Trong cuộc sống, bài toán cực trị có ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau: tài chính, nông nghiệp, khoa học… Vì vậy, không thể bỏ qua được tầm quan trọng của bài toán cực trị trong kinh tế. Liệu việc vân dụng các bài toán cực trị sẽ giúp doanh nghiệp, người mua, người bán tối đa hóa sản lượng, lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí hay đưa ra những lựa chọn tiêu dùng tối ưu nhất trên thị trường không?
Trang 1BÀI THẢO LUẬN
Đề tài 4: Bài toán cực trị trong giải quyết một số vấn đề của
Kinh tế
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thu Thủy Nhóm thực hiện: nhóm 12
Lớp học phần: 20106AMAT1011
1
Trang 2Danh sách thành viên nhóm 12
102 20D100258 Đinh Anh Tuấn Tùng
103 20D100259 Nguyễn Thị Hồng Tươi
106 20D100202 Trần Thị Thảo Vi
107 20D100272 Nguyễn Quang Vinh
109 20D100273 Nguyễn Thị Thảo Vy
110 20D100204 Nghiêm Thị Hải Yến
Trang 3Mục lục
Lời mở đầu
Cơ sở lí thuyết
Ⅰ
1. Định nghĩa cực trị
2. Điều kiện cần của cực trị
3. Điều kiện tăng, giảm, không đổi của hàm
4. Điều kiện đủ của cực trị
5. Giá trị lớn nhất, bé nhất
6. Cực trị hàm nhiều biến
Ứng dụng thực tiễn
Ⅱ
1. Ví dụ 1
2. Ví dụ 2
Lời mở đầu
3
Trang 4Trong cuộc sống, bài toán cực trị có ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau: tài chính, nông nghiệp, khoa học… Vì vậy, không thể bỏ qua được tầm quan trọng của bài toán cực trị trong kinh tế Liệu việc vân dụng các bài toán cực trị sẽ giúp doanh nghiệp, người mua, người bán tối đa hóa sản lượng, lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí hay đưa ra những lựa chọn tiêu dùng tối ưu nhất trên thị trường không?
Trang 5CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Ⅰ
1. Định nghĩa cực trị
Nói hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x 0 nếu tồn tại một lân cận của x 0 sao cho f(x) f(x 0 ) với mọi x thuộc lân cận đó Nói hàm số đạt cực tiểu tại x 0 nếu bất đẳng thức có chiều ngược lại: f(x) f(x 0 ) với mọi x thuộc lân cận đó.
Giá trị của hàm tại điểm cực đại (cực tiểu) được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) và được kí hiệu là () Giá trị cực đại hay cực tiểu có tên chung là cực trị, kí hiệu
2. Điều kiện cần của cực trị
Định lí 1 (Fermat): Nếu hàm f(x) có cực trị tại x 0 và tại đó có đạo hàm thì f’(x 0 ) = 0.
Điều ngược lại của định lí là không đúng, tức là nếu f’(x0) = 0 thì chưa kết luận được là hàm có cực trị tại x0
Điểm nghi ngờ: Định lí trên cho phép ta chỉ cần tìm cực trị tại các điểm, gọi là
điểm nghi ngờ sau đây:
1) Tập các điểm nghi ngờ loại 1: {x | f’(x) = 0}
2) Tập các điểm nghi ngờ loại 2: {x tập xác định | f’(x) không tồn tại}
3. Điều kiện tăng, giảm, không đổi của hàm
Định lí 2: Giả sử hàm f(x) khả vi trên (a;b) và liên tục trên [a,b] Khi đó, nếu:
• f’(x) > 0, thì f(x) tăng trên [a;b],
• f’(x) < 0, thì f(x) giảm trên [a;b],
• f’(x) 0, thì f(x) không đổi trên [a;b]
Ví dụ: Hàm y = x liên tục trên R, có đạo hàm dương trên () và trên (0,) Hàm số
tăng trên (] và trên [0,) Nghĩa là, hàm số tăng trên cả trục R mặc dù f’(0) = 0
4. Điều kiện đủ của cực trị
Điều kiện đủ thứ nhất.
