CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI. Dạng toán: PHƯƠNG TRÌNH THEO SIN, COS

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI Dạng toán 1.. PHƯƠNG TRÌNH THEO SIN, COSSử dụng biến đổi lượng giác, biến đổi đại số để đưa phương trình cho về phương trình lượng giác cơ bản, phương tr

CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI Dạng toán 1 PHƯƠNG TRÌNH THEO SIN, COS

Sử dụng biến đổi lượng giác, biến đổi đại số để đưa phương trình cho về phương trình lượng giác cơ bản, phương trình theo một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất với với sinx và cosx, phương trình thuần nhất (đẳng cấp) đối với sinx và cosx, phương trình đối xứng với sinx và cosx, hoặc tích các phương trình đó.

Chú ý:

1) Định hướng biến đổi theo cung góc lượng giác, theo hàm số lượng giác, theo hệ số đặc biệt của phương trình.

2) Có đơn vị và không có đơn vị của ẩn, kết hợp nghiệm.

3) Đánh giá 2 vế dựa trên tập xác định, tập giá trị và các bất đẳng thức cơ bản.

4) Công thức cộng và công thức nhân:

cos2a= cos a- sin a= 2cos a- = -1 1 2sin a

sin2a= 2sin cosa a

2tantan2

1 tan

a a

a

=-

Công thức hạ bậc hai:

2 1 cos2cos

1 cos2

a a

1 cos2

a a

a

+

=

Bài toán 1 Giải các phương trình sau:

a) cos3x= sin2x b)sin(x- 120° -) cos2x= 0

p p

p p

éé

105 180 210 3602

Cách khác: sin(x- 120° =) cos2x= sin 90( °- 2x).

Bài toán 2 Giải các phương trình:

a) cos cos5x x= cos2 cos4x x

sin cos 10sin cos

t=

hoặc

1 214

t= +

(loại)Khi t= Û1 cos2x= Û1 x= kp;

Khi

1 214

t=

-, đặt

1 21cos

x= kp

; x 2 k

a p

= ± +

.b) Điều kiện: x 2 k

p p

t = Û cosx=1

hoặc

1cos

16

Giải

a) Vì

sin4x= 2sin2 cos2x x

nên điều kiện : sin4x 0 x k4

p

¹ Û ¹

.PT:

sin2x+ cos2x= sin4xÛ sin2x+ cos2x= sin2 cos2x x

sin2 cos2 1 sin 2 sin

b) Ta có

1sin cos cos2 cos4 cos8 sin16

Bài toán 6: Giải các phương trình

b) Phương trình tương đương với

sin8x- 3 cos8x= cos6x+ 3sin6x

= ± +

;

k ZÎ.b) Ta biến đổi phương trình đã cho như sau

Bài toán 8: Giải các phương trình:

a) cos3x+ cos2x- cosx- =1 0

2cos

32

x k x

x

p p p

é

êê

êê

ê

= êë

-Vậy nghiệm x 4 k

p p

= +

,

k ZÎ

Bài toán 9: Giải các phương trình:

18 32

sinx+ cosx+sin cos sinx x x+cosx = sinx+ cosx

(sinx cosx)(1 sin cosx x sinx cosx) 0

ê

Dạng toán 2 PHƯƠNG TRÌNH THEO TAN, COT

Phương pháp: Sử dụng biến đổi lượng giác, biến đổi đại số để đưa phương trình cho về phương trình lượng giác cơ bản, phương trình theo một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất (đẳng cấp) đối với sinx và cosx, phương trình đối xứng đối với sinx và cosx, hoặc tích các phương trình đó.

4) Đánh giá 2 vế dựa trên tập xác định, tập giá trị và các bất đẳng thức cơ bản.

5) Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

Bài toán 1: Giải các phương trình sau:

a) tanx= cot 2x b) tan 2( x +30° +) tan10° = 0

Bài toán 2: Giải các phương trình:

a) 2sinx+cotx= 2sin2x+1 b) 2 tan( x- sinx) (+3 cotx- cosx)+ =5 0

Giải

a) Điều kiện x 2 k

p p

¹ +

Phương trình:

2sin x+ cosx= 4sin xcosx+sinx

(2sinx 1 sin) x cos 4sinx( 2x 1) 0

x p k p

hoặc

726

x= p+ k p

Xét sinx- cosx- 2sin cosx x= 0

Đặt t sinx cosx 2 sin x 4 , t 2

sinx cosx sin cosx x 0

Û + - = (1) hoặc 2sinx+3cosx= 0 (2)

Đặt t sinx cosx 2 sin x 4 , t 2

Bài toán 3: Giải các phương trình sau:

a) tanx+tan2x= sin3 cosx x b) tanx+cot 2x= 2cot 4x

sin3 1 cos cos2x x x 0 sin3x 0

Û - = Û = hoặc cos cos22x x =1

.b) Vì sin4x= 2sin2 cos2x x= 4sin cos cos2x x x nên điều kiện sin4x ¹ 0

sin sin2 cos cos2 2cos4

+

( )

cos 2 cos4

cos4 cos2cos cos2

ê =êëNếu k= 3m m Z( Î ) thì sin4x= sin4mp= 0: loại.

