(LUẬN văn THẠC sĩ) về các định lý montel, kobe, ánh xạ riemann trong giải tích phức một biến

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cácthầy cô giáo Khoa Toán - trường Đại học Sư phạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

LƯU THỊ SONG

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,K ¨OBE, ÁNH XẠ RIEMANN

TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨNGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Thái Nguyên, năm 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

LƯU THỊ SONG

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,K ¨OBE, ÁNH XẠ RIEMANN

TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨNGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa họcPGS TSKH TRẦN VĂN TẤN

Thái Nguyên, năm 2019

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TSKH.Trần Văn Tấn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy! Dù bậnnhiều công việc nhưng thầy vẫn dành thời gian hướng dẫn và giải đáp mọivấn đề một cách rõ ràng cho tôi Xin chân thành cảm ơn thầy vì đã tintưởng và hết lòng giúp đỡ tôi trong thời gian khó khăn vừa qua

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cácthầy cô giáo Khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,nhất là các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô luôn nhiệt tình giảng dạy

và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, để tôi hoàn thànhluận văn của mình

Do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn của tôikhông tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiếnđóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Chương 1 Định lí ánh xạ Riemann 2

1.1 Định lý Arzela - Ascoli 2

1.2 Định lý Montel 4

1.3 Miền đơn liên 5

1.4 Định lý ánh xạ Riemann 6

1.5 Định lí K¨obe 10

Chương 2 Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 13 2.1 Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevan-linna 13

2.2 Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel 14

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Các định lí Montel, K¨obe về tính chuẩn tắc, Định lí ánh xạ Riemann lànhững kết quả đẹp đẽ và quan trọng trong Giải tích phức một biến và liêntục thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học Với mong muốn tìmhiểu chủ đề quan trọng này nên chúng tôi đã chọn đề tài này

2 Cấu trúc luận văn

Luân văn được chia làm hai chương: Ở Chương 1, luận văn trình bày vềĐịnh lí ánh xạ Riemann về sự tồn tại song ánh chỉnh hình giữa một miềnđơn liên (khác toàn thể) trong C với đĩa đơn vị Để trình bày vấn đề này,chúng tôi tham khảo các tài liệu [1, 2] Chương 2 đề cập tới một số tiêuchuẩn chuẩn tắc kiểu Montel Chúng tôi tham khảo [4] để cập nhật một sốkết quả gần đây về sự mở rộng Định lí Montel

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 1 năm 2019

Tác giả

LƯU THỊ SONG

HọF được gọi là chuẩn tắc trên tập con Y ⊂ X nếu với mỗi dãy {fn} ⊂ F ,

tồn tại một dãy con {fnj} hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Y.Nhắc lại rằng một không gian mêtric X được gọi là tách được nếu tồntại tập con đếm được {pj} ⊂ X là trù mật

Định lý 1.1 ( Arzela - Ascoli ) Cho X là một không gian mêtric tách được.Giả sử có tập con compact Kn ⊂ X sao cho Kn ⊂ Kn+1, và S

nKn = X

Cho F là một họ các hàm trên X, liên tục, nhận giá trị phức Khi đó, F làchuẩn tắc nếu và chỉ nếu:

(i) Họ F là liên tục đều trên mỗi tập con compact của X

(ii) Với bất kì p ∈ X, tồn tại hằng số Cp > 0 sao cho |f (p)| ≤ Cp vớimọi f ∈ F

Chứng minh 1 Điều kiện cần:

Để làm rõ điều kiện cần của (i), chúng ta sẽ dùng phản chứng Giả sử F

là một họ chuẩn tắc, và F không liên đều trên tập con compact K ⊂ X

Khi đó, tồn tại  > 0 sao cho với mỗi n, ta có các điểm pn, qn ∈ K và một

hàmfn ∈ F sao cho dX(pn, qn) < 1

n và |fn(pn) − fn(qn)| ≥ .Do F là chuẩntắc, tồn tại một dãy con fnj mà hội tụ đều trên K đến giới hạn f0, thì phảiliên tục Chúng ta có thể chọn dãy con xa hơn ( mà ta lại gọi dãy {nj} với

pnj → p0 và qnj → q0 Nhưng từ dX(pnj, qnj) < n−1j → 0, kéo theo p0 = q0.Tuy nhiên, từ f0 liên tục

