Đề tài những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian

Đề tài Những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian 1 I PhÇn më ®Çu I 1 LÝ do chän ®Ò tµi N¨m häc 2007 2008 T«i ® viÕt S¸ng kiÕn kinh nghiÖm “Nh÷ng øng dông c¬ b¶n cña vÐc t¬ ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc ph¼ng” KiÕn thøc vÒ vÐc t¬ häc sinh míi ®­îc lµm quen ë líp 10 vµ viÖc vËn dông chóng trong h×nh tr­íc ®©y sö dông trong h×nh häc kh«ng gian líp 12, ®Õn líp 12 c¸c em ®­îc häc l¹i vÒ vÐc t¬ song l¹i phÇn lín bá qua viÖc øng dông cña vÐc t¬ vµo gi¶i to¸n, nªn h.

I Phần mở đầu

I.1 Lí do chọn đề tài

- Năm học 2007-2008 Tôi đã viết Sáng kiến kinh nghiệm “Những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một số bài toán hình học phẳng” Kiến thức về véc tơ học sinh mới được làm quen ở lớp 10 và việc vận dụng chúng trong hình trước đây sử dụng trong hình học không gian lớp 12, đến lớp 12 các em được học lại về véc tơ song lại phần lớn bỏ qua việc ứng dụng của véc tơ vào giải toán, nên hầu hết học sinh kể cả học sinh khá, giỏi rất lúng túng khi gặp phải các bài toán phải ứng dụng về véc tơ

- Việc giải toán hình học không gian bằng véc tơ giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tư duy, sáng tạo và sự lô gíc của các phép toán véc tơ

- Năm học 2007-2008 Trường THPT Bạch Đằng thực hiện chương trình phân ban

đối với lớp 11 So với chương trình cũ học sinh học Ban khoa học tự nhiên có sự thay đổi, véc tơ trong không gian, sự đồng phẳng của các véc tơ đã được đưa vào học ở tiết 32,33 của chương trình hình học lớp 11 nhưng việc vận dụng trong các tiết bài tập của chương trình còn rất ít

Vì các lí do trên đây nên tôi thấy cần phải nâng cao khả năng của học sinh trong việc vận dụng kiến thức về véc tơ vào giải toán hình học không gian Việc vận dụng này Tôi đã thực hiện đối với lớp 12 năm học 2006- 2007 và lớp 11 Ban khoa học tự nhiên năm học 2007-2008

I.2.Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh nắm được “Những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một

số bài toán hình học không gian”

I.3.Thời gian- Địa điểm:

Việc thực hiện “Những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian” Tôi đã tiến hành kiểm nghiệm qua một số năm đặc biệt đối với học sinh lớp 12 năm học 2006-2007 và học sinh khối 11 ban khoa học tự nhiên năm học 2007-2008 tại trường THPT Bạch Đằng

I.4 Đóng góp mới về mặt lí luận, về mặt thực tiễn.

Qua nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm học sinh có phương pháp tư duy mới khi sử dụng véc tơ để giải toán hình học không gian

II Nội dung

II.1 Chương 1: Tổng quan.

1 Các kiến thức cần khắc sâu

2 Các dạng toán thường gặp và cách giải

3 Kết luận

II.2.Chương 2: Nội dung các vấn đề nghiên cứu.

II.2.1 Các kiến thức cần khắc sâu:

- Điểm lại phần kiến thức lí thuyết đã học về véc tơ trong không gian:

- Định nghĩa về véc tơ , độ dài của véc tơ , véc tơ không, hai véc tơ cùng phương, cùng hướng, hai véc tơ bằng nhau

- Các phép toán của véc tơ: phép cộng, trừ, nhân véc tơ với một số, tích vô hướng của hai véc tơ

- Quy tắc ba điểm đối với phép cộng, phép trừ véc tơ, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp đối với véc tơ

- Tích vô hướng của hai véc tơ và là một số, kí hiệu a được xác định

b

.

a b 

bởi công thức: a b  =

cos( , )

a b  a b

Khi a= thì tích vô hướng của hai véc tơ được gọi là bình phương vô

b

a



a

hướng của véc tơ Như vậy: a 2=

a 2

a

- Chú ý:a  b a b   0

- Các tính chất của tích vô hướng hai véc tơ

II.2.2.Các dạng toán thường gặp và cách giải.

