Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh
Số mũ Lyapunov là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết động lực học, biểu diễn tốc độ tăng trưởng mũ của đạo hàm hàm số f : I ⊂ R → R theo số phép lặp n Cụ thể, nếu |(f n ) 0 (x 0 )| tương đương với L n, thì log(|(f n ) 0 (x 0 )|) tương đương với log(L n) = nlog(L), hay (1/n)(log(|(f n ) 0 (x 0 )|)) tương đương với log(L) khi n tiến ra vô cùng Trong luận văn này, chúng tôi xem xét trường hợp tốt nhất khi giới hạn này tồn tại khi n tiến ra vô cùng Định nghĩa số mũ Lyapunov của quỹ đạo {x n } ∞ n=0 tại mỗi điểm x 0 được ký hiệu là λ(x 0 ) và được xác định bởi giới hạn λ(x 0 ) = lim n→∞.
X k=0 ln|f 0 (x k )| nếu giới hạn tồn tại.
Vế phải của đẳng thức trên thể hiện giá trị trung bình dọc theo quỹ đạo của logarithm các đạo hàm, tương tự như định nghĩa của số mũ trong luận án của Lyapunov năm 1892 Công trình của Oseledec vào năm 1968 đã chứng minh rằng giới hạn trên tồn tại với hầu hết các điểm.
Ví dụ 1.1.1 Xét ánh xạ g : [0,1] →R xác định bởi g(x)
Nếu x₀ là điểm sao cho xₙ = gₙ(x₀) = 0,5 với một n nào đó, thì λ(x₀) không xác định do đạo hàm của g tại điểm 0,5 không tồn tại Những điểm x₀ như vậy tạo thành một tập không đếm được Ngược lại, với những điểm x₀ ∈ [0,1] mà g₀(xₙ) = 2 cho mọi n, số mũ Lyapunov của chúng đều bằng ln 2 Đối với các hàm phức tạp, việc xác định công thức xₙ là thách thức, do đó, cần thiết phải ước lượng mũ Lyapunov cho quỹ đạo sinh bởi hàm f thông qua một hàm g đơn giản hơn Khái niệm liên hợp tô pô trong hệ động lực là công cụ hữu ích để thực hiện điều này, với hai hàm f và g được gọi là liên hợp tô pô nếu tồn tại một đồng phôi h thỏa mãn h(x) = h◦f◦h⁻¹(x).
Ví dụ dưới đây là minh họa cho việc ước lượng số mũ Lyapunov thông qua hàm liên hợp tô pô.
Ví dụ 1.1.2 Cho hàm f(x) = 4x(1−x) Ta sẽ nghiên cứu số mũ Lyapunov của các quỹ đạo sinh bởi f trong một số trường hợp cụ thể sau.
Trường hợp 1.Xét x 0 là điểm sao cho x n =f n (x 0 ) = 0,5 với n nào đó, thì ln(|f 0 (x n )|) = ln(|f 0 (0,5)|) = ln 0 =−∞
Do đó, λ(x 0 ) = −∞ với những điểm x 0 thỏa mãn tính chất trên.
Trường hợp 2 Xét x 0 = 0 hoặc 1 thì λ(x 0 ) = ln(|f 0 (0)|) = ln 4.
Trong trường hợp 3, xét x₀ thuộc (0,1) với fₙ(x₀) khác 0, 1 và 0,5 Theo Ví dụ 6.2 trong tài liệu, hàm liên hợp tô pô được đề cập trong Ví dụ 1.1.1 với hàm h(y) = sin²(πy/2) Hàm h liên tục và khả vi trên đoạn [0,1], do đó tồn tại một số K > 0 sao cho h₀(y) < K với y thuộc [0,1] Hơn nữa, vì h₀(y) > 0 trong khoảng mở (0,1), nên với δ > 0 đủ nhỏ, có Kₓ > 0 sao cho Kₓ < |h₀(y)|.
Ta hạn chế các quỹ đạo chỉ nằm trong miền [δ,1−δ], khi đó λ(x 0 ) = lim n→∞
Nhận xét 1.1.2 Số mũ Lyapunov là đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận đối với quỹ đạo {x n } ∞ n=0 do nếu lim n→∞
Pn k=0ln|f 0 (x k )| tồn tại thì với m >0 cố định, giới hạn lim n→∞
Pn k=0ln|f 0 (x k+m )| cũng tồn tại và chúng bằng nhau.