 ≤ lim sup

j→∞

|fnj(pnj) − fnj(qnj)| = |f0(p0) − f0(q0)| = 0,

dẫn đến điều mâu thuẫn

Để chỉ ra điều kiện cần của (ii), ta giả sử tồn tại p ∈ X sao cho tập cácgiá trị {f (p)} với f ∈ F là không bị chặn Khi đó, với mỗi n tồn tại mộthàm fn ∈ F với |fn(p)| > n Điều này mẫu thuẫn với giả thiết tồn tại mộtdãy con {fnj} hội tụ trên tập (compact) {p} ⊂ X Điều kiện cần của (i) và(ii) đã được chứng minh

hội tụ, gọi giá trị giới hạn là f0(p1) Tiếp theo, từ tập các giá trị {fn1,k(p2)}

chứa trong tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ Cp2}, chúng ta có thể tìm dãy thứhai n2,1 < n2,2 < < n2,k < sao cho dãy {fn2,k} (gọi giá trị giới hạn là

f0(p2)), và dãy thứ hai chứa trong dãy thứ nhất Tương tự, chúng ta có thểtìm thấy vô hạn các dãy của dãy con

(i) Tồn tại giới hạn của dãy {fnj,k(pj)} (gọi giá trị giới hạn là f0(pj) );(ii) Với mỗi dãy con {nj,k} là tập con của dãy con trước {nj−1,k}

Từ đó, với bất kỳ j cố định, phần tử của dãy đường chéo {n`,`} chứatrong dãy {nj,k} với ` ≥ j Do đó, với dãy con các hàm {F` = fn`,`}, ta có

lim`→∞F`(pj) = f0(pj) với mọi j

Ta sẽ chứng minh rằng {F`} hội tụ đều trên bất kỳ tập con compact

K ⊂ X.Do dãy là liên tục đều trênK, với bất kỳ  > 0tồn tạiδ > 0sao cho

d(p, q) < δ bao hàm |F`(p) − F`(q)| <  Bây giờ, K ⊂ S

CK > 0 sao cho |f (z)| ≤ Ck với mỗi f ∈ F và mọi z ∈ K Khi đó, họ F

là chuẩn tắc trên Ω

Chứng minh Theo Định lý Arzela - Ascoli, ta chỉ cần chứng minh rằng họ

F là liên tục đều trên mỗi tập con compact K ⊂ Ω Do vậy, có thể đẩy vấn

đề về việc chứng minh rằng nếu một họ các hàm chỉnh hình trên một đĩa

bán kính R bởi M thì nó là liên tục đều trên mỗi hình tròn nằm trong miềnxác định.

Lấy r < R, và chọn ρ với r < ρ < R Nếu f là hàm chỉnh hình trên đĩa

D(a, R) và có mô-đun bị chặn bởi M, và nếu z, ω ∈ D(a, r), thì

|f (z) − f (ω)| =

12πi

=

z − ω2πi

Z

|ζ−a|=ρ

f (ζ)(ζ − z)(ζ − ω)dζ

≤ |z − ω|M 1

2π

Z 2π 0

ρdt

|ρeit+ a − z||ρeit+ a − ω|

≤ |z − ω| M ρ

(ρ − r)2

Như vây, ta nhận được kết luận của Định lý

1.3 Miền đơn liên

Định nghĩa 1.1 Một không gian tôpô X được gọi là đơn liên nếu với mỗihàm liên tục γ : [0, 1] → X với γ(0) = γ(1) luôn tồn tại một ánh xạ liêntục Γ : [0, 1] × [0, 1] → X sao cho

Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta chỉ đề cập ở đây tới miền đơnliên trong C

Mệnh đề 1.1 Một tập mở liên thông Ω trong C là đơn liên nếu và chỉ nếuphần bù của nó trong hình cầu Riemann bC có nhiều nhất một thành phầnliên thông

Điều kiện tôpô của miền đơn liên dẫn đến hệ quả trong giải tích sau:

Mệnh đề 1.2 Cho Ω ⊂ C là một miền đơn liên Nếu f là chỉnh hình trên

Ω và f (z) 6= 0 với mọi z ∈ Ω, thì khi đó tồn tại một nhánh chỉnh hình của

log f xác định trên Ω, có nghĩa, tồn tại một hàm chỉnh hình g dịnh nghĩatrên Ω sao cho f (z) = exp(g(z)) với mọi z ∈ Ω Đặc biệt, nếu n là một sốnguyên dương bất kì, hàm hn(z) = exp[1

ng(z)] là chỉnh hình và thỏa mãn

hn(z)n = f (z) với mọi z ∈ Ω

1.4 Định lý ánh xạ Riemann

Mệnh đề 1.3 Giả sử F : D →D là ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn

đơn vị sao cho F (0) = 0, và F0(0) > 0 Khi đó, F (z) = z với mọi z ∈ D.

