(LUẬN văn THẠC sĩ) bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampere phức trong lớp f (f)

Hóy tỡm lớp cỏc hàm đa điều hũa dưới P W thớch hợp trờn đú toỏn tử Monge-Ampốre phức dd c.n được xỏc định tốt sao cho với hàm h liờn tục trờn ả W, bài toỏn sau cú nghiệm duy nhất: P và đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

HOÀNG THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

HOÀNG THỊ HẢI YẾN

BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Hoàng Thị Hải Yến

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2016

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1 : CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Hàm điều hòa dưới 4

1.2 Hàm đa điều hoà dưới 5

1.3 Hàm cực trị tương đối 7

1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10

1.5 Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor 12

Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( )f 17

2.1 Dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep và F 17

2.2 Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp E f( ) 21

2.3 Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( )f 27

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toỏn Dirichlet đối với toỏn tử Monge-Ampốre phức được đặt như sau: Cho Wè Ên là miền giả lồi chặt,  là độ đo Borel trờn W Hóy tỡm lớp cỏc hàm đa điều hũa dưới P( )W thớch hợp trờn đú toỏn tử Monge-Ampốre phức (dd c.)n được xỏc định tốt sao cho với hàm h liờn tục trờn ả W, bài toỏn sau cú nghiệm duy nhất:

P và độ đo  là liờn tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue Từ đú một số tỏc giả như U.Cegrell, L.Persson và S.Kolodziej, Z.Blocki đó cố gắng giải bài toỏn bỏ qua tớnh liờn tục của mật độ của m Năm

1996, S.Kolodziej đó cho điều kiện đủ đối với tớnh giải được của bài toỏn Dirichlet đối với toỏn tử Monge-Ampốre phức trờn lớp PSH( )W ầL locƠ ( )W Đối với cỏc độ đo kỳ dị, tớnh giải được của bài toỏn Dirichlet đó được giải quyết bởi

L Lempert, J.P.Demailly và P Lelong Năm 2004, U Cegrell đó đưa ra định nghĩa tổng quỏt của toỏn tử Monge-Ampốre, định nghĩa lớp năng lượng F và giải bài toỏn Dirichlet đối với toỏn tử Monge-Ampốre trong lớp đú

Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn ”Bài toỏn Dirichlet đối với toỏn tử Monge-Ampere phức trong lớp F( )f ” làm đề tài nghiờn cứu của mỡnh,

trong đú đó trỡnh bày cỏc kết quả gần đõy của P Ahag về giải bài toỏn Dirichlet đối với toỏn tử Monge-Ampốre phức trong lớp F( )f

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( )f

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh

+ Trình bày kết quả nghiên cứu về giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( )f

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 41 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Phần đầu của chương, trình bày dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep , Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp E( )f và F Trong mục 2.2 đã chỉ ra rằng có thể định nghĩa toán tử Monge-Ampère trên các lớp đó theo cách xấp xỉ Mục 2.3 được dành để trình bày việc giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp

( )f

F Đặc biệt, trong [8], Cegrell giải bài toán Dirichlet đối với f = 0 Phần

cuối cùng của chương này trình bày chứng minh nguyên lý so sánh, nhờ sử dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tôpô Hàm u X: ® - ¥ + ¥é , )

- là nửa liên tục trên X

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u X: ® - ¥ + ¥é , )

êë Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x Î X nếu

thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với mọi 0£ r £ d ta có

2 0

Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên W là SH W( )

Mệnh đề 1.1.3 Giả sử , u v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trong £ Khi đó:

( )i max( , )u v là hàm điều hòa dưới trên W

( )ii Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu

= Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W Với mỗi

1.2 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.2.1 Cho W là một tập con mở của £ và n u :W® - ¥ ¥é , )

Kí hiệu PSH W( ) là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong W

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

Mệnh đề 1.2.2 Nếu u v, Î PSH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì

u º v

Mệnh đề 1.2.3 Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £n và

( )

u Î PSH W, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W,

( ) sup lim sup ( )

y y

u là đa điều hoà dưới trong W

Hệ quả 1.2.5 Cho W là một tập mở trong £ và G là một tập con mở thực n

sự khác rỗng của W Nếu u Î PSH( )W, v Î PSH G( ), và lim ( ) ( )

Định lý 1.2.6 Cho W là một tập con mở của £ n

ïïï

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W

1.3 Hàm cực trị tương đối

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử W là một tập con mở của £ và E là tập con của W n

Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là :

u Wz = v z v Î PSH W v £ - v £ (z Î W)

Hàm (u E,W)* là đa điều hoà dưới trong W

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

Mệnh đề 1.3.4 Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối

của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có

lim E, ( ) 0

z u z

w W

Chứng minh Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào

đó, M r < - 1 trên E Như vậy M r £ u E,W trong W Rõ ràng, lim ( ) 0

z z

w r

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm

Mệnh đề 1.3.5 Nếu WÌ £n là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact sao cho K*, 1