t= x+ xÞ t = x+ x ³

.Phương trình: t2- = Ût 2 t2- -t 2 0=

Chọn nghiệm t= Û2 tanx+cotx= 2

b) Với điều kiện cosx ¹ 0, đặt t= tanx

( )2

12

1 sin2 1

t t

p p p

tan cot 2 cot 1

x x

Phương trình:

2 cos sincos sin2

cos sincos

2

x= Û x= kp

(loại) hoặc x 4 k2

p p

= ± +

Ta chọn nghiệm x 4 k2

p p

= - +

với

k ZÎ.b) Điều kiện: 4 2

k

x¹ p+ p

Phương trình: cos2 4 2sin4 16 1 cos4( )

cos sin cos2

Bài toán 6: Giải các phương trình:

a) cot sin 1 tan tan2 4

x= p+k p k ZÎ

(thỏa mãn)

b) Điều kiện:

cos 0tan sin

2sin 0

Vì D < 0 nên phương trình cho vô nghiệm

Bài toán 7: Giải các phương trình:

æ ö÷

ç+ + çç + ÷÷÷

=+

(sinx cosx)(1 sinx cos2x) (1 tan cosx) x

PT

sinsin

1cos

x x

Bài toán 1: Giải các phương trình sau:

a) (sinx+1 2cos2) ( x- 2)= 0

b) sinx+sin2x= 0

Giải

a) (sinx+1 2cos2) ( x- 2)= 0Û sinx= - 1

hoặc

2cos2

2

x =

Û = - +

hoặc 2x 4 k2

p p

= ± +

22

Û = - +

hoặc x 8 k ,k Z

p p

.b) sinx+sin2x= 0Û sinx+2sin cosx x= 0

x= ± p+ k p k ZÎ

Bài toán 2: Giải các phương trình sau:

a) sin 2xsin 4xsin 6x b) cos3xsin3xcos 2x

b) PT: sinxcosx1 sin cos x xcos2xsin2 x

sinx cosxsinx cosx sin cosx x 1 0

sinx cosx 0

   hoặc sinxcosxsin cosx x 1 0

Xét sinx cosx 0 tanx 1 x 4 k

.Xét sinxcosxsin cosx x 1 0

Đặt t sinx cosx 2 sin x 4 , t 2

x  k  k Z

Bài toán 3: Giải các phương trình:

a) 2cos3xcos 2xsinx0

b) sinxsin2xsin3xsin4 xcosxcos2xcos3xcos4x

Ta có (1) sinx 1 x 2 k2

;Đặt t sinx cosx 2 sin x 4 , t 2

x   k 

   

hoặc x     4 k22

x   k  k Z

.b) PT: cosxsinxcos2xsin2 xcos3xsin3xcos4xsin4x0

cosx sinx 1 cosx sinx 1 sin cosx x cosx sinx 0

24

Bài toán 4: Giải các phương trình sau:

a) sin 42 xsin 32 xsin 22 xsin2 x

b) cos2xcos 22 xcos 32 xcos 42 x2

55

Bài toán 5: Giải các phương trình sau:

a) 16 sin 6xcos6x 1 3sin 6x0

b)

cos 2sin cos

Bài toán 6: Giải các phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm x k  với k Z

Bài toán 7: Giải các phương trình:

a) 1 sin xcos 3xcosxsin 2xcos 2x

b) sin3xcos3x2 sin 5xcos5x

sin xcos x sinxcosx 1 sin cos x xsin xcos x

Nên phương trình đề bài tương đương

sinxcosxsin cosx x 0 sinxcosxsin 2x0

Ta có sinx1 và cosx1 nên VT   3 2 5

Do đó dấu = xảy ra khi

sin 11

x cox

Ta có sin3xsin2x và cos3xcos2x nên VT sin2xcos2x1

Do đó dấu = xảy ra nên

sin sin

22cos cos

Ta có cos2016xcos2 x, dấu = xảy ra khi cosx0 hoặc cosx 1

Và sin2016xsin2x, dấu = xảy ra khi sinx0 hoặc sinx 1.

Nên sin2016xcos2016xsin2xcos2x1

Do đó, phương trình tương đương với :

PT: cos 3xcosx  2 0 cos 3xcosx2

Ta có cos 3x1 và cosx1 nên VT   1 1 2

Do đó dấu = xảy ra nên

2cos 3 1 3 2

2 ,3

3 2 ,

32

tan

63

   

.Vậy nghiệm: 4 2

Dạng toán 5 ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM

Phương trình: sin x= m vô nghiệm khi m > , phương trình có nghiệm khi 1 m £ 1

Phương trình: cosx= m vô nghiệm khi m > , phương trình có nghiệm khi 1 m £ 1

Phương trình: tan x = m luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Phương trình: cot x = mluôn luôn có nghiệm với mọi m.

