Tieu luan Ly thuyet wavelet transform

Tiểu luận về biến đổi wavelet và một số ứng dụng thực tế

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET 4

1 GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI WAVELET 4

2 ĐỊNH NGHĨA WAVELET 4

3 MỘT SỐ HỌ HÀM WAVELET 6

3.1 HAAR WAVELET 6

3.2 HÀM DAUBECHIES WAVELET 8

3.3 MỘT SỐ HÀM WAVELET KHÁC 9

CHƯƠNG II PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 11

1 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC 12

2 BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT) 14

3 BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL WAVELET TRANSFORM) 18

4 SO SÁNH STFT VÀ WT 19

CHƯƠNG III CÁC ỨNG DỤNG VÀ THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON 20

I.MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ 20

1.NÉN TÍN HIỆU 20

1.1 NÉN ẢNH (IMAGE COMPRESSION) 20

1.2 NÉN VIDEO (VIDEO COMPRESSION 21

1.3 NÉN THOẠI VÀ NÉN AUDIO (SPEECH AND AUDIO COMPRESSION) 22

2 KHỬ NHIỄU 23

3 NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH 24

4 CHI TIẾT HÓA ẢNH KHỐI U TRONG Y HỌC 24

5 MÃ HÓA NGUỒN VÀ MÃ HÓA KÊNH 24

II THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON 25

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

LỜI MỞ ĐẦU

“Lý thuyết Wavelet” là kết quả của sự nổ lực chung giữa các nhà toánhọc, các nhà vật lý và các nhà kỹ thuật … đã mang lại Sự liên kết này đã tạonên luồng ý tưởng vượt ra khỏi việc xây dựng các cơ sở hoặc các phép biến đổimới

Stéphane Mallat

Giải tích wavelet là một phương pháp mới, mặc dù nền tảng toán học của

nó bắt nguồn từ công trình của Joseph Fourier thế kỷ 19 Giải tích Fourier phântích các tín hiệu thành tổ hợp các sóng hình sin với nhiều tần số khác nhau Mộtcách tương tự, giải tích wavelet phân tích các tín hiệu thành tổ hợp các phiênbản của wavelet gốc (wavelet mẹ) với các thang độ (scaling) và trễ (shifting)khác nhau Hiểu một cách khác biến đổi wavelet lấy tín hiệu trong một khoảngthời gian được giới hạn với tần số thay đổi trong khi đó với biến đổi Fourier tínhiệu được chuyển sang miền tần số với thời gian vô hạn

Nếu so sánh về số biến trong các công thức biến đổi thì phân tích Fourier

là dạng hàm 1 biến và biến đó là tần số, trong khi đó hàm của biến đổi wavelet

là hàm hai biến lần lượt là tần số và thời gian

Năm 1909, Alfred Haar được xem là người đầu tiên đề cập đến cácwavelet (các hàm wavelet đầu tiên), ngày nay người ta gọi đó là các HaarWavelet Các hàm này được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật xử lý ảnh

Biến đổi wavelet được xây dựng, phát triển và ứng dụng một cách nhanhchóng và hiệu quả trong các công nghệ kỹ thuật xử lý ảnh (nén ảnh, nâng caochất lượng ảnh, khu vực hóa khối u trong y học…) với các sự đóng ghóp trìnhbày dưới dạng lý thuyết đầu tiên của Jean Morlet và các đồng nghiệp, đóng gópchính của Y.Meyer và Stephane Mallat Ngày nay các nhà khoa học có nhiềucông trình liên quan đến lý thuyết wavelet có thể kể đến như Ingrid Duabechies(chủ tịch Hội toán học thế giới hiện nay), Ronald Coifman, và VictorWickerhauser

Lý thuyết wavelet được phát triển nhanh chóng, các bài báo toán học vàứng dụng về lý thuyết này rất nhiều Đã có toolbox wavelet của phần mềmMATLAB, thư viện phong phú trên PYTHON và có Hội wavelet quốc tế