Sử dụng những kiến thức cơ bản ở trên ta có thể giải được một số dạng toán như: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chứng minh hai đường thẳng song song, tính góc giữa hai đường thẳng, tính độ dài đoạn thẳng Sau đây là một số ví dụ minh hoạ

1 Dùng các đẳng thức tam giác đối với phép cộng, trừ véc tơ, tính chất trung điểm của đoạn thẳng, tính chất trọng tâm của tam giác để chứng minh đẳng thức véc tơ.

Trong dạng bài tập này cần hướng dẫn học sinh nhận xét , so sánh giữa hai vế của đẳng thức để xem khi biến đổi một vế về vế còn lại thì cần làm xuất hiện những yếu tố nào( Chú ý về nhận xét điểm đầu và điểm cuối của véc tơ trong từng vế của đẳng thức), Hoặc có thể sử dụng phép biến đổi tương đương đưa

về đẳng thức luôn đúng

* Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD

1, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng tỏ rằng:

MN  ADBC  ACBD

    

2,CMR: G là trọng tõm của tứ diện khi và chỉ khi:

a/ GAGBGC GD  0

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và BD.

b) Với điểm O bất kỳ ta có:

1

4

OG OA OB OC     OD

* Giải:

1, Sử dụng quy tắc 3 điểm ta có:

2 ( 0; 0)

1

2

MN MA AD DN

MN MB BC CN

MN AD BC viMA MB DN CN

   

   

       

  

Tương tự ta CM được đẳng thức thứ hai

2,

a) Ta có:

0 0







    

    

  

 G là trung điểm MN

 G là trọng tâm tứ diện ABCD.

b) Với điểm O bất kỳ ta có:        

0

0 4

1 4

GA GB GC GD

OA OB OC OD OG

    

        

    

    

* Ví dụ 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD

a,CMR: ABCD là hỡnh bỡnh hành khi và chỉ khi: SA  SC  SB  SD

b, Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi: SA SB    SCSD 4SO

S

A B

O

D C

2 Biểu thị một véc tơ qua các véc tơ khác:

* Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Đặt AA' a AB , b AC , c

1, Hãy biểu thị mỗi véc tơ B C BC  ' , ' qua các véc tơ , ,

a

b

c

2, Gọi G là trọng tâm tam giác A’B’C’ Biểu thị véc tơ AG' qua các véc tơ , ,

a

b

c



* Giải: A Cc

1,

b

Ba

B C B B BA AC a b c

BC BA AC CC a b c

      

      

2, Vì G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên:

1

3

1

3

1

3

AA AA A B AA A C

a b c

   

    

  

* Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét các điểm M và N lần lượt thuộc

các đường thẳng A’C và C’D sao cho: MA' k MC NC , ' l ND ( k và l đều khác 1)

Đặt BAa BB , ' b BC , c Hãy biểu thị các véc tơ BM và qua các véc tơ , ,

BN



a

b

c

* Giải:

A D

a

c

B M C

A’ N D’b

B’ C’

Từ giả thiết ta có:

BC l BD





 

 

3 Chứng minh các điểm trong không gian thẳng hàng.

Tương tự như trong hình học phẳng, học sinh sử dụng tính chất: điều kiện cần

và đủ để ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho: ABk AC

* Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộcAB và CD sao

cho: MA  2MB ND ,   2NC Các điểm I, J , K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho: IAk ID JM , k JN KB , k KC Chứng minh rằng các điểm I, J , K thẳng hàng

* Giải: Cách 1: A

M I

B D

K J N

(1) (2)

IJ IA AM MJ

IJ ID DN NJ

k IJ k ID k DN k NJ

hay k IJ IA k DN MJ

   

   

   

   

Từ (1) và (3) ta có:

(1 )

1 :

k IJ AM k DN

k

  

Chứng minh tương tự như trên , ta có: 1

k

Mặt khác: MA  2MB ND ,   2NC nên:

k

Từ đó: IJ 2JK

Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng

* Cách 2: MA  2MBnên với điểm O bất kì thì 2

3

OA OB



 



Tương tự:

2

1 1

k

k





       

    

3OI 3OK

Mặt khác: 1 2 1

3   3

Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng

4.Chứng minh các điểm trong không gian cùng thuộc một mặt phẳng.

* Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I và J lần lượt là trung điểm của

BB’ và A’C’ Điểm K thuộc B’C’ sao cho: KC'   2KB' Chứng minh rằng bốn

điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng

* Giải: Đặt AA' a AB , b AC , c

A Cc

G

b

Ba

I

A’ G’ C’

B’

Ta có:

(3)

AK



Từ (1), (2), (3) ta có: 2( )

3

AK  AIAJ

  

Vậy:   AI AJ AK, , đồng phẳng, tức là các điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng

5.Chứng minh hai đường thẳng song song:

Ta đã có nhận xét: Véc tơ cùng phương ( b )khi và chỉ khi có một số k sao

a

a

 0



cho: = k Do vậy hai đường thẳng AB và CD song song khi và chỉ khi: một b

a

điểm của đường thẳng này không thuộc đường thẳng kia và tồn tại một số k 0 

sao cho: ABkCD Ngoài những phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song học sinh đã biết ta còn sử dụng nhận xét trên để chứng minh hai đường thẳng song song

* Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Gọi G và G’ lần lượt là trọng

tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B CMR các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau

* Giải: Đặt AA' a AB , b AC , c

A Cc

G

b

Ba

I

A’ G’ C’

B’

1

3

1

2

6

AG b c

AI a b

a b c

GI AI AG

 

  

  

Mặt khác:

' 2

a b c

CG AG AC a b c c

CG GI

 

      

      

 

Ngoài ra điểm G không thuộc đường thẳng CG’ Vậy GI và CG’ là hai đường thẳng song song

* Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét các điểm M và N lần lượt thuộc

các đường thẳng A’C và C’D sao cho: MA' k MC NC , ' l ND ( k và l đều khác 1) Xác định các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD

Đặt BAa BB , ' b BC , c

* Giải:

A D

a

c

B M C

A’ N D’b

B’ C’

Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên

đường thẳng MN không thể trùng với đường thẳng BD’ Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi MN pBD'

1 1 1

MN BN BM

  

Mặt khác BD'   a b c   ( Quy tắc hình hộp) mà , , là ba véc tơ không đồng a

b

c

phẳng nên:

1

1 '

1 1 1

4

l

p

l

k p k







 

Vậy khi k = -3, l =-1 thì đường thẳng MN và đường thẳng BD’ song song với nhau

6 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

* Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a Trên DC và

BB’ lấy các điểm M và N sao cho DM=BN=x ( 0 x a) CMR: AC’ MN.  

* Giải: : Đặt AA' a AB , b AD , c

A B b

c

D M C

a

N

A’ B’

D’ C’

Ta có: a  b  c a

'

AC a b c

  

   

      



AC MN

 

Vậy AC’ MN.

7.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

* Ví dụ 11: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’.Trên các cạnh DC, BB’ và

A’D’ lấy các điểm M,N,P sao cho DM = BN = A’P Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng qua M,N,P

* Giải: : Đặt AA' a AB , b AD , c

A D b

Mc

B C

N a

A’ P D’

B’ C’

* Giải :

* Để chứng minh AC’ mp( MNP) ta cần chứng minh AC’ MN, AC’ MP hay   

cần chứng minh:  AC MN'  0; AC MP'  0

*Đặt: AA' a AB , b AD , c 2 2 2

a b b c c a a b c

       

*Vì DM = BN = A’P nên tồn tại số k 0,1 sao cho:

DM k DCk b BN k BB k a A Pk A D k c

        

*Có: AC'   a b c  ,

(1 )

MN MD DA AB BN kb c b k a

k a k b c

AC MN a b c k a k b c

k a k b c a k k

        

       

Do đó AC’ MN Tương tự AC’ MP Vậy AC’ mp( MNP).  

Từ việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng học sinh có thể từ đó

áp dụng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

8 Tính độ lớn của một góc.

* Ví dụ 12: Véc tơ a 3b vuông góc với véc tơ 7a 5b và véc tơ a 4b vuông góc với véc tơ7a 2b Tính góc giữa hai véc tơ và a

b

* Giải: Theo giả thiết ta có:

(1)

( 3 )(7 5 ) 0

a b a b





(2)

- Khử a2 trong hệ trên ta có: 2 (3)

2

b

a b



 

Thay (3) vào (1) ta có: a  b (4)

Từ (3) và (4) ta có: có(a b  , )= . 1

2

a b

a b



 

 

Vậy (a b  , )= 600

* Ví dụ 13: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Tính góc giữa hai đường

thẳng AB và CD

* Giải: A

D

B

C

Việc tính góc giữa hai đường thẳng thông thường học sinh phải nêu được cách xác định góc giữa hai đường thẳng rồi có thể đưa góc đó vào xét trong tam giác biết độ dài ba cạnh và áp dụng định lý côsin để tính Trong một số trường hợp hợp sinh không nhất thiết phải làm như trên mà có thể dựa vào cách xác định góc giữa hai véc tơ, đặc điểm của góc giữa hai đường thẳng để tính và từ đó kết luận

độ lớn của góc giữa hai đường thẳng

2

0

AB CD AC CB CD

AB CD

a

AB CD



    

 

 

   

 

Nhưng 0 Vậy góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là 900

( AB CD, ) 180 

9 Tính độ dài đoạn thẳng.

*Ví dụ14: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ coa cạnh AB = d Tính đường

cao của nó biết AB’ BC’.