K

u W = - thì u K,W là hàm liên tục

Chứng minh Lấy u = u E,W và ký hiệu F Ì PSH( )W là họ các hàm u Giả sử

r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K Khi đó r £ u trong W Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C( )W ÇF Sao cho

u - e£ v £ u trong W Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho

u - e< r trong \W W và K h Ì W ,h trong đó

W =h {z Î W:dist z( ,¶ W >) h}

Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini

có thể tìm được s > 0 sao cho u *c d - e < r trên ¶ W và u*c d - e < - 1

h e

tại mỗi điểm trong W

Mệnh đề 1.3.6 Cho WÌ £n là tập mở liên thông, và E Ì W Khi đó các điều kiện sau tương đương :

( )i *

E

u W º ;

( )ii Tồn tại hàm v Î PSH( )W âm sao cho E Ì {z Î W: ( )v z = - ¥ }

Chứng minh ( )ii Þ ( )i là hiển nhiên Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì

Mệnh đề 1.3.7 Cho W là tập con mở liên thông của £ Giả sử n j

Chứng minh Lấy điểm z Î W0 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng

{ }

K È z Ì W Giả sử r < 0 là một hàm vét cạn đối với W sao cho r < - 1

trên K Lấy e Î (0,1) sao cho r( )z0 < - e Khi đó tồn tại j Î ¥0 sao cho tập

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1

với dV là yếu tố thể tích trong n

C gọi là toán tử Monge-Ampère Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C W0( ) trên W

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère

Mệnh đề 1.4.2 Giả sử { } m là dãy các độ đo Radon trên tập mở j WÌ ¡ n hội

tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

( ) ( ) lim j( ) lim sup j( )

c Viết E = IntE È ¶ Khi đó E

( ) (int ) lim inf j(int ) lim inf j( )

1.5 Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor

Định lý 1.5.1 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

thức (1.2) đúng trên {u + d< v} thì cho d ] 0 suy ra (1.2) đúng trên

{u < v} Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0

trên W Khi đó u ³ v trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2 - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0

trên W Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey}¹ Æ

và do đó nó có độ đo Lebesgue dương Theo Định lí 1.5.1 ta có

và ta gặp phải mâu thuẫn Vậy u £ v trên W W

Hệ quả 1.5.3 Giả sử WÌ £n là miền bị chặn và u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

Chứng minh Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2 Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó

có e > 0 sao cho {u < v + ey}¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương Chú

ý rằng do y < 0 nên {u < v + ey}Ì {u < v} Khi đó như chứng minh của

Chương 2BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( )f

Trong chương này luôn giả sử WÌ £n là miền bị chặn Bedford và Taylor [4] chứng minh rằng (dd c.)n hoàn toàn xác định trên PSH( )W ÇL¥loc( )W Cegrell [8] chứng minh rằng toán tử Monge-Ampère hoàn toàn xác định trên tập con E các hàm đa điều hòa dưới không dương chứa cả F và E Phần đầu pcủa chương này trình bày nghiên cứu dáng điệu của hàm trong các lớp E và p

F Tiếp theo trong phần thứ 2 chúng ta chỉ ra rằng có thể định nghĩa toán tử Monge – Ampère theo cách xấp xỉ trên lớp E( )f Phần cuối cùng của chương này chúng ta sẽ giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp

( )f

F Chương này kết thúc với nguyên lý so sánh, được chứng minh bằng cách

sử dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3

2.1 Dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep và F

Giả sử WÌ £n Kí hiệu PSH-( )W là lớp các hàm đa điều hòa dưới âm trên W

Định nghĩa 2.1.1 (Các lớp Cegrell trong £n )

Chứng minh Xem trong [7] và [8]

Bổ đề 3.12 trong [7] đã chỉ ra nếu W là miền giả lồi chặt, bị chặn và u Î E1, thì lim sup ( ) 0

z z

p p

u Î F U ³ E ở đó W là một miền siêu lồi, bị chặn

Nhắc lại rằng một miền siêu lồi, bị chặn W, xem như là một miền trong

2n

¡ , luôn chính quy với bài toán Dirichlet đối với toán tử Laplace; vì thế, (2.1) xảy ra đối với một hàm điều hòa dưới tùy ý xác định trên W mà hàm trội điều hòa nhỏ nhất của nó là hàm 0

Bổ đề 2.1.3 Cho WÍ £ là miền siêu lồi bị chặn và n h W® - ¥: ( , 0] hàm điều hòa Đặt Y( )z = sup{ ( ) :w z wÎ PSH( ),W w£ h trên W} Nếu Y Î E , thì

