thời điểm

đó Thời gian một yêu cầu đến phải chờ đợi phụ thuộc vào một số yếu tố như:

Số lượng giao dịch trong hệ thống, số kênh giao dịch cung ứng dịch vụ tại thời điểm đó và thời gian phục vụ cho mỗi yêu cầu đến Ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp “hộp đen” hoặc phương pháp “hộp trắng” để mô

A: Phân phối của thời gian vào

B: Phân phối thời gian phục vụ

m: Số máy phục vụ

n: Số chỗ trong hàng đợi

A, B có thể nhận một trong các phân phối sau:

λ: Cường độ xuất hiện của sự kiện đầu vào

µ: Cường độ phục vụ của kênh phục vụ

- M: Phân phối mũ có hàm phân phối:

e x

j

j x

j

x e

x

(1.2) Phân phối Erlang là trường hợp đặc biệt của phân phối Gamma với tham

số hình dạng là số nguyên, được phát triển để dự đoán các thời gian đợi trong các hệ thống hàng đợi

Trong đó:

( )

F x : Hàm phân bố của phân phối

- Hk: Phân phối siêu lũy thừa với hàm phân phối:

e x

F x : Hàm phân bố của phân phối mũ

- D: Phân phối tất định (Deterministic distribution), tức thời gian vào và thời gian phục vụ là hằng số Hàm phân phối của phân phối này:

1, nếu x ≥ x0

F (x) = (1.4)

0, nếu x <x0

- G: Phân phối tổng quát (General distribution)

- GI: Phân phối tổng quát với các thời gian vào hệ thống hoặc thời gian phục vụ độc lập nhau Có các dạng sau:

+ MMPP: The Markov modulated Poisson process

+ The Markovian arrival process

+ BMAP: The Batch Markovian arrival process

- PH: Phân phối pha

1.2.2 Các yếu tố của hệ thống phục vụ

Một hệ thống phục vụ, dù ở qui mô nào, tính chất hoạt động ra sao, đều được đặc trưng bởi các yếu tố chủ yếu sau:

a Dòng vào tiền định

Dòng vào tiền định là dòng vào trong đó nhƣ̃ng yêu c ầu đến hệ thống phục vụ tại các thời điểm cách đều nhau một khoảng a, là một đại lƣợng ngẫu nhiên có hàm phân bố xác suất là:

Dòng vào Poisson đƣợc chia làm hai loại:

- Dòng vào Poisson không dừng: Là dòng vào mà xác suất xuất hiện x yêu cầu trong khoảng thời gian D t, kể từ thời điểm t, phụ thuộc vào t, nghĩa là:

t t a

t t a

e Dt

(

) , (

(1.6) Trong đó: a t D( , t) là số trung bình yêu cầu xuất hiện từ t đến D t

- Dòng vào Poisson dừng: Là dòng vào mà xác suất trong khoảng thời gian D t, kể từ thời điểm t, có x yêu cầu xuất hiện, không phụ thuộc vào t, nghĩa là:

 x

t

t

e Dt

! )





Trong đó: λ là cường độ xuất hiện của dòng yêu cầu

Nếu t là khoảng thời gian giữa lần xuất hiện các yêu cầu liên tiếp, thì t là một đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật chỉ số, nghĩa là t có hàm phân bố xác suất dạng:

e t

Và hàm mật độ xác suất là:

f(t) = λe-λt (1.9)

1.2.2.2 Hàng chờ (Queue)

Hàng chờ là tập hợp các yêu cầu sắp xếp theo một nguyên tắc nào đó

để chờ được vào phục vụ trong hệ thống Trong hàng đợi ta có thể giới hạn hoặc không giới hạn số lượng khách chờ

Khi dòng yêu cầu được phục vụ trên các kênh phục vụ (dòng phục vụ)

là tối giản thì khoảng thời gian giữa các lần xuất hiện liên tiếp các yêu cầu là một đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật chỉ số, nghĩa là đại lượng ngẫu nhiên

có phân bố xác suất dạng:

Và hàm mật độ xác suất có dạng:

f t( ) = μe –μt (1.11) Trong đó:

Nếu dòng phục vụ trên mỗi kênh là dòng tối giản thì thời gian phục vụ của kênh đó là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật chỉ số, nghĩa là có hàm phân phối xác suất và mật độ xác suất dạng (1.10), (1.11)

