Đề 6 thi olympic lớp 6 năm học 2013 2014 môn thi toán thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề ) phßng Gi¸o dôc §µo t¹o Thanh oai §Ò thi olympic líp 6 N¨m häc 2013 2014 M«n thi To¸n Thêi gian lµm bµi 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ) Câu 1 (6,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15 b) Thay các dấu bởi các chữ số thích hợp để chia hết cho 99∗ 1994 ∗ c) Tìm số tự nhiên n sao cho 4n 5.
Trang 1phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 6 Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1: (6,0 điểm)
a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng khi chia số đú cho cỏc số 25 ; 28 ; 35 thỡ được cỏc số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15
b) Thay cỏc dấu * bởi cỏc chữ số thớch hợp để: ∗ 1994 ∗ chia hết cho 99 c) Tỡm số tự nhiờn n sao cho 4n-5 chia hết 2n-1
Cõu 2: (5,0 điểm)
a) Một số tự nhiờn chia cho 7 thỡ dư 5, chia cho 13 thỡ dư 4 Nếu đem số đú chia cho
91 thỡ dư bao nhiờu?
b) Chứng minh rắng:
3
1 64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
c) Tỡm số tự nhiờn x biết: 1 1 1 2 2013
3 6 10 x x( 1) 2015
Cõu 3: ( 2,0 điểm)
so sỏnh:
A = với B =
2012
2013
2013
2014
Cõu 4: ( 2,0 điểm)
Cho x,y,z là cỏc số nguyờn dương Chứng minh rằng biểu thức sau khụng cú giỏ trị nguyờn
A x y z
Cõu 5: ( 5,0 điểm)
a) Cho gúc xOy bằng 800, gúc xOz bằng 300 Tớnh số đo gúc yOz ? b) Cho 4 điểm A; B; C; D khụng nằm trờn đường thẳng a Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc khụng cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số cỏc đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD
- Hết
-Đề chính thức
Trang 2(giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Hướng dẫn chấm thi olympic Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán Lớp 6
Cõu 1: (6 điểm)
a) ( 2 điểm) Gọi số tự nhiờn phải tỡm là x
- Từ giả thiết suy ra (x20) 25 và (x20) 28 và (x20) 35 x+ 20 là bội
- Tỡm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N 0,5 đ
- Vỡ x là số tự nhiờn cú ba chữ số suy ra x999 x 20 1019 k = 1 0,5 đ
b) ( 2 điểm) Đặt A = �1994�⋮ 99 ↔ ⋮ A 11 và A 9 0,5 ⋮ đ
Từ A 11 tỡm được y – x = 3⋮
Từ A 9 tỡm được x + y = 4 hoặc y + x = 13 1 đ⋮
(x + y và x – y phải cựng chẵn hoặc cựng lẻ)
TH: y – x = 3; x + y = 4 ( loại)
TH: y – x = 3; y + x = 13 x = 5, y = 8 0,5 → đ
Đ/S: 519948
c) (2 điểm)4n 5 2n 1 mà 2 2 n 1 2n 1
Nờn 4n 5 2 2n 1 2n 1
Hay 3 2 n 1 0.75đ
Để 4n 5 2n 1 3 2 n 1
2n 1 Ư(3) = {1 ; 3} 0.5 đ
2 1 1 1 0.5 đ
Do đú n {1 ; 2} 0.25 ∈
đ
Cõu 2 : ( 5 điểm)
a, (2 điểm) Gọi số phải tỡm là a.
Ta cú: a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m,n x N *
Cộng thờm 9 vào số a ta được:
a + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2) 7
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 3b) ( 2 điểm) §Æt A=
6 5 4 3 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
0,25 đ
2A= 2 3 4 5 0,5 đ
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2A+A =3A = 1- 1 0,75 đ
2
1 2 2
1
6 6
6
3A < 1 A < 0,5 đ
3 1
c) ( 1 điểm) Nhân vào hai vế ta được : 1 0.25đ
2
6 12 20 x x( 1) 2 2015
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2013.
2 3 3 4 4 5 x x 1 2 2015
0.25đ
1 1 1 2013.
2 x 1 2 2015
1 1 2013
2( 1) 2 2015
x
x
0.25đ
1 2015
x
x
2015x 2015 2013x 2013
0.25đ
2x 4028
Câu 3) ( 2 điểm)
- Thực hiện qui đồng mẫu số:
2012 2014 4026 2012 2014
2013 2013 4026 2013 2013
2014 2012 2012 2
2013 2013 2013 (2013 1)
2013 2013 2012
Do 2 > nên C > D
(2013 1) (2013 2013)
(Có thể chứng tỏ C - D > 0 để kết luận C > D) 0, 5 đ
Cách khác: Có thể so sánh 2013 C với 2013 D trước
C©u 4 (2 ®iÓm)
*) Chứng minh được:
1,0 ®iÓm
Do đó: a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82
a = 91(k – 1) + 82
Vậy a chia cho 91 dư 82
0,25d 0,25đ 0,25đ
Trang 41
A
*) Chứng minh được:
A
Vậy 1 < A < 2 nên A không là số nguyên
1,0 ®iÓm
Câu 5
(5 điểm) a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz chứa tia Ox : nằm trên hai nửa mp đối nhau bờ
Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz
z
x y
O
=> góc yOz = 800 + 300 = 1100
+) TH2: Hai tia Oy và Oz cùng nằm trên một nửa mp bờ chứa
tia Ox
0,5 0,5
Trang 5O
y
z
x
Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy
=> góc yOz = 800 - 300 = 500
b)+) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a => Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong
các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
+) TH2: Trong hai nửa mp đói nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D
=> Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6
đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
+) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp còn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D
=> Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6
đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
Suy ra điều phải chứng minh
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
(Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)