Trong nội dung tiểu luận “Biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số và cácứng dụng thực tế” trình bày khái quát về cơ sở lý thuyết toán học, nguyên lý củaphép biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số, so sánh sự giống và khác nhau vớiphép biến đổi fourier Đồng thời cũng đề cập đến các ứng dụng nổi bật của biếnđổi này trong thực tế Ngoài ra, tiểu luận cũng giới thiệu về thư viện biến đổi

wavelet Pywavelets trong Python Bố cục của tiểu luận gồm ba chương như sau:

Chương 1: Cơ sở toán học của phép biến đổi wavelet

Chương 2: Phép biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số

Chương 3: Các ứng dụng và thư viện Pywavelets trong Python

CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

1 GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI WAVELET

Chuỗi Fourier lượng giác là một công cụ cực mạnh được sử dụng trong cảhai trường hợp rời rạc và liên tục những cũng có những nhược điểm đáng kể, đólà: Các hàm cơ bản

Ví dụ trường hợp hàm Dirac ( )t có giá trị tập trung tại t 0 Do đó ta cócác hệ số Fourier

( )

ikt k

Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như

hệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời truyền tải được tính chất địa phươnghóa của các tín hiệu Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet

Giống như các hàm lượng giác, các hàm wavelet có bản sao rời rạc nhậnđược bằng cách lấy mẫu Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính toán một cáchnhanh chóng, do đó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp chẳng hạn các

dữ liệu ảnh nhiều chiều

Sóng hình sin Sóng Wavelet

Hình1: Sóng hình sin và sóng waveletPhân tích Wavelet chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị trí(shifting) và tỷ lệ (Scaling) của một hàm đơn hay gọi là hàm wavelet mẹ Vì vậytín hiệu với thay đổi nhanh có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn

là với một sóng sin trơn Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với cácwavelet

Số chiều

Phân tích Wavelet có thể áp dụng cho dữ liệu hai chiều (các hình ảnh) và

về nguyên tắc cho dữ liệu có số chiều cao hơn

Các biến đổi wavelet phổ biến được chia thành 3 loại: biến đổi wavelet liên tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi wavelet đa phân giải (wavelet multiresolution-based)

Lợi ích sử dụng khai triển Wavelet:

 Hệ thống wavelet bao gồm các hàm cơ sở, do đó chúng ta có thể biểudiễn hàm ban đầu theo hệ thống cơ sở mà ta đã chọn

 Khai triển Wavelet biểu diễn một hàm mang tính chất địa phương.Điều đó có nghĩa là, năng lượng ban đầu của ảnh có thể biểu diễn vớimột vài hệ số aj,k, vì thế chúng ta có thể dễ dàng phát hiện những tínhchất địa phương của một tín hiệu

 Việc tính toán hệ số thực hiện hiệu quả hơn so với việc tính toán hệ

số của biến đổi Fourier, với độ phức tạp khoảng O(N) hayO(Nlog(N)), tương đương với phép biến đổi Fourier nhanh (DFT)

 Wavelet rất nhẵn và có thể được đặc trưng bởi số moment triệt tiêu

Số moment triệt tiêu càng cao thì wavelets càng nhẵn Hơn nữa, ta có

những thuật toán nhanh và ổn định để tính biến đổi wavelet rời rạc(DWT) và phép đảo ngược của nó (Inverse DWT)

3 MỘT SỐ HỌ HÀM WAVELET

3.1 HAAR WAVELET

Yêu cầu đối với các wavelet là các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như hệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa phương hóa của các tín hiệu Bốn hàm cơ bản đầu tiên được Alphre Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910

Hình 2 Bốn hàm Haar wavelet

Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), hàm thứhai là wavelet mẹ (mother wavelet), hàm wavelet thứ ba và hàm Haar waveletthứ tư là dạng nén của hàm wavelet mẹ, được gọi là các hàm wavelet con(daughter wavelet)

Theo các chứng minh toán học các hàm wavelet con có tính chất địaphương hóa cao hơn hàm mẹ

Sự nén - giãn (scaling)

Sự nén giãn của hàm wavelet được biểu diễn một cách đơn giản là sự kéodài hoặc nén lại