1.2.2.4 Dòng ra

Dòng ra là dòng yêu cầu đi ra khỏi hệ thống, bao gồm các yêu cầu đã được phục vụ và các yêu cầu chưa được phục vụ

- Dòng yêu cầu ra đã được phục vụ: Đó là những yêu cầu đã được phục

vụ ở mỗi kênh, nếu dòng đó là tối giản thì nó có một vai trò rất lớn trong hệ thống dịch vụ Người ta đã chứng minh được rằng: Nếu dòng vào là tối giản thì dòng ra được phục vụ tại mỗi kênh sẽ là dòng xấp xỉ tối giản

- Dòng yêu cầu ra không được phục vụ: Đây là bộ phận yêu cầu đến hệ thống nhưng không được phục vụ vì một lí do nào đó

1.2.2.5 Nguyên tắc phục vụ của hệ thống dịch vụ

Nguyên tắc phục vụ của hệ thống dịch vụ là cách thức nhận các yêu cầu vào phục vụ của hệ thống đó và các quy định khác đối với yêu cầu Nó chỉ ra:

- Trong trường hợp nào thì yêu cầu được nhận vào phục vụ

- Cách thức bố trí các yêu cầu vào các kênh phục vụ

- Khi nào và trong trường hợp nào thì yêu cầu bị từ chối hoặc phải chờ

- Cách thức hình thành hàng chờ của các yêu cầu

Các yếu tố của phương pháp phục vụ như: tần suất phục vụ, lựa chọn máy phục vụ… Các phương pháp phục vụ bao gồm: FCFS: First Come First Served (yêu cầu nào đến trước phục vụ trước), LCFS: Last Come First Served (yêu cầu đến sau được phục vụ trước), SIRO: Service In Random Order (phục

vụ các yêu cầu theo thứ tự ngẫu nhiên), PS: Processor Shared, IS: Infinitive Server, Static priorities, Dynamic priorities, Preemption (chế độ ưu tiên)

1.2.3.2 Quá trình thay đổi trạng thái của hệ thống phục vụ

Trong quá trình hoạt động, hệ thống phục vụ chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác dưới tác động của dòng vào và dòng phục vụ Xác suất của quá trình đó được gọi là xác suất chuyển trạng thái Nguyên nhân gây ra sự chuyển trạng thái là do tác động của dòng vào và dòng phục vụ, số kênh bận và

số yêu cầu trong hệ thống thay đổi, tức là dưới tác động của dòng phục vụ μ(t)

và dòng vào λ i (t)tại thời điểm t, hệ thống sẽ biến đổi từ trạng thái này sang

trạng thái khác

Hình 1.4: Sơ đồ trạng thái của hệ thống phục vụ

1.2.3.4 Qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái

Căn cứ vào sơ đồ trạng thái, ta thiết lập quan hệ giữa xác suất xuất hiện

trạng thái x k (t): P k (t), với những tác nhân gây ra sự biến đổi trạng thái đó Mối quan hệ này được hiển thị bởi những phương trình toán học chứa xác suất P k (t)

và cường độ dòng chuyển trạng thái của hệ thống

- Nội dung quy tắc:

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của xác suất xuất hiện trạng thái x k (t),

P k (t), bằng tổng đại số của một số hữu hạn số hạng, số các số hạng này bằng

số mũi tên nối liền trạng thái x k (t), với trạng thái x j (t) khác, trong đó số số

hạng mang dấu (+) tương ứng với số mũi tên hướng từ x j (t) về x k (t) ; số hạng

mang dấu (-) tương ứng với số mũi tên hướng từ x k (t) sang x j (t) Mỗi số hạng

có giá trị bằng tích giữa cường độ của dòng biến cố hướng theo mũi tên và xác suất xuất hiện trạng thái mà mũi tên xuất phát

- Hệ phương trình trạng thái:

(k=0,1,2,…,n)

Với điều kiện:

Trong (2.12): λ jk (t) là cường độ dòng biến cố (dòng yêu cầu hoặc dòng

phục vụ) chuyển trạng thái x j (t) về trạng thái x k (t) λ jk (t): ý nghĩa ngược lại P j (t)

là xác suất xuất hiện trạng thái x j (t) ở thời điểm t (trạng thái trong hệ thống có

j kênh đang làm việc) P k (t) ý nghĩa tương tự

dt

t d

k j

k k

j

j

1.3 Kết luận chương

Nội dung chương 1 tập trung vào cơ sở lý thuyết phục vụ đám đông (lý thuyết hàng đợi), bao gồm các mô tả về một hệ thống phục vụ nói chung như: Các yếu tố của hệ thống phục vụ (dòng vào, dòng ra, hàng chờ, kênh phục vụ), trạng thái của hệ thống (quá trình thay đổi trạng thái của hệ thống phục

vụ, sơ đồ trạng thái, quy tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái)

