PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Bối cảnh của sáng kiến. Thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “Hai không”; “Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” cùng với phong trào xây dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực”; Nghị quyết TW2 khóa VIII cũng đã khẳng định “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến…”. Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến học sinh vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện được thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang cách dạy học, vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất; đồng thời phát triển cách đánh giá kết quả giáo dục từ nặng về kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề, coi trọng cả kiểm tra đánh giá kết quả học tập với kiểm tra đánh giá trong quá trình học tập để có thể tác động kịp thời nhằm nâng cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục. Toán học cũng không nằm ngoài xu hướng phát triển chung đó. Hơn nữa, từ năm học 2016 – 2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đề thi môn toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường, đòi hỏi học sinh cần phải nắm vững kiến thức từ cơ bản đến nâng cao , làm thuần thục các dạng toán quan trọng đồng thời cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án; giáo viên cũng phải tích cực nghiên cứu các dạng bài tập và phương pháp giải phong phú đa dạng vừa giúp học sinh rèn luyện nâng cao khả năng tư duy vừa tạo hứng thú và niềm yêu thích học tập đối với môn toán cho học sinh. 2. Lý do chọn sáng kiến Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải. Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế. Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề, tôi phát hiện ra rằng rất nhiều bài toán về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán hình học trong mặt phẳng nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính toán sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,. thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình. Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC” . 3. Phạm vi và đối tượng của sáng kiến. Phạm vi của sáng kiến: trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp dụng vào nội dung dạy giải bài tập toán, từ đó phân loại các dạng bài tập và xây dựng hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đáp ứng được yêu cầu của học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi. Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu là toàn bộ chương Số phức và phần Hình học giải tích trong mặt phẳng thuộc môn toán Trung học phổ thông. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán số phức. 4. Mục đích nghiên cứu. Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ hỗ trợ giáo viên trong quá trình giảng dạy, đồng thời giúp các em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán số phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất hình học đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các em phát triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi.
Trang 11.1 Giải các bài toán tính toán môđun của số phức, tìm số phức thỏa
1.2 Giải các bài toán cực trị môđun số phức 11
1.2.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng 12
1.2.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn 15
1.2.3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là elip 20
1.2.4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là hai đường 20
2.Hiệu quả của việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn 32
1 Bối cảnh của sáng kiến.
Thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ ChíMinh”, cuộc vận động “Hai không”; “Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức,
Trang 2tự học và sáng tạo” cùng với phong trào xây dựng “Trường học thân thiện, học sinhtích cực”; Nghị quyết TW2 khóa VIII cũng đã khẳng định “Đổi mới mạnh mẽphương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rènluyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến…” Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáodục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quantâm đến học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến học sinh vận dụng được cái
gì qua việc học Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện được thànhcông việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sangcách dạy học, vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩmchất; đồng thời phát triển cách đánh giá kết quả giáo dục từ nặng về kiểm tra trí nhớsang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề, coi trọng cảkiểm tra đánh giá kết quả học tập với kiểm tra đánh giá trong quá trình học tập để
có thể tác động kịp thời nhằm nâng cao chất lượng của các hoạt động dạy học vàgiáo dục Toán học cũng không nằm ngoài xu hướng phát triển chung đó Hơn nữa,
từ năm học 2016 – 2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đề thi môn toánthay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điềunày đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường, đòi hỏihọc sinh cần phải nắm vững kiến thức từ cơ bản đến nâng cao , làm thuần thục cácdạng toán quan trọng đồng thời cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề mộtcách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án; giáo viên cũngphải tích cực nghiên cứu các dạng bài tập và phương pháp giải phong phú đa dạngvừa giúp học sinh rèn luyện nâng cao khả năng tư duy vừa tạo hứng thú và niềmyêu thích học tập đối với môn toán cho học sinh
2 Lý do chọn sáng kiến
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vàochương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết sự ra đờicủa số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữacác phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải Số phức là vấn đề hoàn toànmới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó
Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên
có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn ngườihọc Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giảnkhác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng đượckhá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ
Trang 3Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có ít tài liệu về số phức để học sinh vàgiáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về sốphức trong SGK còn nhiều hạn chế
Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạytôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựngcác dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Trong quá trình giảng dạy, ônthi, làm đề, tôi phát hiện ra rằng rất nhiều bài toán về số phức đều được xây dựngtrên cơ sở một số bài toán hình học trong mặt phẳng nếu học sinh tiếp cận theohướng đại số thuần túy về tính toán sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thờigian ngắn Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần
ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phươngtrình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, thì các em sẽ giải quyết tốt bài toántrên Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc củamình
Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trìnhgiảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viếtthành tài liệu “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNGHỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNGPHÁP HÌNH HỌC”
