Chuyen de bat dang thuc(1)

Một số điểm cần lưu ý : - Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của hai vế..

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 

A NỘI DUNG CẦN NHỚ

1 Bất đẳng thức

a) Định nghĩa : Bất đẳng thức là những mệnh đề dạng   a   hoặc  a b   b

b) Một số bất đẳng thức cơ bản  : 

        01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức: 

        2 *

0;

n

A    n   với A là một biểu thức bất kỳ, dấu bằng xảy ra khi  A   0

       2n A   ; 0  A 0;    ; dấu bằng xảy ra khi n * A 0 

        A B  A B   Với  A0;B  dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không  0

       A B  A B với AB  dấu bằng xảy ra khi 0 B 0  

         02) Các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

        A   Với A bất kỳ, dấu bằng xảy ra khi 0 A 0 

        A B  A B ; dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu  

        A B  A B ; Dấu bằng xảy ra khi A và B  cùng dấu và  AB  

        03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ):  

      - Cho các số  1 2

n

  

       (Trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của chúng ) 

       Dấu bằng xảy ra khi  a1a2  a n 

      - Bất đẳng thức Côsi cho hai số  có thể phát biểu dưới các dạng sau : 

2

a b

ab



   Với a và b là các số không âm  

        a b 24ab   Với a và b là các số bất kỳ  

        2 2  2

2

a b

a b    Với a và b là các số bất kỳ     Dấu bằng xảy ra khi  a    b

        04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac):

      - Cho hai bộ các số thực:  a a1, 2, ,a n và b b1, 2, ,b n . 

      Khi đó :    2  2 2 2 2 2 2

a b a b  a b  a a  a b b  b          Dấu bằng xảy ra khi : 

       - Hoặc  1 2

n n

a

a a

b b  b  với ai , bi khác 0 và nếu a   thì  i 0 b  tương ứng cũng bằng 0  i

       - Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không 

      - Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số: 2  2 2 2 2

ax by  a b x y   

Dấu bằng xảy ra khi  aybx      05) Bất đẳng thức  x 1 2

x

   Với x > 0 ; x 1 2

x

    Với x    0

c)  Các tính chất của bất đẳng thức :  

         01) Tính chất bắc cầu : Nếu a   và  b b   thì c ac  

         02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng : 

      Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng  một số : Nếu   a   thì  a b     c b c

      Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu  a   và  c b d  thì    a c  b d 

        03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều:  Nếu a    và  c b d  thì   a c  b d 

         04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân : 

      - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số  

       Nếu  a  và b c   thì   ac0 bc  . Nếu  a  và b c   thì   ac0 bc 

       - Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều  

      Nếu ab  và 0 cd   thì   ac0 bd. Nếu ab  và 0 cd   thì   ac0 bd 

- Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức : 

       a b a b     Với mọi n  

       ab0a2nb2n   Với mọi n    *

       ab0a2n b2n Với mọi n    *

        0a 1 a na m    Với  nm.        a 1 a na m   Với  nm 

2 Một số điểm cần lưu ý :  

     - Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không được trừ hai bất đẳng thức cùng  chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của hai vế . Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với  cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó  

     - Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ nhất .  Tính chất này được dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức  

3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: 

3.1 Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Ví dụ 1:  Chứng minh rằng với mọi số thức x thì :

2 2

3 4 11

2 1

x x

 



Giải : 

Ta có :

2

x   x x   

   Với mọi x  

Do vậy : 

2

2

3 4 11

2 1

x x

 



3x 4x 11 2 x x 1 3x 4x 11 2x 2x 2

       2  2

        Đúng với mọi x  

 Dấu bằng xảy ra khi x     3

Ví dụ 2: Cho a b  ,  và   a b 0. Chứng minh rằng 

2 2

a b

a b

a b





Giải: 

Xét tử của  M :    5 5 3 2 2 3  5 2 3  3 2 5 2 3 3 2 3 3

a b a b a b  a a b  a b b a a b b a b   

2

2

       

Vì  a b 0 nên   

2

0

M  a b a b  b 

  do a, b không thể đồng thời bằng 0  

3.2 Phương pháp phản chứng:

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn  

0 0 0

a b c

ab ac bc abc

  





  





. Chứng minh rằng cả ba số đó đều dương  

Giải 

- Giả sử có một số không dương: a   0

Từ  abc   ta có: 0 bc    (* ).  Từ  0 a b c  0  ta có: b c     a 0

Từ  ab bc ca  0  ta có: bca b c(  )0bc a b c(  )0 (**) 

Ta có (*) và (**) mâu thuẫn nhau  đpcm. 