Hình 3 Đồ thị hàm x(t)=sin t ứng với các hệ số phân bậc a=1, a=1/2,a=1/4

Hình 4 Đồ thị của hàm x t    ( )t ứng với các hệ số phân bậc a=1, a=1/2,

a=1/4

Từ hình trên ta thấy hệ số phân bậc càng nhỏ thì hàm càng được nénnhiều

Sự tịnh tiến theo thời gian (shifting)

Tính chất tịnh tiến theo thời gian của các hàm wavelet được hiểu là trễhoặc đến sớm của tín hiệu Đây cũng là một phương pháp để biểu diễn các tínhiệu có tính chất tập trung địa phương

Trong một thời gian dài chưa thể tìm được một họ các hàm thỏa mãn cùnglúc ba tính chất: địa phương hóa cao, tính trực giao và biểu diễn chính xác cáctín hiệu của các hàm đơn giản Tuy nhiên trong luận án của mình nhà toán học

Bỉ, Ingrid Daubechies, năm 1988, đã giới thiệu ví dụ thứ nhất một cơ sở gồmcác hàm wavelet thỏa mãn đồng thời ba tiêu chuẩn ở hình dưới Trong nhữngnăm sau đó, các hàm wavelet đã được phát triển và áp dụng trong ngành côngnghiệp công nghệ cao

Hình 5 Hàm “hat” cơ sở

Hình 6 Đồ thị các hàm scaling Daubecchies từ hàm hat cơ sở

Hình 7 Đồ thị của hàm Daubechies scaling ( )t và wavelet mẹ  ( )t

Một số ứng dụng có ý nghĩa của các hàm wavelet sử dụng hàm Daubechiesnhư nén các dữ liệu vân tay của FBI, format ảnh kiểm mới chuẩn JPEG2000không giống với chuẩn JPEG đã sử dụng phương pháp Fourier Công nghệwavelet còn được kết hợp chặt chẽ với kỹ thuật nén và khôi phục ảnh

3.3 MỘT SỐ HÀM WAVELET KHÁC

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biếnđổi thông dụng, và là hàm mức xác định theo miền tần số Biến đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar

Dạng của hàm với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

Hình 8: Hàm y (t) của biến đổi Meyer

Một số hàm wavelet khác cũng được phát triển và ứng dụng trong thực tếnhư Morlet, Mexican Hat…

CHƯƠNG II PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG XỬ LÝ TÍN

HIỆU SỐ

Sự biến đổi một hàm hoặc một tín hiệu s(t) là một phép toán mà kết quả

của nó là sự biểu diễn khác của s(t) Chúng ta đã được nghiên cứu hoặc biết vềbiến đổi Fourier và Short Time Fourier Transform như là các phương pháp biếnđổi truyền thống Hiện nay, người ta đang nghiên cứu và phát triển một phươngpháp biến đổi tín hiệu mới trong cả hai lĩnh vực: toán học thuần tuý và khoa họcứng dụng Đó là biến đổi Wavelet

Xét ba phương pháp để biến đổi tín hiệu :

- Biến đổi Fourier (biến dổi tín hiệu thành các sóng cosin)

- Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT (biến đổi tín hiệu thànhcác dạng sóng cosin)

- Biến đổi Wavelet

Trước đây người ta sử dụng phương pháp phân tích tín hiệu thành các hài

cơ bản Khi đó tín hiệu là một tổng các cosin:

a0 + a1cost + a2cos2t + +

Đây là phép biến đổi Fourier, được Fourier tìm ra cách đây 180 năm ởParis Tất cả các tín hiệu đều có thể được phân tích thành các sóng hài nhờ biếnđổi Fourier Những người thực hiện nó hầu hết là thực hiện theo bản năng

Cường độ tín hiệu tại mỗi thời điểm được thay thế bằng biên độ của mỗisóng Từ đó xuất hiện một câu hỏi lớn Đó là cần phải sử dụng bao nhiêu tần sốcho một tín hiệu có mật độ cao Có lẽ là phải rất nhiều thì kết quả nén mới tốtđược