Định lí: Giả sử x 0 là một điểm nghi ngờ của y = f(x) và hàm số liên tục tại x 0 Khi đó:
• Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0
• Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực tiểu tại
x0
5
Trang 6• Nếu f’(x) giữ nguyên dấu dương hoặc dấu âm khi x đi qua x0 thì f(x) không
có cực trị tại x0
Điều kiện đủ thứ hai.
Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc nhất, bậc hai trên khoảng (a;b)
chứa điểm x 0 và f’(x 0 ) = 0 Khi đó:
• Nếu f’’(x0) < 0 thì y = f(x) đạt cực đại tại x0
• Nếu f’’(x0) > 0 thì y = f(x) đạt cực tiểu tại x0
5. Giá trị lớn nhất, bé nhất
Giá trị cực đại hay cực tiểu nói trên chỉ mang tính địa phương, nghĩa là chúng là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của điểm cực trị Trong nhiều trường hợp ta có thể tính được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên một tập E nào đó cho trước (gọi là tập ràng buộc) Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất đó mang tính chất toàn cục trên E, chúng được ký hiệu là ymax;ymin Sau đây ta nêu kết luận và cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm liên tục trên một tập đóng, giới nội
Định lí: Nếu hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì chắc chắn hàm đạt giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất ít nhất một lần trên đoạn đó Giá trị lớn nhất trên [a,b], kí hiệu
là y max được xác định như sau y max = max{y(a);y(b);y ctr } trong đó y ctr là kí hiệu chỉ các giá trị cực trị của hàm số đó trên [a,b] Tương tự y min = min{y(a);y(b);y ctr }.
6. Cực trị hàm nhiều biến
Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá P1, P2, , Pn
Hàm chi phí C = C(, , …, ) với (i=) là mức sản lượng thứ I mà doanh nghiệp sản xuất
Trang 7Tìm các mức sản lượng,, …, mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.
Phương pháp giải
Gọi, , …, là các mức sản lượng cần tìm
Doanh thu:
Chi phí:
)
Lợi nhuận:
Bài toán trở thành tìm để hàm đạt cực đại
ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Ⅱ
1. Ví dụ 1: Doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng là bút chì và bút bi trong điều
kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá bút chì là = 5000VNĐ/bút, với giá bút bi là
= 3000VNĐ/bút Hàm chi phí C= 2 Tìm mức sản lượng , để doanh nghiệp sản xuất đạt lợi nhuận cực đại
Giải pháp:
Gọi , là mức sản lượng cần tìm lần lượt của bút bi và bút chì
Doanh thu:
R== 5000+3000
Chi phí:
C= 2
Lợi nhuận:
7
Trang 8= R-C = 5000+3000
= 5000
= 3000
Điểm dừng là nghiệm của hệ:
Hàm số có 1 điểm dừng M (1000, 1000)
ma trận H= = 7 >0
Hàm số đạt cực đại tại M (1000, 1000),
Vậy doanh nghiệp sản xuất để đạt lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 1000 chiếc bút chì và 1000 chiếc bút bi
2. Ví dụ 2: Nước sạch tại Hà Nội (theo số liệu thống kê năm 2019)
Q (lượng sử dụng) P (giá)
Để đơn giản hóa bài tập:
Trang 9 30m3 đầu 7263
(nguồn:
https://nuocsachsinhhoat.com/gia-nuoc-sach-tai-ha-noi/?
fbclid=IwAR0io08iBim6q5S3FYbLYtudTvLxm8ubJZVa_24QWDIQsQakfIqcEyL MiEc)
Doanh nghiệp muốn đạt tối đa lợi nhuận thì chỉ số tiêu dùng nước như thế nào?
Giải pháp:
Gọi Q1, Q2 là chỉ số tiêu dùng nước sạch
Doanh thu:
R =
Chi phí:
C =
Lợi nhuận:
Điểm dừng là nghiệm của hệ:
Hàm số có 1 điểm dừng M (1866, 3531)
9
Trang 10 Ma trận H =
Hàm số đạt cực đại tại M (1866, 3531)
Vậy doanh nghiệp muốn đạt lợi nhuận tối đa thì chỉ số dùng nước sạch của người dân dưới 30m3: 1866 (sản lượng), trên 30m3 là 3531 (sản lượng)