3.3 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x y   Ta có: , 0 (1x)(1y)(1 xy)2)2 

Giải 

Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :   2  2 2  2  2

(1x)(1y)1  x   1  y  1 xy

(1 )(1 ) (1 )(1 )

xy

Dấu bằng  xảy ra khi  x y 

Ví dụ 5: Cho a b R và  3a + 4 = 5 . Chứng minh rằng , a2 b2   1

Giải : 

Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky  ta có: 2  2  2 2 2 2 2 2

5  3a4b  3 4 a b a b  1 

Dấu bằng xảy ra khi : 

3

5 4

3 4

5

a b

b







Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a= 5 4

3

b

  Vậy 

2

3

b

a b     b    b b  b 

        25b2 40b1605b42     Đúng với mọi x  0

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta có :  

a ) sin x + cosx  1

2

           b) tanx + cotx    2   Giải : 

a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: sin x + cosx 

sin cos 1

x x

Dấu bằng xảy ra khi sinx = cosx hay x = 450 

b ) Vì tanx , cotx > 0 . áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có:  tanx + cotx  2 tan cot x x2  

Dấu bằng xảy ra khi tanx = cotx hay x= 450 

Ví dụ 7: Cho a 4 . Chứng minh rằng :  1 17

4

a a

    Giải:  

Ta có :   1 1 15

a

     Áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dương 

16

a

 và 1

a ta có :  

     Mà :  4 15 15.4 15

a

Vậy  1 17

4

a

a

   Dấu bằng xảy ra khi a   4

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số thực x , y ta có : 5x22y2 2xy4x6y 10 

Giải:  

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :  

     

Điều này đúng vì 2x12 0;y32 0;x y2 0 và không đồng thời xảy ra 

(2x1) (y3) (xy)   0

3.4 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình

Ví dụ 9: Chứng minh rằng nếu phương trình: 2x2(x a )2(x b )2 c2  có nghiệm thì 

4c 3(a b ) 8ab 

Giải 

Ta có : 2x2xa2x b 2c24x22a b x  a2b2 c2  0

Để  phương trình có nghiệm thì : 

' 0 a b 4(a b c ) 0 4c 3 a b 2ab 4c 3 a b 8ab

3.5 Phương pháp làm trội:

Ví dụ 10: Chứng minh với n  * thì:

2

1 2

1

2

1 1

1











Giải: Ta có: 

n n n

1 1 1

1







       1 1

2 2

n  n 

    +        ………. 

        1 1

2n1 2n 

2

1 2

1 2

1

2

1 1 1 2

1 2 1



















n n n

n

n

4 Các bài tập tự luyện :

Bài 1: Trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền bằng 1, hai cạnh góc vuông là b và c. Cm: b3 + c3 < 1    

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 

       a) 

2

2

7 15 12

3 1

x x



   Với mọi x        b ) Nếu a + b < 0 thì  a3b3 ab a b 

       c )  Nếu x3+y3 = -2 thì  2 xy0          d ) Nếu x3+y3 = 16 thì 0 < x +y    4 

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau :  

a ) Nếu a2 +b2 = 13 thì a2 +b2    2a +3b   b)   2 2    

5 x y 4 xy 2 xy1   Với mọi x, y 0

Bài 4: a)  Cho hai số thực dương a và b . Chứng minh rằng : 1 1 4

ab  ab 

2 2

4 2

1

x

x





Bài 5:  a ) Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng 

2

a b a b

a      

       b ) áp dụng so sánh   2007 2006  và  2006 2005 

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Theo định lý Pitago ta có 1 = b2 + c2 và 1> b; 1 > c. Vậy 1= b2 + c2 >  b3 + c3 

Bài 2: a) Ta có :  Vì x2 - x +1 = 

2

0

x

 với mọi x  

Nên     

2

2

7 15 12

1

x x

4x 12x 9 0 2x 3 0

         ( Đúng ) 

