Chuyên đề một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số

Chuyên đề Một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số Chuyªn ®Ò øng dông sù biÕn thiªn cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n Gi¸o viªn §ç §øc H¹nh – Tæ To¸n tr­êng THPT V©n T¶o 1 Mét sè bµi to¸n ¸p dông tÝnh chÊt biÕn thiªn cña hµm sè Bµi to¸n 1 Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi 1 Chøng minh r»ng 0,1  xxex HD XÐt f(x) = ex – 1 – x Bµi 2 CMR víi 01   xx 10,0  x HD §Æt VT = f(x) , tÝnh f’, f” Khi x > 0 th× f” < 0 XÐt t¹i x = 1 ( f’ = 0) hs ®¹t cùc ®¹i LËp b¶ng biÕn thiªn suy ra ®pcm Bµi 3.

Một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số

Bài toán 1 Chứng minh bất đẳng thức

Bài 1 Chứng minh rằng : e x 1x,x  0

HD : Xét f(x) = e x – 1 – x

Bài 2 CMR :    1 0 với

x

HD : Đặt VT = f(x) , tính f’, f” Khi x > 0 thì f” < 0.

Xét tại x = 1 ( f’ = 0) hs đạt cực đại Lập bảng biến thiên suy ra đpcm.

Bài 3 CMR : x  x  , xR.

16

1 ) 1

5

HD : Xét VT = f(x) ta có : f'  5x4  5 ( 1 x)4  5x2 1 x2 2x 1

Vậy f’ = 0, x = 1/2.

  0 hs đạt cực tiểu tại x =1/2

2

1 '' 1

20 20

















f

16

1 2

1 )











 f

x

f

Bài 4.CMR với  1  x  1, ta có : 4 2 4 1x 4 1x 2

HD : Đặt f(x)4 1x 4 1x

- Với x  1  f(x)  4 2

- Với - 1 < x < 1 ta có :

4 2 3

1 4

1 1

1 4

1 1

4

1 )

( '

x

x x

x x

x f





















Suy ra f’(x) = 0 thì x = 0

Vậy  1 x 1 , f(x)  f( 0 )  2 và f(x)  4 2  f(  1 ) suy ra đpcm

Bài toán 2 Giải và biện luận phương trình

Bài 1 Tìm m = ? để phương trình x3 3x2 m140 có nghiệm thỏa mãn bất phương trình x2  x3 4 0.

HD : Xét f(x) x3  3x2 trên [-1;4] , tính f’ , lập bảng biến thiên.

Kết luận  4 m 14  16  10 m 30.

Bài 2 Tìm m = ? để phương trình x2 6xm x51x0 có nghiệm.

HD: Đk : 1 x 5 Đặt t  x51x 4x32 0t2

PT : t 2 – t + 5 = m Xét f(t) = t 2 - t + 5 với t [0;2]

f’(t) = 2t -1 = 0 , t = 1/2 Lập bảng biến thiên Kết luận : 19  m  7

Bài 3 Giải phương trình : 4x1 4x2 1 1

HD : Xét f(x) 4x1 4x2 11 với     ; 

2

1

x

2

1 ,

0 1 4

4 1

4

2 )

( '







x

x x

x

2 1

f(1/2) = 0 suy ra phương trình có nghiệm duy nhất : x = 1/2

Bài 4 Giải phương trình : 2 x2  x3 4

HD : Đk x 3 4 Xét hàm số f(x)2 x  2  x3 4 trên 3 4;

Ta có : 3 0 suy ra f(x) NB trên

2

1 ) (



x x

Ta thấy f(2) = 0 , vậy pt có duy nhất nghiệm x = 2

Bài 5 ( ĐH khối A – 2007)

Tìm m = ? để phương trình có nghiệm thực : 4 2

1 2

1 1

3 x m x  x 

HD: Đk : x 1, pt trở thành : m (1) , đặt

x

x x

x













1

1 2 1

1

1

1





x

x t

Khi đó (1) trở thành : -3t 2 + 2t = m (2)

Xét hàm số f(t) = -3t 2 + 2t , từ bảng biến thiên suy ra :

3

1

Bài 6.( ĐH khối B – 2007)

CMR với m 0 phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

x2  2x 8  mx 2

HD : Đk : x  2 PT trở thành: x 2 x3  6x2  32 m 0.

YCBT  C/m pt : x36x2 32m có nghiệm trong khoảng 2 ;  Xét sự biến thiên của hàm số f(x)  x3  6x2  32 , x 2, suy ra đpcm.

Bài 7.( ĐH khối A – 2008)

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

4 2x  2x 24 6x 2 6x m

Bài 8.( ĐH khối B Dự trữ– 2007)

Tỡm m để phương trỡnh: 4 x 2  1  x  m cú nghiệm

Xột hàm số f x  4 x2   x (điều kiện: x  0)

1

, x > 0

 

2

1 '



























x x

x x

f

Vỡ

1 x

x x

x 1

x

x

2 3

4 6



Ta có f giảm trên 0; và nên ta có

x lim f(x) 0

.

0 f(x) 1, x     0; 

Vậy, phương trình (1) có nghiệm

 m  miền giá trị của f trên đoạn 0;  0 < m  1

Bµi 9.( §H khèi B – 2007)

Tìm m để phương trình : 4 x 4  13 x  m  x  1  0 có đúng 1 nghiệm

Phương trình: 4 x 4  13 x  m  x  1  0 (1)

(1) 4 x 4  13 x  m  1  x

  



































m 1 x x x 4

1 x x

1 m x 13 x

1 x

2 3 4

4

ycbt  đường thẳng y = –m cắt phần đồ thị f(x) = 4x 3 – 6x 2 – 9x – 1 với x  1 tại 1 điểm

f(x) = 4x 3 – 6x 2 – 9x – 1

TXĐ: x  1

f'(x) = 12x 2 – 12x – 9 = 3(4x 2 – 4x – 3)

f'(x) = 0  4x 2 – 4x – 3 = 0 

2

3 x 2

1

x    

x – –1 /2 1 –3 /2 +

f' + 0 – – 0 +

Từ bảng biến thiên ta có:

ycbt m 3 hay m 12 m 3 hay m 12