Tâ ̣p trung giải quyết các vấn đề:

Mô tả hệ thống phục vụ: Dòng các yêu cầu vào, hệ thống phục vụ, các kênh phục vụ, dòng yêu cầu ra

Các yếu tố của hệ thống phục vụ: Dòng vào (dòng vào tiền định, dòng vào Poisson); hàng chờ (Queue); kênh phục vụ; dòng ra; nguyên tắc phục vụ của hệ thống dịch vụ

Trạng thái hệ thống phục vụ: Đưa ra định nghĩa; quá trình thay đổi trạng thái của hệ thống phục vụ; sơ đồ trạng thái; qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái (nội dung quy tắc, hệ phương trình trạng thái, định lý Markov)

Chương 2 NGHIÊN CỨU HÀNG ĐỢI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN

TRONG SIÊU THỊ

2.1 Một số hàng đợi trong bài toán mô phỏng siêu thị

Các thành phần cơ bản của một hàng đợi được mô tả ngắn gọn trong kí hiệu Kendall[10] có dạng: A / B / m / K / n / D

Ý nghĩa của các ký hiệu trong mô tả Kendall được trình bày trong bảng 2.1

Bảng 2.1: Các thành phần trong kí hiệu Kendall

Kí hiệu cho A(t) - hàm phân phối thời gian của các lần đến liên tiếp A có giá trị là: M (phân phối mũ), D (phân phối đều), Er( phân phối Erlangian), G (phân phối chung), H (phân phối siêu mũ)

Kí hiệu cho B(t) - hàm phân phối thời gian phục vụ B có giá trị là: M (phân phối mũ), D (phân phối đều), Er( phân phối Erlangian), G (phân phối chung), H (phân phối siêu mũ)

Sau đây là bảng các hàm phân phối xác suất của A và B

Bảng 2.2: Một số phân phối xác suất liên quan đến A và Btrong mô tả

k

j

j t

k

j

t k e

A

1

q )

Trong đó: μj >0, qj>0, j{1 k}, 𝒌𝒋=𝟏𝒒𝒋 = 𝟏

Ví dụ: Hệ thống hàng đợi M/M/3/20/1500/FCFS, có nghĩa là:

- Thời gian giữa các lần đến liên tiếp tuân theo luật phân phối mũ

- Thời gian phục vụ tuân theo luật phân phối mũ

- Thời gian giữa các lần đến liên tiếp theo luật phân phối G (General)

- Phân phối thời gian phục vụ là: G

Đối với bài toán mô phỏng siêu thị, xuất hiện những vấn đề đặt ra nhƣ dòng khách hàng đến mua hàng, thời gian mua hàng, số lƣợng hàng đƣợc

gian thanh toán tiền … Nên nếu nhìn ở mức đơn giản, chỉ coi tổng thời gian tham gia xem hàng, mua hàng, thanh toán tiền là 1 tham số thì sẽ có một bài toán hệ thống phục vụ đơn giản với bài toán mô phỏng bãi gửi xe với 1 hàng đợi duy nhất, và mô hình là M/M/1, G/G/1 Tuy nhiên nếu nhìn nhận hệ thống phức tạp hơn, với bài toán thanh toán tiền, có thể có nhiều quầy thu ngân, ở

đó có thể có những bài toán mô hình nhiều kênh phục vụ M/M/k, G/G/k

Những dạng hàng đợi này sẽ được xem xét kỹ hơn ở các mục sau trong Chương này

2.2 Hàng đợi M/M/k

2.2.1 Trạng thái ổn định của hàng đợiM/M/k

Hàng M /M / k có quá trình đến Poisson, thời gian phục vụ theo phân bố

mũ và k Server Trong trường hợp này chuỗi thời gian liên tục {l(t)} t≥0 với không gian trạng thái {0,1,2, } là một quá trình sinh tử vô hạn có có tốc độ sinhλi = λ và tốc độ tử i min k i( , )  [4]

* Khi λ>k𝜇hay cường độ lưu thông (traffic intensity) 𝜌 = 𝜆

𝜇 > 𝑘 thì hệ thống không đạt được trạng thái ổn định Chuỗi 𝑙(𝑡) t≥0 không hồi qui