Dấu bằng  xảy ra khi x = 3

2 

b ) Ta có : 

a b ab a b  a b a ab b ab a b  a b a  ab b   a b a b     Đúng vì a +b < 0 và a+b2   0  

c) Ta có  3 3    2 2

2 x y x y x xy y

Mà 

2

0

y

x xy y x   y 

   Nên x + y < 0. Mặt khác : 

3

             

Dấu bằng xảy ra khi x = y = -1 

d) Tương tự câu c  

Bài 3: a) áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxky ta có :  

2a3b  a b 2 3 13 a b  a b  2a3b a b 2a3ba b  

Dấu bằng xảy ra khi a = 2 ; b = 3  

b) Ta có :  

5 x y 4 xy 2 xy1 0 4x 4x1  4y 4y1  x 2xyy 0

2x 12 2y 12 x y2 0

        Điều này luôn luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi  1; 1

x y   

Bài 4: a ) Ta có: 1 1 4 a b 4



Vì a,b > 0; a+b > 0 nên: (*)   2

4

a b ab

    ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số )  Vậy 1 1 4

a b  ab với mọi a , b > 0  

b) Đặt (x-1)2 = t  thì t > 0 và x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t . Vì  0 < x < 2 nên 1-t > 0 áp dụng bất đẳng thức 

ở  câu (a) cho hai số dương t và 1-t ta được : 

4

x



Mà 4 - x2  < 4 do  0 < x < 2. Vậy: 

2 2

4 2

1

x

x





Bài 5: a) Ta có  2

2

a b a b

a     a  ab a  b

Bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được: 

4a2a2 a b a a b a a b 0 b   Đúng  

b) áp dụng câu a với a = 2006 và b = 1 ta có: 

2 2006  2007 2005  2006 2005 2007 2006 

B Bài tập trắc nghiệm

I Đề bài

Câu 1: Trong các tính chất sau, tính chất nào sai 

A a b a c b d

c d





   





B 0

0

 





 

C 0

0

a b

a c b d

c d

 





 

D 0

0

a b

a c b d

c d

 





 



Câu 2: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau 

a b

C a b ac bd

c d











0

a b

a c b d

c d

 





 



Câu 3: Mệnh đề nào sau đây sai? 

A a b a c b d

c d





   





B a b ac bd

c d











C a b a c b d

c d





   







   D ac bc  a b, với c 0. 

Câu 4: Cho  , , ,a b c d  , tìm mệnh đề sai. 0

A a 1 a a c





  

C a c a a c c



    D Có ít nhất một trong ba mệnh đề trên sai. 

Câu 5: Với  ,m n 0, bất đẳng thức    3 3

m n m n m n  tương đương với bất đẳng thức 

A m n m  2n20

B mn m2n2m n 0

C mnmn20

D Tất cả đều sai. 

Câu 6: Cho  ,  x y 0. Tìm bất đẳng thức sai. 

A xy24xy.   B 1 1 4

x y  xy   

C 1 4 2

xy xy

D xy2 xy.  

Câu 7: Với hai số x y,  dương thoả xy 36. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? 

A xy2 xy 12.   B x2y22xy72. 

C

2

36

2

x y

xy



 

Câu 8: Cho bất đẳng thức a b  ab  Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 

A ab.   B a b  0.   C a b  0.   D a b  0. 

Câu 9: Cho  , ,a b c 0 Xét các bất đẳng thức sau 

I) a b 2

bca    III) a b 1 1 4

a b

   

  Chọn khẳng định đúng. 

A Chỉ I) đúng.  B Chỉ II) đúng.  C Chỉ III) đúng.  D Cả I), II), III) đúng.  Câu 10: Cho  , ,x y z 0. Xét các bất đẳng thức sau 

I) x3y3z33xyz   II) 1 1 1 9

x y z xyz   III)  3

x y z

y z x  

Chọn khẳng định đúng. 

A Chỉ I) đúng .  B Chỉ I) và III) đúng .  C Cả I), II), III) đúng.  D Chỉ III) đúng.  Câu 11: Cho  , ,a b c 0. Xét các bất đẳng thức sau 

I) a b 2

bca    III) 

abc a b c    Bất đẳng thức nào đúng? 

