Chuyên đề 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối 2 Tính chất của giá trị tuyệt đối 3 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý bất đẳng thức (1) dấu “=” xảy ra khi (2) Dấu “=” xảy ra khi (3) dấu “=” xảy ra khi II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1 Tìm đại lượng chưa biết Ví dụ 1 Tìm các số x và y biết a) b) c) d) e) Ví dụ 2 Tìm các số x và y biết a) b) Ví dụ 3 Tìm x, biết a) b) Hướng dẫn a) x = 9 b) x = 50 Ví dụ 4 Tìm x, biết rằng a) b) c) 2 Tìm.
Trang 1Chuyên đề 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối.
2 Tính chất của giá trị tuyệt đối.
3 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Chú ý bất đẳng thức: (1) M �M,dấu “=” xảy ra khi M �0
(2) a b �a b Dấu “=” xảy ra khi a b. �0.
(3) M �M, dấu “=” xảy ra khi M �0.
II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
1 Tìm đại lượng chưa biết
2
x C
x
, với x là số nguyên.Hướng dẫn : c) Xét các trường hợp : x �2 C 1.
Xét x = -1 thì C = 1
Xét x > 0 Khi đó A lớn nhất khi x nhỏ nhất => x = 1
So sánh các trường hợp suy ra GTLN của A là 3
3 Rút gọn các biểu thức chứa dấu GTTĐ
Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 3BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức:
Bài 5: Tìm các số x, y, z, t sao cho x y y z z t t x 2021.
Bài 6 : Tìm GTNN của các biểu thức sau :
Trang 4Bài 1 : Tìm các số nguyên dương thỏa mãn
1 1 1
7
a b
.Bài 2 : Cho các số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng
Trang 5Chuyên đề 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ HỮU TỈ.
Trang 6x y
và
25 125.
Trang 8�
� �
�Xét (1): Nếu có một trong các số a, b, c bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0
Xét (2): Vì abc = 36 và ab = c nên có c2 36�c�6. Từ abc = 36 và bc = 4a ta được
4a 36�a 9�a�3. Tương tụ, suy ra b �2
Lập luận và tìm được 5 bộ số (a; b; c) là (0; 0; 0); (3; 2; 6); (-3; -2; 6); (3; -2; -6); (-3; 2; -6)
Bài 13: Số 300! Có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Hướng dẫn:
Bài 14: Một lớp học có 44 HS làm bài kiểm tra môn toán Điểm là một số tự nhiên từ 6 đến 10 Biết cả lớp có
6 HS được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng có 10 HS được cùng một loại điểm
Hướng dẫn:
Bài 15: Một tổ có 11 HS thảo luận về học tập Có 1 HS phát biểu 4 lần, các HS khác đều phát biểu nhưng số
lần phát biểu ít hơn Chứng minh rằng ít nhất cũng có 4 HS có số lần phát biểu như nhau
Hướng dẫn:
Bài 16: Có 50 quyển vở chia cho 11 HS Chứng minh rằng:
a) Ít nhất cũng có 1 HS được 5 quyển vở trở lên
b) Với mọi cách chia (kể cả trường hợp không có HS được quyển nào), bao giờ cũng có ít nhất hai HS được một số vở như nhau
Hướng dẫn:
Bài 17: Cho 400 số hữu tỉ trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm Chứng minh rằng:
a) Tích của 400 số đã cho là một số dương
b) Tất cả 400 số đã cho đều là số âm
Hướng dẫn:
Bài 18: Cho số
5056
1,0155
a �� ��
� � Chứng minh rằng nếu viết số a dưới dạng số thập phân thì số a sẽ có ít nhất 99 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phảy
Hướng dẫn:
Trang 9Bài 19: Cho 11 số nguyên khác nhau có tổng bằng 390 Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 6 số trong các
số đó, sao cho tổng của chúng không vượt quá 195
Hướng dẫn:
Trang 10
-BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm x biết:
Bài 5: Tìm các số nguyên dương m và n, sao cho 2m 2n 256
Bài 6: Một bảng vuông 3 x 3 ô Trong mỗi ô của bảng viết số 1 hoặc -1 Gọi di là tích các số trên dòng (i
= 1, 2, 3), cklà tích các số trên cột k (k = 1, 2, 3).