Trong Nhận xét 1.1.2, nếu ta thay điều kiện m cố định thành điều kiện n→∞lim
Số mũ mạnh, ký hiệu Λ(x₀), được định nghĩa từ khái niệm mà Palmer đưa ra vào năm 2010 để nghiên cứu tính ổn định của quỹ đạo trong hệ thống động lực học Nếu giới hạn Pn k=0ln|f 0 (x k+m )| tồn tại đều theo m, thì số mũ thu được được gọi là số mũ mạnh Khái niệm này tương tự như số mũ Bohl trong phương trình vi phân, và nó được áp dụng để phân tích sự ổn định của các quỹ đạo {x n } ∞ n=0 của ánh xạ f: I ⊂R →R.
X k=i ln|f 0 (x k )|, nếu giới hạn này tồn tại đều tương ứng với i ≥0.
Do điều kiện hội tụ đồng nhất theo chỉ số i ≥ 0, nếu số mũ Lyapunov mạnh tồn tại thì số mũ Lyapunov cũng tồn tại và chúng có giá trị bằng nhau Tuy nhiên, trường hợp ngược lại không nhất thiết đúng Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho số mũ Lyapunov mạnh.
Ví dụ 1.1.3 Xét hàm f : [0,1] → R, xác định bởi f(x) = √ x Chọn điều kiện ban đầu x 0 = 1 8 Khi đó, ta có quỹ đạo x n = f n (x 0 ) = 1
8 1/2 n Theo định nghĩa, ta thu được số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo trên như sau Λ
Trong Chương 2, chúng ta sẽ khám phá dấu hiệu của số mũ Lyapunov mạnh, một yếu tố quan trọng để xác định độ nhạy cảm của quỹ đạo Bài viết sẽ trình bày các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính dương của số mũ Lyapunov mạnh, thông tin này sẽ được áp dụng trong chương tiếp theo.
Mệnh đề 1.1.1 Cho f : I ⊂R →R là ánh xạ khả vi liên tục và Λ(x 0 )> 0 là số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo {x n } ∞ n=0 Khi đó n≥0inf |f 0 (x n )| >0.
Chứng minh Ta có Λ(x 0 ) = lim n→∞
X k=i ln|f 0 (x k )| tồn tại Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại N >0 sao cho với mọi n≥ N thì Λ(x 0 )
Vì f 0 liên tục trên [0,1] nên tồn tại sup
Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo
Để định nghĩa tập bất biến hỗn độn, cần giả thiết rằng dáng điệu động lực của quỹ đạo trên tập bất biến là hỗn độn, tức là những quỹ đạo gần nhau tại thời điểm ban đầu sẽ không còn gần nhau sau một số lần lặp đủ lớn Một trong những khái niệm liên quan là sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Theo định nghĩa, cho ánh xạ f : I ⊂ R → R, quỹ đạo {x n } ∞ n=0 sinh bởi f được gọi là phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu nếu tồn tại một số ε 0 > 0, sao cho với bất kỳ số δ > 0, luôn có y 0 ∈ I thỏa mãn điều kiện này.
(ii) |f N (y 0 )−f N (x 0 )| ≥ ε 0 với số tự nhiên N nào đó.
Nếu các quỹ đạo với điều kiện ban đầu nằm trong tập A⊂I đều phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì ta nói f nhạy cảm trên A.
Xét ánh xạ f: R → R với f(x) = x² và điều kiện ban đầu x₀ = 1, ta có quỹ đạo xₙ = fⁿ(x₀) = 1 với mọi n Lấy ε₀ = 1/2, với mọi số δ > 0 đủ nhỏ, chọn y₀ = 1 - 2δ Do đó, quỹ đạo qua điểm y₀ là yₙ = fⁿ(y₀).