Phương pháp thứ hai là biến đổi Fourier thời gian ngắn Ở phương phápnày các đoạn tín hiệu ngắn được biến đổi riêng rẽ, ở trong mỗi đoạn, tín hiệuđược phân tích thành các sóng cosin như ở phương pháp trước Theo phươngpháp này thì hầu hết các tín hiệu dài đều được chia nhỏ ra và sau đó được biếnđổi theo từng phần một Nó khắc phục được nhược điểm của biến đổi Fourier, vìtheo Fourier thì nó không đúng hoàn toàn vì tín hiệu biến đổi phải tuần hoàn vàtiến ra xa vô cùng Tuy nhiên nó cũng có hạn chế lớn, đó là có những điểm cắtđột ngột gây ra hiệu ứng blocking Chúng ta có thể nghe thấy hoặc không khinghe nhạc nhưng luôn có thể thấy chúng khi xem các hình ảnh Hiệu ứng nàylàm giảm độ tin cậy của STFT và nó yêu cầu phải có một phương pháp khácthay thế

Có một ý tưởng mới trong việc xử lý tín hiệu Đó là thay vì các sóng cosinkéo dài đến vô cùng hoặc là bị cắt đột ngột thì ta sẽ sử dụng các khối xây dựng

mới là các Wavelet (nguyên bản tiếng Pháp là Ondelet) Đó là các sóng nhỏ cóđiểm bắt đầu và điểm kết thúc Những sóng nhỏ này được xuất phát từ Wavelet

mẹ w(t) - là mức tín hiệu chuẩn ở thời điểm t Theo phương pháp này thì một tínhiệu dài được chia nhỏ ra thành một cơ sở của các tín hiệu - đó là các Wavelet.Các Wavelet xuất phát từ một hàm đơn w(t) nhờ tăng tốc độ lấy mẫu (tăng tần sốlên gấp đôi) và thời gian trễ Các biên độ được gửi đến bên thu, ở đó nó đượckhôi phục lại tín hiệu ban đầu

Cũng tương tự như biến đổi Fourier thời gian ngắn, biến đổi Wavelet cũngánh xạ một hàm thời gian thành một hàm hai chiều của a và x (thay vì của w và

T trong STFT) Tham số a được gọi là tỷ lệ Nó chia tỷ lệ một hàm bằng việcnén hoặc dãn nó, và T là tịnh tiến của hàm Wavelet dọc theo trục thời gian

1 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC

Nếu một hàm f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì hàm đó được khôi phục lại theo công thức sau:

trong đó:

Trong (2 3) cho thất rằng a là tham số tỷ lệ Hệ số tỷ lệ càng nhỏ, Wavelet càng được nén mạnh

Hình 2 1: Các thành phần Wavelet tương ứng với các tỷ lệ và vị trí khác nhau

Khi a > 1: Hàm Wavelet sẽ được trải rộng

Khi 0 < a < 1: Thì hàm sẽ được co lại

Các tính chất của CWT:

Tuyến tính: tính chất tuyến tính của CWT nhận được từ sự tuyến tính của

tích vô hướng

Tính chất trễ: Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì

f’(t) = f(t-b’) có biến đổi như sau:

CWT r (a, b) = CWT r (a, b-b’)

Tính chất tỷ lệ:Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWTr(a, b) thì

có biến đổi như sau:

CWT r (a, b) = CWT r (a/s, b/s)

Tính bảo toàn năng lượng: CWT có tính chất bảo toàn năng lượng tương

tự như công thưc Parseval của biến đổi Fourier

Nếu f(t) L2(R) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì ta có:

Tổng quát hoá công thức bảo toàn năng lượng này gồm tích vô hướng của hai hàm theo thời gian và theo miền wavelet Khi đó trở thành:

Tính chất định vị thời gian: xét xung Dirac ở thời điểm t 0 , (t-t 0 ), và một

wavelet (t) Biến đổi wavelet liên tục của xung Dirac là:

với tỷ lệ a0 cho trước, nghĩa là một đường ngang trong miền wavelet, thì biến đổichính bằng wavelet đã được tỷ lệ (và chuẩn hoá) nghịch đảo trong miền thời gian và tập trung ở sự định vị của Dirac