a) Chứng minh rằng không thể xảy ra d1 d2 d3 c1 c2 c3 0.
b) Xét bài toán tương tự với bảng vuông n x n
Bài 7: Cho n số x x1, , ,2 xn mỗi số bằng 1 hoặc – 1 Biết rằng tổng của n tích x x x x x x1 2, 2 3, 3 4, , x xn 1
bằng 0 Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
Bài 8: Tìm các giá trị của x sao cho:
a) M x 10 x 7 0 b) N 98x x320. c) x2 x
Bài 9: Tìm số tự nhiên x lớn nhất thỏa mãn: 2.2 2 22 3 x 2048
Trang 11Bài 10: Cho 40 số hữu tỉ Chứng minh rằng:
a) Nếu tổng của bất kỳ ba số nào trong chúng cũng là một số âm thì tổng của 40 số đó là một số âm
b) Nếu tổng của bất kỳ ba số nào trong chúng cũng là một số dương thì tổng của 40 số đó là một số dương
Chuyên đề 3: TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
Dạng 1: Tìm đại lượng chưa biết
Bài 1: Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:
Trang 12c) Cho 4 số nguyên dương a b c d, , , trong đó b là trung bình cộng của a và c và
1 1 1 1
.2
� �
� � Chứng minhrằng bốn số đó lập thành một tỉ lệ thức
Bài 9: Cho 4 số a b c d, , , khác 0 và thỏa mãn b2 ac c; 2 bd Chứng minh rằng:
Dạng 3: Các bài toán có nội dung thực tế.
Bài 1: Ba đội công nhân cùng tham gia trồng cây Biết rằng một nửa số cây đội I trồng bằng
16 số cây lớp 7B trồng được Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Bài 3: Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 5; 3; 2 Biết thể tích của
bể nước là 15360 dm3 Tính chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể nước
Trang 13Bài 4: Ba đơn vị thanh niên có tất cả 112 người Nếu đơn vị I thêm
Trang 14BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm các số x, y, z biết:
trong đó x, y, z tỉ lệ với 2, 3, 4 Tính giá trị của M.
Bài 3: Cho biết abc bca cab
bc ca ab
Tính tổng S a b c
bc ca ab
Bài 4: Cho biết 3x y 7 y z 5 z x Chứng minh rằng y x9 z y14 .
Bài 5: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Trang 15ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSNK LẦN 1
Bài 1: (1,0 điểm) Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh 2012 2011
Trang 16x B x
Bài 7: Cho 400 số hữu tỉ trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm Chứng minh rằng:
a) Tích của 400 số đã cho là một số dương
b) Tất cả 400 số đã cho đều là số âm
Bài 8: Cho hình vẽ sau, tính tổng số đo: a + b + c + d + e
Trang 17Chuyên đề 4: TOÁN SUY LUẬN; PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Bài 2: Nếu tổng của 9 số bằng 10 thì có ít nhất một số lớn hơn 1.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu nhốt 37 con thỏ vào 12 cái chuồng thì có ít nhất một cái chuồng nhốt nhiều hơn 3
Bài 7: Cho 2021 số nguyên dương a a a1, , , ,2 3 a2021thỏa mãn 1 2 2021
1011
a a a
Chứng minh rằng
ít nhất hai trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau
Bài 8: Cho 10 số nguyên dương 201; 202; 203;…; 210 Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng
Trừ mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được mười hiệu Chứng minh rằng trong 10 hiệu đó tồn tại ít nhất hai hiệu có chữ số tận cùng giống nhau
2 Nguyên lí Dirichlet
Bài 1: Một lớp học có 44 HS làm bài kiểm tra môn toán Điểm là một số tự nhiên từ 6 đến 10 Biết cả lớp có 6
HS được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng có 10 HS được cùng một loại điểm
Hướng dẫn:
Bài 2: Một tổ có 11 HS thảo luận về học tập Có 1 HS phát biểu 4 lần, các HS khác đều phát biểu nhưng số
lần phát biểu ít hơn Chứng minh rằng ít nhất cũng có 4 HS có số lần phát biểu như nhau
Hướng dẫn:
Bài 3: Có 50 quyển vở chia cho 11 HS Chứng minh rằng:
a) Ít nhất cũng có 1 HS được 5 quyển vở trở lên
b) Với mọi cách chia (kể cả trường hợp không có HS được quyển nào), bao giờ cũng có ít nhất hai HS được một số vở như nhau
Bài 4: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 201720172017 20170 0 chia hết cho 2016.