Rõ ràng y n tiến về 0 khi n→ ∞ Do đó, tồn tại N đủ lớn sao cho
Quỹ đạo qua điểm x = 0 phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, như được minh họa trong Maple với các giá trị y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999 Quan sát Hình 1.1 cho thấy mặc dù điều kiện ban đầu y0 gần x0, nhưng sự khác biệt trong giá trị khởi đầu dẫn đến những thay đổi đáng kể trong quỹ đạo.
Hình 1.1: Dáng điệu quỹ đạo với x 0 =, y 0 = 0.9999999 và y 0 = 0.9999 đủ lớn, hai quỹ đạo vẫn rời xa nhau.
Khi đối mặt với những hàm phức tạp, việc xác định công thức tổng quát của f(n) trở nên khó khăn Do đó, việc sử dụng các công cụ máy tính là rất quan trọng để hỗ trợ trong quá trình này Dưới đây là một ví dụ minh họa cho trường hợp này.
Ví dụ 1.2.2 Cho hàm f(x) = x 3 −x Với điều kiện ban đầu là x 0 = 0, ta có quỹ đạo {x n = 0} ∞ n=0 Xét y 0 6= 0, ta có y 1 = f(y 0 ) = y 3 0 −y 0 y 2 = f 2 (y 0 ) = (y 0 3 −y 0 ) 3 −(y 0 3 −y 0 ) = y 9 0 −3y 0 7 + 3y 0 5 −2y 0 3 +y 0
Dựa vào công thức đã đề cập, việc ước lượng giá trị tuyệt đối |y n −x n | gặp nhiều khó khăn Dưới đây, chúng tôi trình bày thuật toán trong Maple nhằm dự đoán sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu của quỹ đạo {x n = 0} với n từ 0 đến vô cùng.
> Draw :=proc(a, b, c, n); local i,j,k,x,y,z,seq1,seq2,seq3,day; x[0] :=a; y[0] := b; z[0] :=c; seq1 := [0, a]; seq2 := [0, b]; seq3 := [0, c]; for i to n do x[i] :=f(x[i−1]); y[i] :=f(y[i−1]); z[i] :=f(z[i−1]); od; seq1 :=seq([i, x[i]], i = 0 n); seq2 :=seq([i, y[i]], i = 0 n); seq3 :=seq([i, z[i]], i = 0 n); day :=seq1unionseq2unionseq3; pointplot(day, color = blue); end;
Lúc đó, ta thu được kết quả như Hình 1.2
Dựa vào đồ thị, khi y gần 0 tại thời điểm ban đầu, thì y n cũng gần x n Điều này cho thấy quỹ đạo x n = 0 ít nhạy cảm với các điều kiện ban đầu.
Trước khi chuyển sang định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta đưa ra khái niệm tính transitive của ánh xạ
Hình 1.2: Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ f : I ⊂ R → R được gọi là transitive trên tập bất biến A ⊂ I nếu tồn tại điểm x 0 ∈ I sao cho quỹ đạo xuất phát từ x 0 là trù mật trong A.
Tập bất biến hỗn độn, theo định nghĩa của Clark Robinson vào năm 1999, là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực Đối với ánh xạ f: I ⊂ R → R, f được xem là hỗn độn trên tập bất biến A ⊂ I nếu các điều kiện nhất định được thỏa mãn.
(i) f là ánh xạ transitive trên tập A
Khái niệm "hỗn độn" trong lý thuyết hệ động lực được giới thiệu lần đầu bởi Li và Yorke vào năm 1975 Trong nghiên cứu của họ, các tác giả chỉ ra rằng nếu ánh xạ trên đường thẳng thực có điểm tuần hoàn chu kỳ 3, thì cho mọi n, sẽ luôn tồn tại quỹ đạo có chu kỳ n Họ cũng chứng minh rằng nếu ánh xạ f trên đường thẳng có điểm tuần hoàn với chu kỳ 3, thì tồn tại một tập bất biến S sao cho lim sup n→∞.
