Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi cấp trường vòng 1 môn toán lớp 6 (thời gian làm bài 120 phút) Phòng GD ĐT Hưng Hà Trường THCS Lê Quý Đôn ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Vòng 1 Môn Toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph) ==== Bài 1(3điểm) 1)Tính a) A= 5³ 678910 5³ 678909 b) B= 2³+4³+6³+ +18³ với 1³+2³+3³+ +9³=2025 2) So sánh a) 10³º và 2100 ; b) 85và 3 47 ; c) 1255và 257 Bài 2(4,5 điểm) 1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37 2) Thay a, b b»ng c¸c ch÷.
Trang 1Phũng GD-ĐT Hưng Hà
Trường THCS Lờ Quý Đụn ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Vũng 1 Mụn Toỏn lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)
==***==
Bài 1(3điểm)
1)Tớnh: a) A= 5³.678910-5³.678909
b) B= 2³+4³+6³+…+18³ với 1³+2³+3³+…+9³=2025
2) So sỏnh: a) 10³º và 2100 ; b) 85và 3.47 ; c) 1255và 257
Bài 2(4,5 điểm)
1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37
2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b 45
3) Cho a là một số tự nhiờn có dạng a = 3b + 7 (b N) Hỏi a có thể nhận những giá trị nào
trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537
Bài 3(4 điểm)
1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3
2) Cho A = 1 + 2013 + 20132 + 20133 + 20134 + … + 201398 + 201399 và B = 2013100 - 1 a) So sánh A và B
b) Tỡm chữ số tận cựng của A
c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chớnh phương
Bài 4(4,5 điểm)
1) Tỡm n để 9n+24 và 3n+4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau?
2) Tỡm hai số a v à b biết ƯCLN(a,b)=5 và BCNN(a,b)=300?
3) Cho 3a+2b chia hết cho 17 Chứng minh rằng 10a+b chia hết cho 17
Bài 5(4 điểm)
1) Cho 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng Hỏi:
a) Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
b) Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014cm Lần lượt lấy điểm M1, M2, M3, ., M2014 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AM1, AM2, , AM2013 .Tớnh BM2014?
Trang 2
Hết-Phũng GD-ĐT Hưng Hà
Trường THCS Lờ Quý Đụn đáp án CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Vũng 1 Mụn Toỏn lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)
==***==
điểm
Bài 1
3điểm
1)Tớnh
:
a)
A= 5³.678910-5³.678909
=125.( 678910-678909)
B= 2³+4³+6³+…+18³
b)
Mà 1³+2³+3³+…+9³=2025
2) So
sỏn
h:
a)
10³º và 2100
Ta có 10³º=(10³)10=100010
2100=(2³)10=102410
=> 10³º< 2100
0,5đ
b)
b) 85và 3.47
85=215
3.47 =3 214
=> 85< 3.47
0,5đ
c) 1255và 257
1255= 515
257= 514
=> 1255và 257
0,5đ
1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết
cho 37
Gọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau có dạng aaa
( a là chữ só khác 0)
0,25đ
Ta có: aaa=111.a=37.3.a
Bài
2(4,5
điểm)
Vậy mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37 0,25đ
2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b 45
Để 24a68b 45 thì 24a68b 5và 24a68b 9vì (5,9)=1 0,5đ
Để thì b=0 hoặc b=5
Trang 3+) Nếu b=0 thì 24a68b 24a680 Để 24a680 9 2+4+a+6+8+0 9
Tức là 20+a 9
Mà a là chữ số
=> a=7
0,25đ
+) Nếu b= 5 thì 24a68b 24a685 Để 24a685 9 2+4+a+6+8+5 9
Tức là 25+a 9
Mà a là chữ số
=> a=2
0,25đ
Vậy với a=7 và b=0 hoặc a=2 và b=5 thì 24a68b 45 0,25đ
3) Cho a là một số tự nhiờn có dạng a = 3b + 7 (b N) Hỏi a có thể nhận
những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ;
a = 29563 ; a = 299537
Ta có a = 3b + 7 (b N)
a= 3(a+2)+1
a chia cho 3 dư1
0,75đ
Vậy a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau:
Bài
3(4
điểm)
1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3.
Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là (xN)
Theo bài ra ta có
x nhỏ nhất
x chia cho 9 dư 5,
x chia cho 7 dư 4
xchia cho 5 thì dư 3
0,25đ
a 2x-1 nhỏ nhất, 2x-1 chia hết cho 5; 7;9
0,75đ
Trang 4c 2x-1 = 315
d x = 158 VËy sè cÇn t×m lµ 158
0,25®
2 Cho A=1+2013+2013 2 + 2013 3 + 2013 4 + … + 2013 98 + 2013 99 vµ B =
2013 100 - 1
a) So s¸nh A vµ B.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chính phương.
a) So s¸nh A vµ B.
2013A =2013+20132 + 20133 + 20134 + … + 201399 + 2013100
A=1+2013+20132 + 20133 + 20134 + … + 201398 + 201399
2013A-A=2013100 – 1 2012A=2013100 - 1
=>A=(2013100 – 1): 2012
0,5®
c) Tìm chữ số tận cùng của A.
Ta thÊy: 20134 cã chữ số tận cùng lµ 1
=>(20134)25 cã chữ số tận cùng lµ 1
=> 2013100 – 1 cã chữ số tận cùng lµ 0
0,25®
=> =(2013100 – 1): 2012 cã chữ số tận cùng lµ 5
c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chính phương.
Ta thÊy: 2012A+1=2013100 – 1+1=2013100=(201350)2
VËy 2012A+1 là một số chính phương
0,5®
Bài
4(4,5
điểm)
1) Tìm n để 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau?
Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 9n+24 và 3n+4 9n+24 d vµ 3n+4 d
9n+24 d vµ 3(3n+4) d
(9n+24)- (9n+12) d
12 d
0,75®
Trang 5Mµ d nguyªn tè
d= 2 hoÆc d=3
MÆt kh¸c 3n+4=3(n+1)+1 kh«ng chia hÕt cho 3
d=2
§ể 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau th× d kh¸c 3n+4 2
n 2
VËy n lµ sè lÎ th× để 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau 0,5®
2) Tìm hai số a v à b biết ƯCLN(a,b)=5 và BCNN(a,b)=300?
Ta cã: ƯCLN(a,b)=5 a=5t vµ b=5k víi (t,k)=1 (1)
Mµ a.b= ƯCLN(a,b) BCNN(a,b)
a.b=5.300=1500 (2)
t.k=60 (3)
0,75®
Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã b¶ng
0,5®
VËy c¨p sè (a,b) cÇn t×m lµ (5;300); (10;150); (15;100); (25;60); (75;20); (20;75);
3 Cho 3a+2b chia hết cho 17 Chứng minh rằng 10a+b chia hết cho 17.
2(10a+b)-(3a+2b) chia hết cho 17
Mµ 3a+2b chia hết cho 17
2(10a+b) chia hết cho 17
10a+b chia hết cho 17 v× (2,17)=1
VËy , nÕu3a+2b chia hết cho 17 th× 10a+b chia hết cho 17 0,25 0,25
Trang 6Bài 5
(4
điểm)
1 Cho 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng Hỏi:
a Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên?
b Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên?
a Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên?
Qua 2013 điểm trong đó kh«ng có 3 điểm nµo thẳng hàng ta vÏ ®îc
2013.2012:2=2025078 ( ®êng th¼ng)
0,5®
Do 13 ®iÓm th¼ng hµng nªn sè ®êng th¼ng bít ®i lµ:
=> Qua 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vÏ ®îc
b Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên?
V× sè ®o¹n th¼ng t¹o thµnh kh«ng phô thuéc vµo sè ®iÓm th¼ng hµng nªn
Qua 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vÏ ®îc
2013.2012:2=2025078 ( ®o¹n th¼ng)
0,25® 0,25®
2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014 cm Lần lượt lấy điểm M 1, M 2, M 3, , M 2014 là
trung điểm của các đoạn thẳng AB, AM 1 , AM 2 , , AM 2013 Tính BM 2014 ?
V× M1 là trung điểm của các đoạn thẳng AB => AM1= AB (1)
2
1
0,25®
V× M2 là trung điểm của các đoạn thẳng AM 1 => AM2= AM1= AB (2)
2
1
2
2
1
0,25®
V× M3 là trung điểm của các đoạn thẳng AM 2 => AM3= AM2=
3
2
1 AB (3)
2
1
0,25®
V× M2014là trung điểm của các đoạn thẳng AM 2013 => AM2014 = 2014 AB
2
1
= 2014 .2 2014 = 1( cm) (2014)
2
Tõ (1), (2), (3), , (2014) suy ra M2014 n»m gi÷a Avµ B
=> AM2014 +BM2014 =AB
0,25® 0,25®
BM2014=AB- AM2014
VËy BM2014=2 2014-1
Trang 7
±
aaa aa