(transient) Số các khách hàng trong hệ thống sẽ dần đến vô hạn

* Khi λ = kμ hay ρ = k , chuỗi 𝑙(𝑡) t≥0 hồi qui không (null - recurrent),

hệ thống cũng không đạt trạng thái ổn định Số khách hàng trong hệ thống không tiến về một trạng thái nào Thời gian trung bình để hệ thống xuất phát

từ một trạng thái bất kỳ quay về lại trạng thái này là vô hạn

* Khi λ<kμ hay ρ<k , chuỗi 𝑙(𝑡) t≥0 hồi qui dương (positive recurrent) và

hệ thống đạt được trạng thái ổn định Nghĩa là khi tốc độ đến nhỏ hơn tốc độ phục vụ tối đa của hệ thống thì số khách hàng ở trong hệ thống có khuynh hướng tiến về không và hệ thống quay trở lại trạng thái 1 nếu có một khách hàng mới đến khi hệ thống đang rỗng

* Tại thời điểm t bất kỳ đặt là khoảng thời gian cho đến khi khách hàng tiếp theo rời khỏi hệ thống Định lý Burke phát biểu rằng khi t →∞ thì d (t) có

phân bố mũ vớitham số λ và độc lập với số khách hàng trong hệ thống tại thời

điểm t Nói cách khác, chuỗi giới hạn các khách hàng rời khỏi hệ thống M /M / k là một quá trình Poisson tham số λ (Burke, 1976)

2.2.2 Phân bố dừng của hàng đợi M/M/k

Khi  k hay   k



  thì hệ thống đạt trạng thái ổn định có phân bố dừng thoả mãn [7]:

Đây là hàng có quá trình đến Poisson với tốc độ λ , thời gian phục vụ

có phân bố mũ tốc độ 𝜇 với k Server Trạng thái của hệ thống bị giới hạn bởi

số lượng N Khi một khách hàng đến hệ thống thì xảy ra hiện tượng sau: Nếu

đã có đủ N khách hàng trong hàng thì lập tức khách hàng này rời khỏi hệ

thống còn trường hợp ngược lại thì khách hàng sẽ xếp vào xếp hàng Như vậy không gian trạng thái của chuỗi 𝑙 𝑡 t≥0 là {0,1,…,N}, đây là một quá trình sinh tử hữu hạn Chuỗi l(t) chuyển từ trạng thái i đến i +1 khi một khách hàng đến và đổi trạng thái i về i −1 khi một phục vụ vừa hoàn tất Tốc độ sinh là

hằng số λi= λ với mọi 𝑖 = 1,2, … Tốc độ tửμi = min(k,i)𝜇

Hệ thống đạt trạng thái ổn định với phân bố dừng thoả mãn:

♦ Khi N = k ta đƣợc công thức mất của Erlang (Erlang's loss formula)

Ví dụ: Về mô hình M/M/1 (mô hình xếp hàng một kênh, lƣợng khách hàng đến theo phân phối Poisson và thời gian phục vụ tuân theo hàm mũ)

2.2.4 Phát biểu bài toán:Một tổng đài quân sự có một trung kế gọi ra

mạng dân sự Ƣớc tính có trung bình 15 cuộc gọi/giờ (cuộc gọi ra ngoài mạng QĐ) Thời gian trung bình mỗi cuộc gọi là 3 phút

a Xác định tải trọng của hệ thống

b Tính % thời gian chờ của hệ thống

c Tính số lƣợng cuộc gọi xếp hàng trong hệ thống

d Tính thời gian trung bình của cuộc gọi trong hệ thống

e Tính xác suất khi hệ thống phục vụ hết cuộc gọi (call=0) và khi (call=4)

2.3 Hàng đợi G/G/1

Hệ thống có 1 Server, quá trình đến là tổng quát nhƣng các thời gian đến

trung gian tn độc lập, có cùng phân bố và có kỳ vọng chung là E[t1] Thời gian phục vụ trong mỗi chu kỳ cũng độclập, cùng phân bố và có kỳ vọng

chung E[s 1 ] Kendall ký hiệu hệ thống này là G/G/1 (cũng cókhi ký hiệu GI

Ta sẽ đưa ra 3 phương pháp để phân tích các trường hợp đặc biệt đối với

quá trình sắp hàng G/G/1

- Phương pháp thứ nhất được gọi là phương pháp phương trình tích

phân Phương pháp này đưa bài toán tìm các phân bố giới hạn thời gian đợi

của khách hàng thứ n (khi n→∞) về bài toán giải phương trình tích phân dạng

Wiener - Hopf

- Phương pháp thứ 2 khảo sát chuỗi Markov nhúng (Embedded

Markov Chain) Nếu quá trình đến là Poisson thì chuỗi Markov nhúng được xét là độ dài của hàng tại những thờiđiểm khi có một khách hàng vừa được phục vụ xong