2 BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT)

Người ta đã chứng minh được là biến đổi wavelet liên tục có nhiều ứng dụng rất hiệu quả Tuy nhiên, trong một số ứng dụng thì biến đổi wavelet rời rạc lại tỏ ra phù hợp hơn Có nhiều nguyên nhân:

 Ngược lại vối biến đổi Fourier, biến đổi wavelet liên tục không đưa ramột sự biểu diễn ngắn gọn nào của tín hiệu x(t) bởi vì nó thay đổi mộttín hiệu một chiều thành một hàm hai chiều Do đó, sử dụng biến đổiwavelet liên tục sẽ hướng chúng ta đến việc xử lý tín hiệu mà gồmnhiều phép tính hơn so với xử lý tín hiệu một chiều

 Đối với nhiều chuỗi thời gian, biến đổi wavelet liên tục dư thừa theo

cả thời gian và tỷ lệ, nghĩa là sự chênh lệch giữa W(, t) và W(t) khinhỏ so với hoặc W(, t) và W(, t’) khi nhỏ so với

 Với sự tiến dần của các máy tính số hiện đại, hầu hết các tín hiệu đềuđược chọn lọc hoặc được giả thiết là một sự chuyển đổi “tương tựsang số” một lần Số liệu mà các nhà khoa học sử lý được rời rạc hoácho nên cũng cần phải rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục

 Như đã thảo luận trước đó, biến đổi wavelet rời rạc có ưu điểm lớntrong thực trạng của chính nó, bởi vì ngược lại với biến đổi waveletliên tục, nó là một biến đổi trực chuẩn mà giải tương quan một lớpquan trọng của các quá trình stochastic

Định nghĩa:

Phân tích wavelet phân tích một tín hiệu thành các bản ảnh tỷ lệ và trễ của

một wavelet gốc (wavelet mẹ) Wavelet (t) có giá trị trung bình bằng không sao

cho:

Biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) của một hàm f(t) với một wavelet mẹđược định nghĩa như sau:

Từ phương trình CWT(a, b) ta thấy các hệ số CWT được biểu diễn như một hàm của tỷ lệ a và vị trí b Tỷ lệ thấp tương ứng với một tín hiệu được nén cho nên tỷ lệ nhỏ thì các chi tiết thay đổi nhanh còn tỷ lệ lớn thì thay đổi chậm Khi đó biến đổi wavelet rời rạc thu được bằng cách lấy mẫu biến đổi wavelet liên tục ở các tỷ lệ và vị trí là luỹ thừa của hai: a = 2j, b = ka, j, k Z

trong đó

Biến đổi Wavelet trực giao rời rạc được dùng để phân tích một tín hiệu thành một số mức phân giải Sự phân tích đa phân giải được thực hiện nhờ việc chiếu tín hiệu lên các không gian con xấp xỉ và các không gian con chi tiết trực giao

Một cách hiệu quả thực hiện DWT là sử dụng bank lọc Phương pháp này

do Mallat phát triển năm 1988 Sự thực hiện bank lọc của DWT dựa trên tính chất đa phân giải của nó

Phân tích đa phân giải và việc thực hiện DWT bằng QMF

Như tên gọi, phân tích MRA đề cập tới việc phân tích một tín hiệu tại một số độ phân giải khác nhau Một phân tích đa phân giải trong L2(R) là một chuỗi tăng dần của các không gian con kín

Mỗi không gian con Vj được gọi là một không gian xấp xỉ, được xác định bởi công thức: {} →tạo thành một cơ sở trực giao của Vj Độ phân giải giảm từ

2j xuống 2j+1 vì Vj là không gian con của Vj-1 cho nên tồn tại một phần bù trực giao Wj của Vj trong Vj-1sao cho:

Cũng tồn tại một hàm wavelet mẹ là tạo thành một cơ sở trực giao của