Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án Đề 19 §Ò thi vµo líp 10 THPT chuyªn Lam S¬n(4) M«n To¸n chung Thêi gian lµm bµi 150 Bµi 1 (2 5 ®iÓm) Cho biÓu thøc A = 1 2 1 1 1 2 1 aaaa a aa a a Rót gän biÓu thøc A b TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi 200522006a Bµi 2 (3 0 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 0 022 mmyx xyx a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 b T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ® cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt c Gäi (x1; y1) vµ ( x2; y2 ) lµ c¸c nghiÖm cña hÖ.
Trang 1Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn(4) Môn: Toán chung
Thời gian làm bài : 150'
Bài 1 (2.5 điểm):
1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a a
a.Rút gọn biểu thức A
b.Tính giá trị biểu thức A khi a 2006 2 2005
Bài 2 (3.0 điểm):
Cho hệ phương trình:
0
0
2 2
m my x
x y x
a.Giải hệ phương trình khi m = 1
b.Tìm m để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
c Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là các nghiệm của hệ phương trình đã cho CMR: (x2- x1 )2 + ( y2 - y1 )2 1.
Bài 3 ( 1.5 điểm):
Tìm các nghiệm nguyên dương của phươnh trình
7 5
5 7 2
2
2
x x
x x y
Bài 4 ( 3.0 điểm):
Cho ABC có B = 90 0 và A > 60 0 Gọi M là trung điểm của AC
Đường vuông góc hạ từ A xuống BM cắt cạnh BC tại I Vẽ đường tròn tâm tiếp xúc với AC tại K đường thẳng qua A tiếp xúc với (I) tại E ( E K) cắt
đường thẳng BM tại N
a.Chứng minh 5 điểm A, B, E, I, K cùng nằm trên một đường tròn
b.Tứ giác EKMN là hình gì ? Tại sao ?
c CMR: NEB cân
Trang 2
Đáp án và thang điểm môn toán chung
Kỳ thi tuyến sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn.
Bài 1 (1.5 điểm):
a (2.0 điểm) Điều kiện: a 0
0.25
A =
1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a a
0.5
) 1 )(
1 (
2 1
1 : 1
1 2
a a
a a
a
a a
0.5
) 1 )(
1 (
2 1 : 1
) 1
a a
a a
a a
0.5
2 2
) 1 )(
1 (
) 1 )(
1 ( ) 1 (
a a
a a a
1 a 0.25
b ( 0.5 điểm )
Khi 2
) 1 2005 ( 2005 2
a
0.25
Thì A = 1 + ( 2005 1 )2 2005
0.25
Bài 2( 3.0 điểm):
a.( 1.0 điểm )
Hệ phương trình
) 2 ( 0
) 1 ( 0
2 2
m my x
x y x
Từ (2) x = m - my Thay vao (1) Ta đợc
(m2 + 1 ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 - m = 0 (3) 0.25 Khi m = 1 thì phương trình (3) trở thành
0.25
2
1 2
1
1 0
2 2
1 1
x y
x y
Trang 3Hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và ( ; ) 0.25
2
1 2 1
b ( 1.0 điểm )
Từ x = m - my mỗi giá trị y tương ứng với 1 giá trị x
Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt 0.25
m( 4-3m) > 0 0 < m < 0.5
0
0 1
2
m
3 4
Vậy với m (0; ) thì hệ có 2 nghiệm phân biệt. 0.25
3 4
c.( 1.0 điểm )
với m (0; ) thì phương trình (3)có 2 nghiệm phân biệt y 1, y2 thoã mãn:
3 4
và
1
1 2
2
2
2
1
2 2
2
1
m
m m
y
y
m
m m
y
y
2 2
1 1
my m x
my m x
x1 - x2 = m - m y2 - m + m y1 = m ( y1 - y2 ) 0.25
Suy ra : ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1)2 = 1- m 0.75
m
1 1
) 1 2 (
2 2
Bài 3 ( 1.5 điểm):
T XĐ : x R
Từ
7 5
5 7 2
2
2
x x
x x y
(x2 - 5x + 7 )y =2x2- 7x +5
(y - 2)x2 + (7 - 5y ) x +7y - 5 = 0 *
+ Nếu y = 2 thay vào * ta đợc x = 3
=> (3;2) là nghiệm nguyên dương của phương trình 0.25 + Nếu y 2 thì * là phương trình bậc 2 đối với x Phương trình có nghiệm
-y2 + 2y + 3 0 -1 y 3 0.25
Do y nguyên dương và y 2
3
1
y y
Với y = 3 x = 4 (thoã mãn)
Vậy phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm nguyên dương là
(3;2) và (4;3) 0.25
Bài 4 ( 3.0 điểm):
Trang 4a ( 1.0 điểm)
Có ABI = 90 0 (gt) 0.25
AEB = 90o (vì AE là tiếp tuyến ) 0.25
AKI = 90o(vì AK là tiếp tuyến ) 0.25
B, E,K cùng nhìn đoạn thẳng AI cố định dới một góc vuông
A, B, E, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính AI 0.25
b (1.0 điểm)
Ta sẽ chứng minh tứ giác EKMN là hình thang cân
Có EK AI và AE = AK ( hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm)
0.25 Mặt khác MN AI nên suy ra EK // MN
0.25
mà AE = AK
0.25
Vậy tứ giác EKMN là hình thang cân
0.25 c (1.0 điểm) * Theo câu b : A, B, E, I nằm trên một đường tròn nên AIB = AEB = NEB (cùng chắn cung AB ) (1) 0.25
và EBI = EAI ( góc nội tiếp cùng chắn cung EI ) *Lại có EAI = IAC (tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm) suy ra EBI = IAC (2)
* M là trung điểm của AC nên MB = MC ( do ABC vuông tại B ) BMC cân tại M MBC = MCB (3) 0.25 *Kết hợp (2) và (3) MBC + EBI = MCB + IAC Mặt khác MBC + EBI = MBE và MCB + IAC = AIB (góc ngoài tam giác) MBE = AIB (4)
0.25
*Từ (1) và (4) MBE = NEB NBE cân tại N.(đpcm)
0.25