Chứng minh Lấy G là ánh xạ ngược của F, F (G(z)) = z và G(F (ω)) = ω

với mọiz, ω ∈ D Khi đó, F0(G(z))G0(z) = 1,và F0(0)G0(0) = 1.Mặt khác,

|F (z)| < 1, |G(z)| < 1với mọi z ∈ D, và F (0) = G(0) = 0nên điều này suy

Chứng minh Phát biểu (i) và (ii) là những phép toán đơn giản Như chúng

ta đã biết, mỗi phép biến đổi tuyến tính phân số là là ánh xạ một đối mộtcủa hình cầu Rieman vào chính nó Nếu ta có thể chỉ ra rằng φa mang hìnhtròn đơn vị vào chính nó, sẽ kéo theo phát biểu (iii)

Để ý rằng ta cũng có điều ngược lại: Mọi đẳng cấu chỉnh hình f :D → D

đều có dạng f (z) = eiθ1−ωz(z−ω), với ω nào đó thuộc D Thật vậy, xét g(z) =

(z−ω)

1−ωz,vớiω = f−1(0).Khi đó,g(D) = D và do đóg là một tự đẳng cấu chỉnhhình của D.Dog(ω) = 0vàf (ω) = 0nênf ◦g−1(0) = 0.Mặt khácf ◦g−1 làmột tự đẳng cấu chỉnh hình của D,nên theo Bổ đề Schwarz,f ◦g−1(z) = eiθz

với θ nào đó thuộc [0, 2π) Do đó f (z) = f ◦ g−1(g(z)) = eiθg(z) = eiθ (z−ω)1−ωz

Định lý 1.3 (Định lý ánh xạ Rieman) Cho Ω là tập con thật sự của C làmột miền đơn liên Khi đó, với mỗi z0 ∈ Ω, tồn tại duy nhất ánh xạ songchỉnh hình F : Ω → D, giữa Ω và hình tròn đơn vị mở D, sao cho F (z0) = 0

và F0(z0) > 0

Tính duy nhất được suy ra theo Mệnh đề 1.3 Thật vậy, nếu F1 và F2 làhai ánh xạ song chỉnh hình từ Ω đến D khi z0 đến 0, sau đó F2◦ F1−1 là ánh

xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị biến 0 thành 0

Gọi F là tập tất cả các đơn ánh chỉnh hình f từ Ω vào D, thỏa mãn

f (z0) = 0 vàf0(z0) > 0 Ta chứng minh sự tồn tại song ánh chỉnh hình theo

thế z2 = z2, mà g(z1) − g(z1) Bao hàm g(z1) = 0, và do đó z1 = a điều đókhông thể được.

(iii) Ảnh của g chứa một số hình tròn đóng {ω ∈ C| |ω − g(z0)| ≤ δ}

ở đó δ > 0 Từ (ii) và (iii) khoảng biến thiên của hàm g không chứa điểmbất kỳ trong hình tròn đóng trung tâm at − g(z0) của bán kính δ Do đó,với mỗi z ∈ Ω ta có

Chúng ta có h : Ω → D là chỉnh hình và một đối một Bây giờ, ta chỉ ra

hàm h với biến đổi tuyến tính phân số φa và định nghĩa

F (z) =: φa◦ h(z) = a − h(z)

1 + ah(z).

Thì F (z0) = φa(a) = 0 Nếu ta nhân F với hằng số thích hợp của giá trịtuyệt đối 1, ta có thể đảm bảo đạo hàm ở không là dương Do đóF 6= 0.Bước 2: Tồn tại F ∈ F sao cho F0(z0) = supf ∈Ff0(z0)

Chứng minh Lấy A = supf ∈F f (z0) sao cho A ∈ (0, +∞] Chọn một dãy

{fn} trong F sao cho limn→∞fn0(z0) = A Do họ F bị chặn đều trên Ω, nóchuẩn tắc, và do đó có dãy con {fnk}hội tụ đều trên tập con compact của Ω

đến giới hạn F Từ đó F là giới hạn đều của hàm chỉnh hình, F cũng chỉnhhình Ta có, F (z0) = limk→∞fnk(z0) = 0 và F0(z0) = limk→∞fn0k(z0) = A

(Suy ra rằngA < +∞) Tương tự, nếuz ∈ Ω, |F (z)| = limk→∞|fnk(z)| ≤ 1

Nhưng có thể suy ra từ định lý Mô đun cực đại, ta có |F (z)| < 1 với mọi

z ∈ Ω

Còn lại, để chỉ ra rằng F là một đối một Giả sử F (z1) = F (z2) = ω.Hàm {fnk(z) − ω} hội tụ đều trên Ω tới hàm F (z) − ω, với giả sử có hai