A Chỉ I) đúng.   B Chỉ II) đúng.   C Chỉ III) đúng.  D Cả I), II), III) đúng.  Câu 12: Cho  , ,a b c 0. Xét các bất đẳng thức 

3

a b c   abc   II) a b c 1 1 1 9

a b c

     

   III) a b b c c a     9 .   Bất đẳng thức nào đúng 

A  Chỉ I) và II) đúng.   B Chỉ I) và III) đúng.   C Chỉ I) đúng.   D Cả I), II), III) đúng.  Câu 13: Chox y,  là hai số bất kì thỏa mãn  2        5x   ta có bất đẳng thức nào sau đây đúng: y

  A. x2y2 5.     B.  2

– 2 0

  C. x2  5 – 2  x2  5.     D. Tất cả đều đúng. 

Câu 14: Cho a b c ,  ,     0 và      1 a b c    Dùng bất đẳng thức Côsi ta chứng minh được 

     

     

      . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào: 

  A. a  b   c    B. a   b     1.c    C.  1

      3

a b c     D. a1,b c 0.  

Câu 15: Xét các bất đẳng thức: 

2

a b  ab;  2  2 2

2

a b  a b   2

a b  ab; a2b2c2abbcca 

Trong các bất đẳng thức trên, số bất đẳng thức đúng với mọi số thực a, b, c là:

Câu 16: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1

2

x

 

  với x 2 là:

Câu 17: Cho a b 0. Xét các mệnh đề sau 

I a b  a b a b    2 2 2 2

II a a  b b b  a  

: ( 3 ) ( 3 )

III a a b b b a  IV:a3b3b33a b2 3ab2a30. 

Số mệnh đề đúng là. 

Câu 18: Cho 2 số a và b. Xét các mệnh đề sau đây. 

 I : (b a b )a a b(  ).   2 2

: 2(1 ) 1 2

II a   a  

: (1 )(1 ) (1 )

III a b  ab     2 22 2 2

IV a b  a b  

Số mệnh đề đúng là. 

Câu 19: Cho  ,   ,  a b c  với  a b  và ac. Câu nào sau đây đúng? 

2

b c

a   a c  b a.  2 2 2

2a b c  a b c a   0. 

Số mệnh đề đúng là. 

Câu 20: Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì 

A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. 

B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. 

C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. 

D. Cả A, B, C đều sai. 

Câu 21: Cho biểu thức P  a a vớia 0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 

A.Giá trị nhỏ nhất của P là 1

4.  B.Giá trị lớn nhất của P là 

1

4. 

C.Giá trị lớn nhất của P là 1

2.  D. P đạt giá trị lớn nhất tại 

1 4

a   

Câu 22: Với mọi a b , 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A a b 0.  B a2ab b 2 0.  C a2ab b 2 0.  D a b 0.   

Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số    2 2

f x



   bằng 

A.11

4

11

8

11. 

Câu 24: Cho   2

f x  x x  Kết luận nào sau đây là đúng? 

A.f x  có giá trị nhỏ nhất bằng1

4.  B. f x có giá trị lớn nhất bằng 1

2. 

C.f x có giá trị nhỏ nhất bằng  1

4

   D. f x có giá trị lớn nhất bằng 1

4. 

Câu 25: Bất đẳng thức mn24mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 

A.n m 12m n 12  0 B.m2n2 2mn. 

C. 2

0

mn mn   D. 2

2

mn  mn. 

Câu 26: Với mọi a b , 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 

A.a b 0.  B.a2ab b 20.  C.a2ab b 20.  D.ab  0

Câu 27: Với hai số x, y dương thoả thức xy 36, bất đẳng nào sau đây đúng? 

A.xy2 xy 12.    B.xy2xy72.   

2

36 2

x y

xy



 

. 

Câu 28: Cho hai số x, y dương thoả xy12, bất đẳng thức nào sau đây đúng? 

2

36 2

x y

xy   

. 

C.2xyx2y2.  D. xy 6. 

Câu 29: Cho x, y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy 2. Giá trị nhỏ nhất của Ax2y2. 

Câu 30: Với a b c d , , , 0. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? 

A a 1 a a c





 . 

C a c a a c c



 .  D Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên sai. 

Câu 31: Hai số a b,  thoả bất đẳng thức 

2

a b a b 

   thì 

A ab.  B ab.  C ab.  D ab. 