Tính chất hỗn độn được định nghĩa bởi Li và Yorke thông qua điều kiện |f n (p)−f n (q)| > 0 và lim inf n→∞ |f n (p)−f n (q)| = 0 với mọi p, q ∈ S mà p ≠ q Điều này gần gũi với khái niệm sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Devaney (1989) đã bổ sung định nghĩa rõ ràng cho tập bất biến hỗn độn, yêu cầu các điểm tuần hoàn phải trù mật trong A, mặc dù điều này chỉ áp dụng cho các ánh xạ hyperbolic đều Tuy nhiên, trong nghiên cứu của Robinson, chỉ hai điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3 được sử dụng để định nghĩa tập bất biến hỗn độn, như đã nêu trong bài báo đầu tiên của Li và Yorke (1975).
Trong nghiên cứu của Banks, Brooks, Cairns, Davis và Stacey (1992), các tác giả chỉ ra rằng nếu hàm f có tính bắc cầu trên tập A và các điểm tuần hoàn trù mật trong A, thì A sẽ là một tập bất biến hỗn độn và có sự phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo.
Sự phụ thuộc nhạy cảm của quỹ đạo được bảo toàn qua phép liên hợp tô pô đối với các ánh xạ trên tập compact là một khẳng định quan trọng trong toán học Điều này nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa tính nhạy cảm và các cấu trúc tô pô, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết động lực học.
Mệnh đề 1.2.1 Cho f : I ⊂ R → I là liên hợp tô pô với g : J ⊂ R → J. Nếu I, J là compact và g nhạy cảm trên J thì f cũng nhạy cảm trên X.
Chứng minh Xét quỹ đạo {y n } ∞ n=0 Do g nhạy cảm trên J nên tồn tại r > 0 sao cho với mọi ε 0 ta luôn có q 0 ∈ J thỏa mãn
(ii) Tồn tại số nguyên k để |y k −q k | ≥r.
Do f và g là các ánh xạ liên hợp tô pô, tồn tại đồng phôi h: I → J thỏa mãn g ∘ h ∘ f ∘ h^(-1) Xét quỹ đạo {x_n} với x_0 = h^(-1)(y_0), chúng ta chứng minh rằng {x_n} là nhạy cảm Bởi vì I là không gian compact, h là ánh xạ liên tục đều trên I Điều này có nghĩa là với r > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu x, p ∈ I và |x − p| < δ thì |h(x) − h(p)| < r Do đó, nếu |h(x) − h(p)| > r thì
|x−p|> δ Chọn p 0 =h −1 (q 0 ), theo (ii), ta có |y k −q k | ≥r nên
Do h là đồng phôi nên chọn ε 0 đủ bé để p 0 gần x 0 nhưng
Mệnh đề được chứng minh.
Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo
Phần này trình bày khái niệm về sự ổn định theo nghĩa Lyapunov của quỹ đạo trong trường hợp một chiều Theo định nghĩa, cho hàm f: [0; 1] → [0; 1], quỹ đạo {x n} ∞ n=0 được coi là ổn định Lyapunov nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y: |y0 − x0| < δ thì |yn − xn| < ε, với n ≥ 0.
Xét hàm f: [0; 1] → [0; 1] với f(x) = 1−x, ta có quỹ đạo x₀ = 0 và xₙ = fⁿ(xₙ₋₁) Từ đó, ta nhận thấy x₂ₖ = 0 và x₂ₖ₊₁ = 1 cho k = 0, 1, Nếu y₀ thỏa mãn |y₀ − x₀| ≤ ε, thì theo định nghĩa của ánh xạ f, ta có y₂ₖ = y₀ và y₂ₖ₊₁ = 1 − y₀ Do đó, ta có |yₙ − xₙ| ≤ ε với mọi n = 0, 1, 2, Điều này chứng tỏ quỹ đạo {xₙ}ₙ₌₀ là ổn định.
Hình 1.3: Quỹ đạo màu đỏ là của {x n } ∞ n=0 , quỹ đạo màu xanh là của{y n } ∞ n=0 với y 0 tương ứng là 0.05 và 0.03.
Nhận xét 1.3.1 Đối với lớp ánh xạ đẳng tự (tức là |f(x)−f(y)| = |x−y|) thì mọi quỹ đạo đều ổn định do |x n −y n | = |f n (x)−f n (y)| =|x−y| Do đó, luôn chọn được số δ = ε để |x 0 −y 0 | < δ thì |x n −y n | < ε.