Phương trình Acosu Bsinu C+ = có nghiệm khi và chỉ khi A2+B2³ C2

Bài toán 1: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm:

m x m

-=

-Vì cot x có giá trị từ - ¥ đến + ¥ nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Vậy điều kiện có nghiệm là m¹ 7.

Bài toán 2: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm:

a) sin2x+(m- 2 sin) x- 2m= 0 b) m.tan2x+2(m- 3 tan) x+ m 4+ = 0

Bài toán 3: Cho phương trình cos4x+6sin cosx x= m

a) Giải phương trình khi m= 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc 0, 4

Phương trình tương đương: 1 2sin 2- 2 x+3sin2x= m

Đặt t= sin2x, điều kiện t £ thì phương trình trở thành1

t = Û sin2x= 0

hoặc

1sin2

= +

hoặc

76

x= p+k p

.Vậy phương trình có nghiệm: 2

k

x= p

; x 6 k

p p

= +

;

76

x= p+ k p

,

k ZÎ.b) Với x 0,4 0 2x 2 0 t sin2x 1

Bài toán 4: Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

a) 3sin2x- 4cos2x= m b) (m- 1 cos) x+(m+4 sin) x= 25

Bài toán 5: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m:

(m- 1 cos) x+(m+3 sin) x= Tìm các nghiệm2

( )

2

2cos

Bài toán 6: Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

(2m+1 sin) 2x m- sin2x+cos2x= 0

Giải

Ta viết lại phương trình

(2m+1 sin) 2x- 2 sin cosm x x+ cos2x- sin2x= 0

Bài toán 7: Xác định a để hai phương trình sau tương đương

2cos cos2x x= +1 cos2x+ cos3x (1)

2

x =

.(2) Û 4cos2x- (4cos3x- 3cosx)= acosx+2 4( - a)cos2x

2

x =

hoặc

3cos

2

a

x=

-.Hai phương trình đã cho tương đương khi

Dạng toán 6 TOÁN ỨNG DỤNG

Giải phương trình, hệ phương trình đại số

Lượng giác hóa: đưa hàm số lượng giác vào bài toán đại số.

- Nếu x £ thì đặt 1 x= sint hay x= cost

- Nếu x £ r r, > thì đặt 0 x= r.sint hay x= r.cost

- Nếu x2+ y2= thì đặt 1 x= sint và y= cost

- Nếu x2+ y2= r2 thì đặt x= r.sint và y r= .cost

- Nếu x RÎ thì đặt x= tana hay x= cota .

Tính góc tam giác, dạng tam giác ABC

Cho tam giác ABC gọi 3 cạnh a, b, c đối diện với 3 góc A, B, C,

Phương trình trở thành 1 cos2+ t- 1 cos2- t = cos2t

Điều kiện: x £ nên đặt 1 x= cos ,u uÎ ë û.é0,pù

Phương trình trở thành cos3u+sin3u= 2 sin cosu u (1)

C= p

Bài toán 6: Tính góc C của tam giác ABC biết rằng: (1 cotA 1 cot+ )( + B)= 2

Giải

Tam giác ABC thì có hệ thức cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

Nên từ giả thiết cotAcotBcot cotA B1 thì

cotAcotBcot cotA Bcot cotA Bcot cotB Ccot cotC A

Nên cotAcotBcot cotB Ccot cotC AcotCcotAcotB

cotA cotBcotC 1 0

Giả sử cotAcotBcotAcot B

180

A B

   : vô lý nên cotC  1 C 45

Bài toán 7: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi

Giải

Hệ thức đề bài tương đương với

sin cosA Bsin cosB Asin sinA Asin sinB B

 tam giác ABC vuông hoặc cân tại đỉnh C

Bài toán 8: Xét dạng tam giác ABC thỏa mãn cot 2

B a c b



cos sin sin 2sin cos

Bài toán 9: Xét dạng tam giác ABC thỏa mãn:

Vậy tam giác ABC vuông ở A

Bài toán 10: Xét dạng tam giác ABC thỏa mãn:

1cos cos cos

8

Giải

Ta có cos cos cos 1 4cos cos  cos  1

Bài tập 2: Giải các phương trình:

a) 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8

Bài tập 3: Giải các phương trình:

a) 2 tan tan 3 x xtan2 x

b) 2 tanxtan 3xtan 5x

Bài tập 4: Giải các phương trình:

a) sin 3 3x sin 6 x sin 4x 1

Bài tập 5: Tìm điều kiện phương trình sau có nghiệm:

a) m.sinx 3 2m1 sin x m b) sin6xcos6x m sin 2x

HD – ĐS

a) Kết quả m 2

b) Kết quả

14

Bài tập 7: Tính 3 góc của tam giác ABC biết

a) 3 cosA2cosB2 3 cosC4

b)

1sin sin sin

a) Kết quả tam giác ABC cân

b) Kết quả tam giác ABC vuông