Không Suy ra, với k đủ lớn, fnk cũng có Không gần z1 và z2, bao hàm

z1 = z2 Do đó, F ∈ F

Bước 3: F là toàn ánh D

Chứng minh Giả sử tồn tại a ∈ D sao cho F (z) 6= a với mọi z ∈ Ω Thìhàm z → φa ◦ F (z) là một đối một, các ánh xạ Ω tới D, không bao giờKhông và φa ◦ F (z0) = a Do Ω là liên thông phạm vi, tồn tại một hàm

g, được định nghĩa và chỉnh hình trên Ω, sao cho g(z)2 = φa ◦ F (z) Thì

g : Ω → D, và khi chứng minh bước 1, suy ra được là g là một đối một.Hơn nữa, g(z0) = b với b2 = a

Nếu ta đặt S(ω) = ω2, chúng ta dựng một hàm chỉnh hình g trên Ω saocho S ◦ g = φa◦ F Đặt G = φb ◦ g Khi đó, G là một đối một, các ánh xạ

Ω tới D, và thỏa mãn G(z0) = 0 Ta có thể viết g = φ−1b ◦ G = φb ◦ G, và

1.5 Định lí K¨ obe

Định lý 1.4 (K¨obe) Gọi S là tập tất cả các đơn ánh chỉnh hình f trênđĩa đơn vị D sao cho f (0) = 0 và f0(0) = 1 Khi đó, S là một họ chuẩntắc

Chứng minh Cố định dãy {fn} ⊂ S và đặt

Rn := sup{R > 0;D(0, R) ⊂ fn(D)}

Do fn−1|D(0,R) : D(0, R) −→ D là chỉnh hình với bất kì đĩa D(0, R) ⊂ f (D),nên theo Bổ đề Schwarz ta có, Rn ≤ 1 Chọn một điểm xn ∈ ∂D(0, Rn) −

Từ D ⊂ gn(D), chúng ta có U := ψ(D) ⊂ hn(D), và do đó (−U ) ∩ hn(D) =

∅.Do đó,hn là một dãy con hội tụ Do đó, từ|xn| = Rn ≤ 1, fn = xn(1+h2n)

cũng là một dãy con hội tụ Gọi f là giới hạn của dãy con này

Đặt a ∈ f (D) Từ nguyên lý argument cho bất kỳ z với f (z) 6= a,

` := 12π√

là số nguyên, rõ ràng là ≤ 1 cho r đầy đủ gần đến 1 Từ đó fnk tuỳ ý đóng

để f trên |z| ≤ r, phép nội xạ của bao hàm fnk

Từ đó, f là nội xạ, và định lý được chứng minh

Nhận xét 1.5 Với mỗi f ∈ S , ta có f (D) chứa một hình tròn có tâm tạigốc tọa độ Do họ S là chuẩn tắc, ta có thể lấy các bán kính của các hìnhtròn ứng với mốif ∈ S sao cho chúng có chặn dưới dương Trong nhiều ứng

dụng, việc các bán kính có chặn dưới dương là đủ Tuy vậy, K¨obe giả thuyếtrằng chặn dưới tốt nhất có thể là 1/4 (được chứng minh bởi Bieberbach).

Để kiểm tra tính tốt nhất của chặn dưới nói trên, ta có thể xét hàm

Độc giả có thể kiểm tra,

Do đó, chúng ta thu được kết quả sau đây

Định lý 1.6 (Định lý K¨obe 14 ) Với mọi f ∈ S , ta có f (D) ⊃ D(0,14) Số

1

4 là tốt nhất cho độ lớn bán kính đường tròn thỏa mãn yêu cầu trên

Để chuẩn bị cho việc nghiên cứu các tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc kiểu Montel,

ở phần này, chúng ta đề cập tới một số khái niệm và kết quả cơ bản của Líthuyết Nevanlinna về sự phân bố giá trị của hàm phân hình Cho ν là mộtdivisor trên C Hàm đếm ứng với ν được định nghĩa bởi

log+ ... eiθ (z−ω)1−ωz

Định lý 1.3 (Định lý ánh xạ Rieman) Cho Ω tập thật C l? ?một miền đơn liên Khi đó, với z0 ∈ Ω, tồn ánh xạ songchỉnh hình F : Ω → D, giữa...

hn(z)n = f (z) với z ∈ Ω

1.4 Định lý ánh xạ Riemann< /h3>

Mệnh đề 1.3 Giả sử F : D →D ánh xạ song chỉnh hình hình trịn

đơn vị cho F... ta nhận kết luận Định lý

1.3 Miền đơn liên

Định nghĩa 1.1 Một không gian tôpô X gọi đơn liên với mỗihàm liên tục γ : [0, 1] → X với γ(0) = γ(1) tồn ánh xạ liêntục Γ : [0,