Ví dụ 1.3.2 Xét ánh xạ f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f(x) = 1
4x(1−x). Khi đó, hệ động lực sinh bởi ánh xạ này có dạng x n+1 = 1
4x n (1 −x n ), là phương trình Logistic ô - tô - nôm rời rạc với hệ số 1
4 (một trong các mô hình dân số nổi tiếng được đưa ra vào năm 1837 bởi Verhulst) Do
Cho nên, theo định lí giá trị trung bình Lagrange thì với |x 0 −y 0 | < ε ta thu được
4ε (với c ∈ [x 0 , y 0 ]). Bằng quy nạp, ta chứng minh được
3 4 n ε với mọi n= 0,1,2, (1.2)Khi đó, mọi quỹ đạo của phương trình là ổn định Hơn nữa, theo ước lượng(1.2) thì mọi quỹ đạo đều bị hút về quỹ đạo {x n = 0} ∞ n=0
Hình 1.4: Các quỹ đạo của phương trình Logistic hệ số 1/4 ứng với điều kiện ban đầu x 0 = 0.9, x 0 = 0.5, x 0 = 0.3.
Bổ đề Gronwall rời rạc
Trong trường hợp liên tục, phương pháp biến thiên hằng số và bất đẳng thức Gronwall là công cụ quan trọng để chứng minh tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu Lipchits Mục đích của phần này là giới thiệu bất đẳng thức cho trường hợp rời rạc, nhằm chứng minh sự ổn định của quỹ đạo với số mũ âm Trước khi trình bày mệnh đề chính, chúng ta sẽ xem xét bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.4.1 Nếu à n là cỏc số khụng õm thỡ
Chứng minh Ta chứng minh bổ đề này bằng quy nạp Với n= 1 ta có
1 +à 1 ≤exp(à 1 ) là đúng Giả sử quy nạp, bất đẳng thức (1.3) đúng với n, ta sẽ chứng minh
(1.3) đúng với n+ 1 Ta có exp n+1
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.4.1 (Bổ đề Gronwall rời rạc) Cho z n là các số không âm sao cho z n ≤ B+ n
X k=1 à k z k−1 (với 0≤ n≤ T), trong đú B và à n là cỏc số khụng õm Khi đú z n ≤ Bexp n
Để chứng minh mệnh đề này, chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp với n Đầu tiên, bất đẳng thức (1.4) được xác nhận đúng với n = 0 Tiếp theo, giả sử rằng (1.4) đúng cho tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n−1, từ đó chúng ta sẽ tiến hành chứng minh cho trường hợp n.
(1.4) đúng với n Thật vậy, ta có ước lượng z n ≤ B+ n
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm
Sự phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo là khái niệm then chốt trong lý thuyết hỗn độn, như đã được trình bày trong chương một Do đó, việc xác định các tiêu chuẩn và đặc trưng để đánh giá tính nhạy cảm của quỹ đạo là điều cần thiết.
Số mũ Lyapunov là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tính nhạy cảm của quỹ đạo Theo Palmer [3], số mũ Lyapunov không đủ để xác định tính nhạy cảm nếu không có điều kiện bổ sung về các đạo hàm tại các điểm quỹ đạo, cụ thể là yêu cầu A > 0 Điều này dẫn đến hệ quả rằng số mũ Lyapunov dương mạnh sẽ tạo ra sự phụ thuộc nhạy cảm Trong phần 2.2, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ khác cho sự nhạy cảm của quỹ đạo Phần cuối chương sẽ chứng minh rằng các quỹ đạo có số mũ Lyapunov âm không có tính nhạy cảm và sẽ tóm tắt các kết quả trong trường hợp không ô-tô-nôm Chương này tập trung vào các ánh xạ từ khoảng [0,1] vào [0,1] và chi tiết hóa các kết quả đã được nêu trong [3].
Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương
Trước khi đi đến định lí chính ta nhắc lại các khái niệm về hàm môđun liên tục của một hàm bị chặn.
Choh : [a, b]→R là hàm bị chặn Ta định nghĩa hàm môđun liên tục của h là ω(|w|) = sup{|h(x)−h(y)| : x, y ∈[a;b],|x−y| < |w|}.