Câu 32: Cho a b , 0. Chứng minh a b 2

ba . Một học sinh làm như sau: 

I) a b 2

2 1

ab



II)  1 a2b2 2ab a2b22ab0 2

(a b) 0

III) và a b 2 đúng 0 a b, 0nên a b 2

ba . 

Cách làm trên : 

C. Sai ở III).  D. Cả I), II), III) đều đúng. 

Câu 33: Cho các bất đẳng thức: a b 2  I

ba , a b c 3  II

bca , 1 1 1 9 III

abc a b c   (với  , , 0

a b c  ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng? 

A. chỉIđúng.  B. chỉII đúng.   

C. chỉIII đúng.  D.I II III, , đều đúng. 

Câu 34: Với m, n 0, bất đẳng thức:    3 3

mn m n m n  tương đương với bất đẳng thức 

A.   2 2

0

0

mn m n mn   

C.  2

0

mn mn    D. Tất cả đều sai. 

Câu 35: Cho x y ,   0. Tìm bất đẳng thức sai? 

A. 2

4

xyxy. 

C.

2

xy  x y  

Câu 36: Chox2y21, gọi S x y. Khi đó ta có 

A.S  2.  B.S  2.  C. 2 S  2.  D 1 S   1

Câu 37: Cho x y,  là hai số thực thay đổi sao cho xy2. Gọimx2y2. Khi đó ta có: 

A. giá trị nhỏ nhất của m là 2.  B.giá trị nhỏ nhất của m là 4. 

C. giá trị lớn nhất của m là 2.  D.giá trị lớn nhất của m là 4. 

Câu 38: Với mỗi x 2, trong các biểu thức: 2

x, 

2 1

x  , 

2 1

x  , 

1 2

x 

,  2

x

giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? 

A.2

2 1

2 1

x

. 

Câu 39: Giá trị nhỏ nhất của hàm số    2

x

f x

x

 

  với    1 x   là 

Câu 40: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2x 1

x

   với     0x   là 

Câu 41: Xét các mệnh đề sau đây: 

I.  2 2

2

a b  ab  II. ab a b(  )a b  III. ab 4 4 ab 

Mệnh đề nào đúng? 

A Chỉ I.  B Chỉ II.  C I và III.  D I, II và III. 

Câu 42: Xét các mệnh đề sau  

2

4

1

1 2

a

a    

1

1 2

ab

ab   

2 2

1 1

2 2

a a





2

1

ab

a b   . 

Số mệnh đề đúng là . 

Câu 43: Cho a b c,   ,   dương. Bất đẳng thức nào đúng? 

A 1 a 1 b 1 c 8

     

     

     

     

     

     

. 

C 1 b 1 c 1 a 3

     

     

      .  D a b b c c a     6abc. 

Câu 44: Cho x2y2 4. Câu nào sau đây sai ? 

A | 3x4 | 10y    B | 3x4 | 5y   

C | 3x4 | 25y    D | 3x4 | 20y   

Câu 45: Cho bốn số a b x y,   ,   ,    thỏa mãn a2b2 x2y21. Tìm bất đẳng thức đúng. 

 I :|ax by | 1    II :| (a xy)b x( y) | 2. 

III:| (a xy)b x( y) | 2.   IV :|ay bx | 1  

Số mệnh đề đúng là . 

Câu 46: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x25x6 trên đoạn2;3 . 

A 5

1

1

2. 

Câu 47: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x68x3 trên đoạn0;2 . 

Câu 48: Trong các số 3 2,  15, 2 3, 4

A. số nhỏ nhất là 15, số lớn nhất là 2 3. 

B. số nhỏ nhất là 2 3, số lớn nhất là 4. 

C. số nhỏ nhất là  15, số lớn nhất là 3 2. 

D. số nhỏ nhất là 2 3, số lớn nhất là 3 2. 

Câu 49: Cho hai số thực  ,a b  sao cho  a b . Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A. a4 b  4 B. 2a  1 2b1.  C. b a 0.  D. a  2 b 2. 

Câu 50: Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A 1  a

1



a



a a  

Câu 51: Bất đẳng thức a2b2c2d2e2a b c d(   e)a b c d e, , , ,  tương đương với bất đẳng thức nào 

sau đây? 

A

0

B

0