3 Phạm vi và đối tượng của sáng kiến.
Phạm vi của sáng kiến: trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp dụng vào nộidung dạy giải bài tập toán, từ đó phân loại các dạng bài tập và xây dựng hệ thốngbài tập từ cơ bản đến nâng cao đáp ứng được yêu cầu của học sinh đặc biệt là họcsinh khá giỏi Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu là toàn bộ chương Số phức vàphần Hình học giải tích trong mặt phẳng thuộc môn toán Trung học phổ thông
Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào
mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọcmột số bài toán đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bàitoán số phức
4 Mục đích nghiên cứu.
Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ hỗ trợ giáo viên trong quá trình giảng dạy, đồng thời giúp các
em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh
và hiệu quả khi gặp những bài toán số phức Sau đó là khuyến khích các em dựa
Trang 4vào những tính chất hình học đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập
số phức, qua đó giúp các em phát triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, cácchương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắcnghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi
PHẦN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
I THỰC TRẠNG CỦA NỘI DUNG.
1 Cơ sở lý luận.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc
biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phầncác em ngại học môn này
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môntoán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.Điều đó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần địnhhướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trongchương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bàitập rồi tổng hợp các cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp chohọc sinh THPT có một cách nhìn và một hướng tư duy mới để giải các bài toán sốphức Đó là việc chuyển các bài toán số phức về các bài toán hình học và vận dụngcác phương pháp hình học để giải
2 Cơ sở thực tiễn.
2.1 Thực trạng
Hiện nay khi gặp các dạng toán số phức được phát triển từ bài toán hình họcthường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nútthắt mấu chốt cho đến cách xử lý Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài,
sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kếtquả mong đợi
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian
để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học
Trang 5thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng
túng như là gặp những bài toán mới
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán
2.2.Tiềm năng
Trong quá trình học toán thì kĩ năng vận dụng toán học là quan trọng nhất, nhàtrường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức toán học, mà còn rènluyện cho học sinh kĩ năng vận dụng tính đọc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và sửdụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểuhiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khácnhau cho 1 bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của 1 bàitoán, xem xét các khía cạnh khác nhau của 1 bài toán)
Chủ đề số phức và giải bài tập số phức bằng phương pháp hình học chứa nhiềutiềm năng to lớn trong việc giúp học sinh quy các bài toán số phức “lạ lẫm” về cácbài toán hình học quen thuộc Bên cạnh giúp học sinh giải các bài tập sách giáokhoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thốngbài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triểnnăng lực sáng tạo của mình Hơn nữa bài tập giải phương trình, bất phương trìnhkhông có thuật giải rõ ràng, muốn giải được bài tập học sinh cần phải huy độngnhiều kiến thức và tư duy phải linh hoạt chính vì vậy dạy gải bài tập toán chính làmột nội dung tốt để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN.
Trang 6- Khi phần thực a= � = � là số thuần ảo.0 z bi z
- Số 0= + vừa là số thực, vừa là số ảo.0 0i
+ Hai số phức z1= +a bi z; 2 =- -a bi được gọi là hai số phức đối nhau
Trang 7Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z= + a bi
với ,a b��được biểu diễn bằng điểm M a b ( ; )
+ Số phức liên hợp z = -a bi có điểm biểu diễn ( ;N a b- ). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox
z = =z OMuuur =ONuuur = a +b
+ Số phức z = + tương ứng với vectơ a bi ur=(a b; )
+ Gọi M N lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức , z z 1; 2 � z1- z2 =MN
đường trung trực đoạn AB với A a b B c d( ; ,) ( ; )
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến
đổi để đưa về dạng cơ bản
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z- a bi- = -z c di- Khi đó ta biếnđổi
Trang 81.1 Giải các bài toán tính toán môđun của số phức, tìm số phức thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Lời giải Giả sử z ,1 z được biểu diễn bởi điểm 2 M ,1 M trong mặt phẳng Oxy 2