Ví dụ 2.1.1 Xét h : [0,1]→ R xác định bởi h(x) = x Khi đó ω(|w|) = sup{|h(x)−h(y)| : x, y ∈[0; 1],|x−y| 0 và số mũ Lyapunov λ(x 0 ) > 0 (nếu có), thì quỹ đạo này nhạy cảm với điều kiện ban đầu, tức là không ổn định.
Chứng minh Lấy {y n } ∞ n=1 là quỹ đạo của f đi qua điểm ban đầu y 0 6= x 0 Đặt w n =y n −x n Khi đó, với n ≥0 thì w n+1 = f 0 (x n )w n +f(x n +w n )−f(x n )−f 0 (x n )w n
Ta đặt g n (w n ) = f(x n +w n )−f(x n )−f 0 (x n )w n Áp dụng dụng định lí giá trị trung bình Lagrange ta thu được g n (w) = f(x n +w)−f(x n )−f 0 (x n )w
Do đó, ta có ước lượng
= ω(|w|)|w|, trong đó ω là hàm môđun bị chặn Ta có w n =f 0 (x n )w n + (f 0 (c n )−f 0 (x n ))w n , (với c n ∈[x n ;x n +w n ]). Cho w 0 6= 0 và giả sử phản chứng với mọi dương đủ bé và n≥ 0 thì
Do f 0 liên tục đều nên chọn được đủ bé sao cho
Do ln(x+ 1)≤ x nên ta thu được ước lượng sau
A Mặt khác, ta lại có
2 Tồn tại số N dương đủ lớn sao cho với mọi n≥ N thì
4 |w 0 | → ∞ khi n→ ∞ Mâu thuẫn |w n | ≤ với mọi n≥ 0.
Ví dụ 2.1.2 Cho f : [0,1] → [0,1] là hàm xác định bởi f(x) = x 2 Với quỹ đạo {x n } ∞ n=0 thỏa mãn x 0 = 1, ta có x k = f k (x 0 ) = 1 Khi đó, số mũ Lyapunov của quỹ đạo cho bởi λ(x 0 ) = lim n→∞
Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1.1 được thỏa mãn nên quỹ đạo trên là nhạy cảm.
Dựa trên Định lý 2.1.1 và Mệnh đề 1.1.1 trong Chương 1, ta có thể suy ra Định lý 2.1.2 Định lý này khẳng định rằng, với hàm f : [0,1]→[0,1] thuộc lớp C 1, nếu quỹ đạo {x n } ∞ n=0 có số mũ Lyapunov mạnh dương Λ>0, thì quỹ đạo này không ổn định.
Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn
Số mũ Lyapunov dương không đủ để khẳng định quỹ đạo là nhạy cảm; tuy nhiên, tính bị chặn dưới của đạo hàm quỹ đạo là điều kiện quan trọng để suy ra sự nhạy cảm Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một điều kiện đủ khác để đảm bảo quỹ đạo vẫn nhạy cảm, thông qua việc đưa ra các điều kiện cho những quỹ đạo có điểm đạo hàm bằng 0 Dưới đây là bổ đề kỹ thuật.
Bổ đề 2.2.1 Cho f : I →I thuộc lớp C 2 , I là tập compact và p thỏa mãn f(p) = p, f 0 (p) = α, trong đó |α| < 1 Khi đó cho K >1, tồn tại δ >0 sao cho |x−p| ≤δ thì với n≥ 0 ta có
Do f ∈ C 2 và I là tập compact nên f 00 liên tục trên tập I compact Tồn tại số M dương sao cho với |x−p| ≤δ 0 thì
Nhân cả hai vế của (2.1) với α −n−1 ta được α −n−1 y n+1 = α −n y n +α −n−1 g(y n ). Đặt
= M|α| −1 à n |y 0 | 2 , trong đú à= (|α|+M δ) |α| 2 < 1 với δ đủ nhỏ.