* Giải: Đặt AA' a AB , b AC , c

A Cc

b

Ba

A’ C’

B’

AB a b BC BB B C a c b

AB BC AB BC a b a c b

        

      

*

2 2

2

2 2

'

2

a b a c a b c b

d

AB BC CA b c d

d

AA

 

* Ví dụ 15 : Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi I và J lần lượt là trung

điểm của AD và BC Tính độ dài đoạn I J

* Giải: A

I

D

B

J

C

Với ví dụ này học sinh có thể đưa I J vào trong tam giác BIJ và áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác để tính Ngoài ra học sinh sử dụng phép biến đổi véc tơ làm xuất hiện độ dài I J để tính

I là trung điểm AD, J là trung điểm của Bc nên ta có:

IJ IB IC IJ IA AB ID DC

IJ AB DC IA ID

       

     

Theo kết quả ví dụ 11 thì AB CD cos(   AB DC, )=0

2

10 Tính tỷ số giữa các độ dài đoạn thẳng.

* Ví dụ16: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA1B1C1 có các cạnh đều bằng a Trên AB1 và BC1 lấy hai điểm M và N sao cho: MN AB và MN= Tìm tỷ số

3

a

mà M chia đoạn thẳng BC1

A C

B

b

A1 C1

d

c



B1

 Đặt: 1 1 1 1 21

0,

2

B B b B C c B A d b c d a

a

b c b d c d

        

     

 Giả sử:

1 1

1

2 (1 3 ) 2

B M B A b d

MN AB MN d

   

   

        

   

2 2

2

2

3 3

3 1

3

d

a









 Như vậy: 1, ' 2 Tức là:

   MA  2MB NB 1,   2NC1

Hoặc 2 1; 2' 1 tức là:

2

MA  MB NB  NC

   

II.3 Chương 3: Phương pháp nghiên cứu- Kết quả nghiên cứu.

Các dạng toán Tôi đề cập ở trên do học hỏi và quá trình tích luỹ qua quá trình giảng dạy của mình Tôi đã áp dụng vào giảng dạy ở khối lớp 12 và lớp 11 mới Kết quả cho thấy học sinh đã hiểu cách làm, biết lựa chọn cách giải hợp lý, biết vận dụng vào các kiểu bài tập tương tự

Tuy nhiên các dạng và phương pháp Tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu và chưa đầy đủ, chắc chắn còn phải bổ xung thêm cho việc giảng dạy đối với chương trình phân ban phần này tốt hơn Rất mong có sự đóng góp của đồng nghiệp

III Phần kết luận và kiến nghị:

- Nếu có một quỹ thời gian thích hợp và tiếp tục theo hướng mở rộng và nâng cao thì Tôi nghĩ rằng đề tài có thể trở thành một trong những đề tài có nhiều tác dụng hỗ trợ thiết thực và bổ ích trong việc rèn luyện và phát triển tư duy góp phần giải được khá nhiều dạng toán trong quá trình dạy học sinh phân ban nói chung và trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

- Nếu có sự tư duy giải bài tập hình học không gian bằng phương pháp véc tơ như trên thì đến lớp 12 khi học sinh học về toạ độ của các véc tơ trong không gian học sinh sẽ có hướng giải hình không gian bằng phương pháp toạ độ dễ dàng hơn

- Kiến nghị: Giờ bài tập của hình không gian lớp 11Ban khoa học tự nhiên còn ít, nếu phân phối chương trình phần này được giãn nhiều giờ bài tập hơn thì có thể thực hiện việc giải toán trên ngay trong giờ bài tập cho học sinh

IV Tài liệu tham khảo- Phụ lục.

- Sách giáo khoa, sách bài tập hình học lớp 11 Ban cơ bản và Ban khoa học tự nhiên

- Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12

- Đề thi đại học những năm học trước