(ddcY)n = 0

Chứng minh Cho B là hình cầu mở sao cho B Í W và cho e > 0 sao cho

B Ì W Ì We , ở đó W =e {z Î W:dist z( ,¶ W >) e} Giả sử c e là nhân chính qui tiêu chuẩn và Y =e (u *c e) Khi đó Y Îe PSH(We)I C¥ (We) và {Ye} là dãy giảm sao cho

0

e® + Y z = Yz với mỗi z Î W Giải bài toán Dirichlet

với giá tri biên Ye ta được hàm g e Î PSH B( )I C B( ) sao cho g e = Ye trên

e e

Khi đó H e Î PSH(We)và { }H e giảm khi e ] 0 Cho e® 0+ Hàm giới hạn

H của { }H e tồn tại và là hàm đa điều hòa dưới trên W hoặc đồng nhất- ¥ Điều đó cũng kéo theo Y £ H e trên We, suy ra

( ) ( )

với mỗi z Î W Định nghĩa của Y suy ra Y £ h trên W và do đó H = Y £ h

trên W\ B Do đó, H £ h trên W bởi vì H là hàm điều hòa dưới Như vậy,

( )£ Y( )

với mọi z Î W Các bất đẳng thức (2.4) và (2.5) kéo theo Y = H trên W Điều

này, cùng với (2.2), (2.3), và giả sử Y Î E , cho ta

(dd cY)n = (dd H c )n = 0 trên B

Vì B là tùy ý, nên Bổ đề được chứng minh ,

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng có thể xảy ra

{ ( ) :w z w Î PSH( ),W w £ h trên W Æ}=

Khi đó h- là nhân Poisson đối với B Vì thế, h là hàm điều hòa và h £ 0 Điều này chứng tỏ rằng không tồn tại một hàm j Î PSH B( ) sao cho j £ h, suy ra { ( ) :w z w Î PSH B w( ), £ h} = f

Định lý 2.1.5 Nếu u Î F Up³1 Ep , thì hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u là đồng nhất 0 trên W

Chứng minh Giả sử u Î F Up³1 Ep Hàm 0 là hàm điều hòa và như vậy là hàm

trội điều hòa của u ; do đó tồn tại một hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u (xem Định lý 3.6.3 [3]) Giả sử tồn tại một hàm trội điều hòa nhỏ hơn của u ; tức là tồn tại hàm điều hòa h xác định trên W sao cho

0

và h z ¹( ) 0 tại ít nhất một điểm z Î W Giả sử hàm y được xác định như trong Bổ đề 2.1.3 Khi đó định nghĩa của y và (2.6) kéo theo u £ y £ 0, do

đó y Î F Up³1 E theo Định lý 2.1.2 Hơn nữa, p (ddc y)n = 0 theo Bổ đề 2.1.3

Nếu y Î F thì y = 0 theo phần duy nhất trong Định lý 6.2 [7] Theo cách xây dựng ta có y £ h £ 0, suy ra h = 0 Điều này mâu thuẫn với giả sử tồn tại Î Wz sao cho h z ¹( ) 0 Như vậy hàm trội điều hòa nhỏ nhất của u bằng 0

trên W ,

Hệ quả 2.1.6 Giả sử u Î F Up³1 Ep Khi đó limsup ( ) 0

z z

Chú ý 2.1.7 kéo theo limsupz®x u z%( ) = 0 với mỗi x Î ¶ W, và Ví du 2.1.8 chỉ

ra rằng tồn tại một hàm u Î F% p sao cho liminf z®x u z%( ) = - ¥ với mỗi

x Î ¶ W

Ví dụ 2.1.8 Giả sử { },z j z Î W j , là dãy sao cho mỗi điểm trên ¶ W là một điểm giới hạn đối với dãy { }z j { }z j là tập đa cực bởi vì nó là đếm được Định lý 5.8 trong [8] suy ra rằng tồn tại một hàm u Î F1 sao cho { }z j Í {u = - ¥ } Với mỗi p ³ 1, lấy hàm u% được xác định bởi

vì u Î F1 Định lý 5.6 trong [7] cho ta u Î F% p Việc xây dựng của { }z j và u%

kéo theo liminf z®x u z( )= - ¥ và 1/

liminf z®x - -( u z( )) p = - ¥ với mọi

x Î ¶ W Như vậy lim ( )

z z

2.2 Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp E f( )

Các lớp E0( )f và Fp( )f được định nghĩa đầu tiên trong [7] Ở đây các định nghĩa sẽ được nhắc lại, và ( )Ep f , F ( )f , và E( )f sẽ được định nghĩa một cách tương tự Nếu K( )f là một trong những lớp đó, ở đó f = 0, thì điều đó trực tiếp suy ra K(0) = K, ở đó K là lớp tương ứng được xác định trong mục 2.1 Do đó các lớp được xác định trong phần này là sự tổng quát trong mục 2.1 Mệnh đề 2.2.4 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa của các lớp đó và Hệ quả