Với mọi n không âm, ta có
≤ |y 0 |+M|α| −1 (1−à) −1 δ|y 0 |. Với K cho trước, δ đủ nhỏ thì
Hệ quả 2.2.1 Cho f : [0,1]→[0,1] thuộc lớp C 2 , số p thỏa mãn f(p) = p, f 0 (p) = α, trong đó |α| > 1 Với mọi K > 1, tồn tại δ > 0 sao cho
Chứng minh Do f(p) = p và f 0 (p) 6= 0 nên tồn tại hàm khả nghịch g(y) f −1 (y) đơn điệu chặt trên một khoảng compact I chứa p.
|α| < 1. Áp dụng, cho trước K > 1 tồn tại δ > 0 sao cho nếu |y−p| ≤δ thì với mọi n≥ 0, ta có
Với n≥ 0 đủ lớn, chọn x thỏa mãn |x−p| ≤δ sao cho
Nhân |α| n vào từng vế ta được
Hệ quả 2.2.2 Cho f : [0,1]→[0,1] thuộc lớp C 2 , số p thỏa mãn f(p) = p, f 0 (p) = α, trong đó |α| > 1 Khi đó tồn tại δ 0 > 0 và r với 0< r < 1 sao cho nếu
|x−p| ≤δ 0 ,0< |y−p| ≤ δ 0 và |x−p| ≤ r|y−p| thì tồn tại số N dương sao cho
2 Chứng minh Không mất tổng quát giả sử α > 0 Nếu α < 0 thì ta xét f 2 Theo hệ quả (2.2.2), với k = 2, mọi n ≥0, tồn tại δ > 0 sao cho
2|α| n |z−p| (2.2) và |f k (z) − p| ≤ δ, k = 0, n Giả sử δ > 0 đủ nhỏ để với |z − p| ≤ δ thì f 0 (z)> 0.
Do đó f(z) đơn điệu tăng trên khoảng |z−p| ≤δ.
Lấy δ 0 < δ và z thỏa mãn |z−p| ≤ δ 0 sao cho
Giả sử x và y thỏa mãn giả thiết của hệ quả, với f(z) đơn điệu tăng trên khoảng |z−p| ≤ δ Nếu p nằm giữa x và y, chúng ta có thể giả định rằng quỹ đạo của x và y nằm trong khoảng [p−δ; p+δ] và cùng ở một phía với p Đặt N là số đầu tiên thỏa mãn điều kiện này.
Giả sử x và y cùng ở một phía với p và x gần p hơn y.
Do f(z)đơn điệu tăng trên khoảng |z−p| ≤δ, quỹ đạo x gần p hơn y trong [p−δ;p+δ] nên N là số đầu tiên ta có
Do cách chọn của δ 0 , |f k (x)−p| ≤ |f k (y)−p| < δ, với mọi 0 ≤k ≤N và sử dụng công thức (2.2) ta có
Định lý 2.2.1 trình bày các điều kiện bổ sung cho những điểm trong quỹ đạo có đạo hàm bằng 0, nhằm đảm bảo rằng quỹ đạo đó vẫn giữ được tính nhạy cảm Hàm f: [0,1] → [0,1] thuộc lớp C² và thỏa mãn các điều kiện cụ thể.
(i) Nếu c là điểm cân bằng thì f 00 (c)6= 0 và tồn tạim ≥0 sao cho f m (c) = q c là điểm bất động thỏa mãn |f 0 (q c )| > 1
(ii) Không có quỹ đạo của điểm cân bằng này chứa điểm cân bằng khác (iii) Quỹ đạo {x n } ∞ n (khác quỹ đạo hằng) có λ(x 0 )> 0.
Kết luận về chuỗi {x n } ∞ n không ổn định được chứng minh thông qua Định lý 2.1.1 Cụ thể, cần chứng minh rằng quỹ đạo {y n } ∞ n=1 bắt đầu gần x 0 nhưng tồn tại n để y không gần x Để thực hiện, chứng minh được chia thành 4 bước Bước 1 ước lượng số điểm trong quỹ đạo {x n } ∞ n=1 gần điểm cân bằng Từ giả thiết của định lý, nếu x n gần điểm cân bằng c i, sau lần lặp thứ m i, quỹ đạo sẽ dần về điểm bất động q i Bước 2 sử dụng Hệ quả 2.2.2 để chứng minh rằng, tại một n nào đó, nếu x n gần c i hơn y n, thì hai quỹ đạo sẽ tách nhau Nếu không có n nào để x n gần c i hơn y n, ta sẽ áp dụng kỹ thuật trong Định lý 2.1.1 để chỉ ra khẳng định tương tự như trong bước 1.