Bài 5: Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì luôn có thể chọn được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng
chia hết cho 100
Hướng dẫn: Khi chia một số cho 100 có 100 số dư từ 0 đến 99 Chia các số dư này thành các nhóm:
Trang 18 0 ; 1;99 ; 2;98 ; ; 49;51 ; 50
(Có 51 nhóm) Có 52 số nguyên nên sẽ có hai số nào đó thuộc cùng một nhóm trong các nhóm trên, do đó tổng hoặc hiệu của hai số này sẽ chia hết cho 100
Trang 19BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho 400 số hữu tỉ trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm Chứng minh rằng:
a) Tích của 400 số đã cho là một số dương
b) Tất cả 400 số đã cho đều là số âm
Hướng dẫn:
a) Trong 400 số đã cho có ít nhất một số âm, vì nếu không thì tích của ba số bất kỳ không thể là số âm Ta táchriêng số âm đó ra, còn 399 số Ta chia 399 số này thành 133 nhóm, mỗi nhóm 3 số Theo bài ra tích của mỗi nhóm này là số âm vì thế tích của 133 nhóm hay tích của 399 số này là số âm Nhân thêm số âm đã tách ra ta được tích của 400 số này là số dương
b) Ta xếp thứ tự 400 số đã cho a1� � �a2 a398�a399�a400 Trong các số này không thể có số nào là số 0 vì
nếu không thì tích của ba số bao gồm số 0 đó sẽ bằng 0 (mâu thuẫn) Ta thấy a3980 vì nếu a398 0 thì
1,0155
a �� ��
� � Chứng minh rằng nếu viết số a dưới dạng số thập phân thì số a sẽ có ít nhất
99 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phảy
Từ đây suy ra a có ít nhất 99 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phảy
Bài 3: Cho 11 số nguyên khác nhau có tổng bằng 390 Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 6 số trong các số
đó, sao cho tổng của chúng không vượt quá 195
Hướng dẫn: Gọi 11 số đã cho là a a1; ; ;2 a Giả sử 11 a1 a2 a11 Xét số a 6
Nếu a6 � �35 a6 a5 a1�35 34 33 32 31 30 195. Vậy 6 số trên thỏa mãn đề bài.
Nếu a6 35�a7 a8 a11�37 38 39 40 41 195 Suy ra a1 a2 a6 �390 195 195 .
Bài 4: Nếu a, b là các số tự nhiên với tích ab là số lẻ thì a và b đều là số lẻ.
Bài 5: Cho số nguyên tố p > 3 Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng
20 chữ số Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất ba chữ số giống nhau
Hướng dẫn: Giả sử trong 20 chữ số trong cách viết thập phân của p không có ba chữ số nào giống nhau n
Suy ra mỗi chữ số trong 10 chữ số 0; 1; 2; …; 9 xuất hiện đúng hai lần Do đó tổng các chữ số của p là n
2 0 1 2 9 90 3M� p nM3� pM3
Điều này mâu thuẫn vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
Bài 6: Trên một đường tròn người ta xếp các số 1, 2, 3, …, 10 (mỗi số xuất hiện đúng một lần).