Gọi I là trung điểm của M M 1 2
Ta có 1= z1 = z2 = z1- z2 �OM1=OM2 =M M1 2 = , suy ra 1 DOM M1 2 đều có
cạnh bằng 1
2
z +z =OMuuuur+OMuuuur = OIuur = OI = � = Vậy z1 +z2 = 3
Bài tập 2 Cho các số phức z z z thỏa mãn điều kiện 1; ;2 3 z1 = z2 = z3 = và1
Trang 9Gọi ,A B là hai điểm biểu diễn z z 1; 2
Ta có z1- z2 =OA OBuur- uur =AB= �1 AB=OA OB= � DOAB đều
Trang 10Tam giác OMN có
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z , 1 B là điểm biểu diễn của số phức z 2
Theo giả thiết z , 1 z là hai trong các số phức thỏa mãn 2 z- +1 2i = nên 5 A và B
thuộc đường tròn tâm I(1; 2- ) bán kính r= 5
Trang 11Ta thấy m= � =0 z 3- không thỏa mãn i z z= suy ra 1 m> 0
Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn ( )1 là đường tròn ( )C có1
1
(0;0), 1
O R = , tập hợp các điểm thỏa mãn ( )2 là đường tròn ( )C tâm2
( 3; 1 ,) 2
I - R = , ta thấy m OI = > suy ra 2 R1 I nằm ngoài ( )C 1
Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với
- Từ điều kiện bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
- Chuyển môđun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về biểu thức độ dài đoạn thẳng
- Sử dụng các bài toán cực trị hình học giải quyết bài toán
Một số kết quả cực trị hình học quen thuộc
Bài toán 1 : Cho điểm A và đường thẳng d Điểm M di động trên đường thẳng d
Khi đó AM nhỏ nhất �M là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d
Bài toán 2.1 : Cho hai điểm ,A B và đường thẳng d Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA+MB nhỏ nhất
Trường hợp 1 : , A B nằm hai phía của đường thẳng d
� + = � là giao điểm của AB và đường thẳng d
Trường hợp 2 : , A B nằm cùng phía so với đường thẳng d
� + = � là giao điểm của A B' và đường thẳng d
Trang 12Trong đó 'A là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài toán 2.2 : Cho hai điểm ,A B và đường thẳng d Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA MB- lớn nhất
Trường hợp 1 : , A B nằm cùng phía so với đường thẳng d
max
� - = � là giao điểm của AB và đường thẳng d
Trường hợp 2 : , A B nằm hai phía của đường thẳng d
max
� - = � là giao điểm của A B' và đường thẳng d
Trong đó 'A là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài toán 3 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( )C tâm I , bán kính R Tìm điểm M di động trên đường tròn ( )C sao cho AM nhỏ nhất /lớn nhất
Gọi IA cắt đường tròn ( )C tại M M 1; 2
Bài toán 4 : Cho đường tròn ( )C tâm I , bán kính R và đường thẳng d không cắt
( )C Gọi M là điểm di động trên đường thẳng d , N là điểm di động trên đường
tròn ( )C Tìm vị trí của , M N sao cho MN nhỏ nhất.
MN =d I d - R�M là hình chiếu của I trên đường thẳng d , N là giao
điểm của IM và đường tròn ( )C ( N nằm giữa I và M )
MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU 1.2.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng
Bài tập 1 Trong các số phức z thỏa mãn z- + = + -1 i z 1 2i , tìm số phức z
Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x- 2y= 0
Trang 13Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Khi đó ( )* �MA=MB Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trực của đoạn thẳng ABcó phương trình : 4d x+2y+ = 3 0
Bài tập 2 Cho số phức z thỏa mãn : z = +z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức P= -z i + -z 4
Lời giải
Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức ( ; ) z Ta có z = +z 2i � + = tức biểuy 1 0,diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y+ = Xét điểm1 0.(0;1)
A và (4;0)B thìP= -z i + -z 4 =MA+MB. Dễ thấy ,A B cùng phía với
đường thẳng y + = nên MA MB1 0 + nhỏ nhất bằng BA� trong đó (0; 3)A� - đốixứng với A qua đường thẳng y+ =1 0.
Do đó MA+MB nhỏ nhất bằng BA�=5.
Bài tập 3 Cho số phức z thỏa mãn z+ -2 i + -z 4 7- i =6 2 Tìm giá trị nhỏnhất và giá trị lớn nhất của z- +1 i.
Lời giải
Trang 14Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E(- 2;1 , ) F(4;7) và N(1; 1 - )
Trang 151.2.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
Bài tập 1 Cho số phức z thỏa mãn z- 2 2- i = Tính giá trị nhỏ nhất của z i1
-Lời giải
Đặt w= - � = + z i z w i
Gọi M x y là điểm biểu diễn hình học của số phức ( ; ) w
Từ giả thiết z- 2 2- i = ta được:1
z- = x- +y =I M� với I �(1; 0).
Trang 16Thử lại ta thấy M1(1; 1) thỏa mãn Vậy z= + 1 i
Bài tập 3 Xét số phức z thỏa mãn z- 2 2- i = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu2thức P= - -z 1 i + -z 5 2- i
Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn ( )C còn điểm B nằm ngoài đường tròn
( )C , mà MA+MB�AB= 17 Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn
AB với ( )C
Ta có, phương trình đường thẳng AB x: - 4y+ = 3 0
Trang 17Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn ( )C là nghiệm của hệ với
Goi M a b là điểm biểu diễn của số phức z.( ; )
Theo giả thiết ta có: ( )2 ( )2