Nếu thời gian phục vụ có phân bố mũ và quá trình đến có phân bố tổng quát thì chuỗi Markov nhúng có được bằng cách kê khai kích thước của hàng tại mỗi thời điểm khi có một khách hàng mới đến Khi đó quá trình trở thành một chuỗi Markov với cấu trúc đặc biệt

-Phương pháp thứ 3 nghiên cứu các tính chất của biến ngẫu nhiên W(t) là thời gian một khách hàng phải đợi nếu anh ta đến hệ thống tại thời điểm t Đại

lượng này được gọi là thời gian đợi thực sự của khách hàng với giả thiết

khách hàng đến hệ thống tại thời điểm t.

2.3.1 Phương pháp phương trình tích phân

Rõ ràng W n + s n là khoảng thời gian khách hàng thứ n ở trong hệ thống (thời gian chờ +thời gian phục vụ) Do đó, nếu t n >W n + s nthì khi khách hàng

thứ n +1 đến sẽ không có ai trong hàng vì vậy thời gian đợi W n+1= 0 Trường

hợp t n ≤W n + s n thì thời gian đợi là W n + s n − t n Tóm lại

( 1)

0

n n n n n n n

𝑈𝑛 𝑛=1∞ là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố với U Giả sử

F n (x)là hàm phân bố của 𝑊𝑛và g(x) là hàm mật độ phân bố của U Vì W n và U n

là các biến ngẫu nhiên độc lập, do đó với mọi x ≥ 0:

Dãy hàm 𝐹𝑛(x) 𝑛=1∞ không tăng, không âm nên hội tụ về hàm F(x) ,∀x∈

R Chuyển qua giới hạn của đẳng thức (2.8) ta được:

F (x) = 𝑦≤𝑥𝐹(x-y)g(y) dy (2.11)

Đặt z= x-y ta được:

F (x) = − 𝐹(𝑧)𝐺0∞ (x-y) dz = F(x)* g(x) (2.12)

Từ đây ta có một số nhận xét như sau: [5]

(i) Với mọi x < 0, F(x) = 0

(ii) Nếu E[U ] = −∞∞ 𝑥 𝑔 𝑥 dx ≥ 0, thì F(x) = 0, ∀x∈R< 0

(iii) Nếu E[U ] = −∞∞ 𝑥 𝑔(𝑥)dx<0 thì F(x) là hàm phân bố (là hàm không

giảm, liên tục trái và thoả mãn:

lim

𝑥→−∞ 𝐹 𝑥 = 0 , lim

𝑥→∞ 𝐹 𝑥 = 1Thời gian từ lúc một khách hàng rời khỏi hệ thống và hệ thống trở thànhrỗng cho đến khi có một khách hàng tiếp theo đến hệ thống gọi là chu kỳ rỗi của hệ thống Ký hiệu chu kỳ rỗi thứ n là in [8]

Nếu E[U]<∞ thì hệ thống đạt được trạng thái ổn định và thời gian đợi

trung bình trong hàng

Wq= E[ 𝑈2]

−2E[𝑈] - E [ 𝑖1 2]

trong đó i1 là chu kỳ rỗi đầu tiên

Nhận xét: Nếu ta tính được moment cấp1 và cấp 2 của thời gian rỗi i 1

thì công thức (2.13) cho ta tính được thời gian đợi trung bình của hàng Wq

Dựa vào "kết quả nhỏ" sẽ cho phép tính được các số đo hiệu năng còn lại

L, Lq và W

2.3.2 Hàng đợi M/G/1

Ta giả thiết quá trình đến Poisson tốc độ λ, nghĩa là quá trình đến trung

gian t n có phân bố mũ tốc độ λ Quá trình phục vụ 𝑠𝑛 được xét một cách tổng quát nhưng giả thiết thời gian phục vụ trong các chu kỳ là độc lập với nhau và có cùng luật phân bố

E [t 1 ]= 1

λ, E [t 1 2 ] = λ2

Do đó cường độ lưu thông