Trang 20a) Chứng minh rằng khơng tồn tại cách sắp xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn 10.
b) Tồn tại hay khơng một cách sắp xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10
b) Tồn tại một cách sắp xếp như trên Ví dụ:
Bài 7: Người ta sơn 2000 chiếc hộp (sơn cả hộp một màu) Chứng minh rằng cĩ ít nhất một phát biểu đúng
trong các phát biểu sau:
1 Cĩ ít nhất 45 hộp cùng màu
2 Cĩ ít nhất 45 chiếc hộp cĩ màu khác nhau từng đơi một
Hướng dẫn: Giả sử cả hai phát biểu đều sai Tức là chỉ cĩ nhiều nhất 44 màu sơn và nhiều nhất 44 hộp khác màu từng đơi một Khi đĩ cĩ tất cả 44.44 = 1936 hộp được sơn Suy ra đpcm
Bài 8: Chứng minh rằng tồn tại số cĩ dạng 201920192019 2019chia hết cho 2017.
Hướng dẫn: Xét dãy các số: 2019; 20192019;…;2019…2019 (2018 bộ số 2019) Khi chia một số cho 2017 thì
cĩ thể cĩ 2017 số dư: 0; 1; 2;…;2016 Như vậy cĩ ít nhất hai số trong dãy trên cĩ cùng số dư khi chia cho
2017 Giả sử hai số này là: a m 2019 2019(mbộ số 2019); an 2019 2019nbộ 2019 vớ, i m>n.
Khi đĩ 2019 201900 0(m nbộ 2019;4n số 0) 2019 2019.104n 2017
m n
suy ra 2019 2019m n bộ 2019M2017
Bài 9: Với 25 số tự nhiên cĩ 4 chữ số đơi một khác nhau và được lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4 Chứng minh
rằng trong 25 số ấy cĩ thể tìm được hai số bằng nhau
Hướng dẫn: Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4 lập được 4.2.3= 24 số tự nhiên cĩ 4 chữ số khác nhau Cĩ 25 số tự nhiên
cĩ 4 chữ số đơi một khác nhau nên sẽ cĩ ít nhất hai số bằng nhau
Bài 10: Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ, ta luơn tìm được ba số mà tổng của chúng chia hết cho 3 Bài 11: Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên tùy ý bao giờ ta cũng chọn được 15 số mà hiệu của hai số bất
kì trong 15 số ấy chia hết cho 7
Bài 12: Với số lượng tối thiểu bao nhiêu học sinh thì ta cĩ thể tìm được 2 học sinh cĩ cùng ngày tháng sinh Bài 13: Trong một chiếc hộp cĩ chứa các viên bi cĩ 3 màu: xanh, đỏ, vàng (số bi mỗi màu đều lớn hơn 10)
Bạn An cần lấy ít nhất bao nhiêu viên bi trong một lần để số bi được lấy ra khơng ít hơn 3 viên của một màu nào đĩ
Trang 22CHUYÊN ĐỀ 5: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
II BÀI TẬP.
Bài 1: Cho 4 đường thẳng a, b, c, d cắt nhau tại O.
a) Hỏi có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh
b) Chứng minh rằng trong các góc tạo thành có một góc nhỏ hơn hoặc bằng 450
Bài 2: Cho góc xOy và tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy Gọi Om, On lần lượt là tia phân giác của góc xOz và
yOz Giả sử góc mOn = 900 Chứng minh rằng Ox và Oy là hai tia đối nhau
Bài 3: Cho góc xOy nhọn Dựng Om vuông góc với Ox sao cho Om, Oy khác phía đối với Ox Dựng On
vuông góc với Oy sao cho On, Ox khác phía đối với Oy
a) Chứng minh rằng �xOn�yOm.
b) �xOy�mOn180 0
Bài 4: Trong hình 1, Tính góc N1
Bài 5: Trong hình 2, Cho biết Ax // By; �A m 0;�O m 0n0 0m n, 90 Tính góc B.
Bài 6: Trong hình 3, biết EF song song với GH và �F �O�H x. Tính x.
Bài 7: Trong hình 4, cho biết
Bài 8: Cho hình 5, biết rằng �B�O�C120 0 Chứng minh rằng AB // CD.
