Bài toán cực trị trong giải quyết một số vấn đề của Kinh tế.

Định lí 1 (Fermat): Nếu hàm f(x) có cực trị tại x0 và tại đó có đạo hàm thì f’(x0) = 0. Điều ngược lại của định lí là không đúng, tức là nếu f’(x0) = 0 thì chưa kết luận được là hàm có cực trị tại x0.

E

NHÓM 12

Đề tài 1:

Bài toán cực trị trong giải quyết một số vấn đề của Kinh tế.

03

02 04

Ⅰ Cơ sở lí thuyết

Định nghĩa cực

trị Điều kiện cần của cực trị Điều kiện tăng, giảm,

không đổi của hàm Điều kiện đủ của cực trị

05 Giá trị lớn nhất, bé nhất 06 Cực trị hàm nhiều biến

2.Điều kiện cần của cực trị

Định lí 1 (Fermat): Nếu hàm f(x) có cực trị tại x 0 và tại đó có đạo hàm thì f’(x 0 ) = 0.

Điều ngược lại của định lí là không đúng, tức là nếu f’(x0) = 0 thì chưa kết luận được

là hàm có cực trị tại x0

2.Điều kiện cần của cực trị

Điểm nghi ngờ: Định lí trên cho phép ta chỉ cần

tìm cực trị tại các điểm, gọi là điểm nghi ngờ sau đây:

1) Tập các điểm nghi ngờ loại 1: {x | f’(x) = 0}

2) Tập các điểm nghi ngờ loại 2: {x tập xác định | f’(x) không tồn tại}

3.Điều kiện tăng, giảm, không đổi của hàm

Định lí 2: Giả sử hàm f(x) khả vi trên (a;b) và liên tục trên [a,b]

Khi đó, nếu:

 f’(x) > 0, thì f(x) tăng trên [a;b],

 f’(x) < 0, thì f(x) giảm trên [a;b],

 f’(x) 0, thì f(x) không đổi trên [a;b].

Ví dụ: Hàm y = x liên tục trên R, có đạo hàm dương trên () và trên (0,) Hàm số tăng trên (] và trên [0, ) Nghĩa là, hàm số tăng trên cả trục R mặc

dù f’(0) = 0.

Định lí: Giả sử x 0 là một điểm nghi ngờ của y = f(x)

và hàm số liên tục tại x 0 Khi đó:

 Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0

 Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

 Nếu f’(x) giữ nguyên dấu dương hoặc dấu âm khi x đi qua x0 thì f(x) không có cực trị tại x0

V 5 Five

X 10 Ten

L 50 Fifty

4.Điều kiện đủ của cực trị

Điều kiện đủ thứ hai.

Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc

nhất, bậc hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 và f’(x 0 ) = 0 Khi đó:

 Nếu f’’(x0) < 0 thì y = f(x) đạt cực đại tại x0

 Nếu f’’(x0) > 0 thì y = f(x) đạt cực tiểu tại x0

5.Giá trị lớn nhất, bé nhất

Định lí: Nếu hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì chắc chắn hàm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ít nhất một lần trên đoạn đó Giá trị lớn nhất trên [a,b], kí hiệu là y max được xác định như sau y max = max{y(a);y(b);y ctr } trong

đó y ctr là kí hiệu chỉ các giá trị cực trị của hàm số đó trên [a,b] Tương tự

y min = min{y(a);y(b);y ctr }.

6.Cực trị hàm nhiều biếnBài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt

hang trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá P 1 , P 2 , , P n .

Hàm chi phí C = C (, , …, ) với (i=) là mức sản lượng thứ I mà doanh nghiệp sản xuất.

Tìm các mức sản lượng,, …, mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.

6.Cực trị hàm nhiều biếnPhương pháp giải

Gọi , , …, là các mức sản lượng cần tìm

Doanh thu :

6.Cực trị hàm nhiều biếnPhương pháp giải

Ⅱ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

1 Ví dụ 1: Doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng là bút chì và bút bi trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá bút chì là = 5000VNĐ/bút, với giá bút bi là = 3000VNĐ/bút Hàm chi phí C= 2 Tìm mức sản lượng ,

để doanh nghiệp sản xuất đạt lợi nhuận cực đại

1000 chiếc bút chì và

1000 chiếc bút bi.

2.Ví dụ 2: Nước sạch tại Hà Nội (theo số liệu thống kê năm 2019)

Q (lượng sử dụng) P (giá)

Giải pháp

Q (lượng sử dụng) P (giá)

Gọi Q 1 , Q 2 là chỉ số tiêu dùng nước sạch

Doanh thu:

R =

Chi phí:

C = Lợi nhuận:

Điểm dừng là nghiệm của hệ:





Giải pháp

Q (lượng sử dụng) P (giá)

 Hàm số có 1 điểm dừng M (1866, 3531)

THANK YOU