Bài 9: Cho hình 6, biết Ax//By Chứng minh rằng �A�B�AOB.
Bài 10: Cho hình 7, có �MOP130 ,0 �M 60 0 Tìm số đo góc P để MN song song với PQ.
Bài 11: Cho hình 8, biết Tính số đo góc xOy.
Bài 12: Cho 5 đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song
Chứng minh rằng tồn tại cặp đường thẳng tạo thành với nhau một góc không quá 360
Trang 23Bài 13: Cho đường thẳng d và 5 điểm không nằm trên d Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 đoạn thẳng có đầu
mút là 2 trong 5 điểm đó không cắt d
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho 8 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song Chứng minh rằng có ít nhất hai
đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc nhỏ hơn 230
Bài 2: Cho đường thẳng d và 7 điểm không nằm trên d Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 6 đoạn thẳng có đầu
mút là 2 trong 7 điểm đó không cắt d
Bài 3: Cho hình vẽ (H9), biết góc A và góc B là những góc tù và � � йA B C 360 0 Chứng minh rằng Ax
và By không song song
Bài 4: Cho hình 10, biết a song song với b và �A1 � Chứng minh rằng B1 �ACD�BDC
Bài 5: Cho hai tia Ax và By song song với nhau, Ax và By cùng phía đối với AB Gọi C là điểm bất kì trên
mặt phẳng, biết �CAx;�CBy. Tính góc ACB.
Bài 6: Cho góc xOy = 300, điểm A nằm trên tia Ox Qua A kẻ tia At Xác định góc xAt để tia At song song vớiOy
Bài 7: Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a vẽ 2016 đường thẳng phân biệt Chứng minh rằng ít nhất cũng
có 2015 đường thẳng cắt a
Bài 8: Cho hình 11 Tính góc ACB.
Trang 24CHUYÊN ĐỀ 6: TAM GIÁC BẰNG NHAU.
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Cần ôn tập về ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
2 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC, N là trung
điểm của cạnh BC Chứng minh:
a) AM là tia phân giác của góc BAC b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng
c) MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết �A�AEC�ADB,�BFC105 0 Tính góc A.
Bài 3: Cho tam giác ABC Tia phân giác góc B và tia phân giác góc ngoài tại
đỉnh C của tam giác ABC cắt nhau tại D Biết góc BDC = 370 Tìm số đo
của góc A
Bài 4: Cho hình vẽ sau.
a) Tìm các cặp tam giác bằng nhau
b) Chứng minh AB // CD
Bài 5: Cho hình vẽ sau, biết AB = AD, EB = ED; CB = CD.
Chứng minh rằng A, E, C thẳng hàng
Bài 6: Cho hình vẽ sau, biết AB = AD, CB = CD Chứng minh rằng AC vuông góc với BD.
Bài 7 : Cho tam giác ABC có góc B < 900 Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC, vẽ tia Bx vuông góc với BC, trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng có chứa C bờ AB vẽ tia By vuông góc với BA, trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA Chứng minh:
Hướng dẫn:
Trang 25a) Chứng minh tam giác ABD = EBC.
b) Gọi giao điểm của DA với BC và EC theo thứ tự là H và K Chứng minh tam giác HCK vuông tại K
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB (D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC (E khác phia đối với AC)
Chứng minh rằng
a) DC = BE b) DC vuông góc với BE
Hướng dẫn:
Bài 9: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của
AC Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = MC Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB Chứng minh rằng A là trung điểm của MN
Bài 10: a) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh BC.
Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A nhọn, AB = AC Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc với
AB tại E Gọi O là giao điểm của BD và CE
a) Chứng minh BD = CE b) Chứng minh ODC OEB.
c) Chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC
Bài 12: Cho tam giác ABC Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD và ACE có AB =
AD, AC = AE Kẻ AH vuông góc với BC, DF vuông góc với AH, EN vuông góc với AH Chứng minh
a) DF = AH b) MN đi qua trung điểm của DE