2 Bước 4 là phần kết luận của định lí.
Trước khi chứng minh định lý, cần xác định một số ký hiệu Theo giả thiết (ii), có hữu hạn điểm cân bằng c_i (i = 1, , I) Ký hiệu m_i là số m đầu tiên sao cho f_m(c_i) = q_i.
Tiếp theo, ta chọn r, δ 0 như trong Hệ quả 2.2.2 với p = min i q i Theo Định lí Taylor và (f m i ) 0 (c i ) = 0 ta có f m i (x)−f m i (c i )
2f 0 (f m i −1 (c i )) f 0 (f(c i ))f 00 (c i )6= 0 khi x →c i Chọn η 0 > 0 (độc lập với i) sao cho
Tiếp theo, ta chọn δ >0 sao cho δ < ∆, 6 max i |D i |δ 2 ≤ δ 0 , δ ≤η 0 /2, m δ = inf{|f 00 (x)| : |x−c i | ≤ δ với i nào đó}> 0,
Khi đó, chọn η 1 > 0 sao cho η 1 ≤η 0 /2, 6 max i |D i |η 1 2 ≤δ 0 và η 2 >0 sao cho η 2 ≤ λ(x 0 )
Dưới đây là chứng minh chi tiết.
Chứng minh Bước 1 Cho n 1 < n 2 < là dãy sao cho |x n j −c i |< δ với i nào đó Ta định nghĩa tập
I n = {k : 0≤k ≤n: tồn tại j sao cho k = n j } và J n là số phần tử củaI n Mục đích của bước này là ước lượng cận trên cho số J n
Gọi n là một trong số các n j Do f m i (c i ) =q i , ta thu được
|x n+m i +k −c j | ≥ |q i −c j | − |x n mi +k −q i | ≥∆−M 1 m i +k δ ≥ δ với k ≤ N(δ) Do đó, với mỗi j thì n j+1 −n j ≥ N(δ).
Bước 2 Giả sử rằng n = n j sao cho tồn tại i để 0 < |x n −c i | < δ Lấy {y k } ∞ k=0 là quỹ đạo khác thỏa mãn với n=n j thì |y n −x n | ≤η 1 và
Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng hai quỹ đạo x và y sẽ tách nhau bởi khoảng cách δ 0 /2 Thật vậy,
2|D i ||x n −c i | 2 Bằng lập luận tương tự, do 0< |y n −c i | < δ+η 1 ≤η 0 nên
Từ hai đẳng thức cuối và đẳng thức (2.4) dẫn đến
Khi đó, theo Hệ quả 2.2.2 với p= min i q i , ta áp dụng cho x n+m i vày n+m i thì tồn tại N >0 sao cho
2δ 0 Điều đó có nghĩa là với i, j nào đó mà
3|y n j −c i | và |y n j −x n j | < η 1 thì hai quỹ đạo sẽ tách nhau với khoảng cách ít nhất là δ 0 /2.
Ta giả sử rằng y 0 6= x 0 , y 0 ∈S¯ và với mọi j thì
3|y n j −c i |, (2.5) trong đó i là số duy nhất sao cho 0 < |x n j c j | < δ Khi đó, tương tự như chứng minh Định lí 2.1.1, ta giả sử rằng
|y n −x n | ≤ η 2 với mọi n ≥0 và do đó mâu thuẫn.
Tương tự Định lí 2.1.1, ta đặt w n = y n −x n
Khi đó w n thỏa mãn w n+1 = [a n +b n ]w n , trong đó
Khi đó, nếu n= n j (vớij nào đó) sao cho 0< |x n −c i | < δ (với inào đó) thì b n a n
3/r) 2m δ (2.6) Mặt khác, nếu n6= n j với mọi j thì b n
Tiếp theo, do a n +b n 6= 0 với mọi n≥ 0 và y 0 ∈S,¯
(2.8) với n đủ lớn Khi đó, sử dụng (2.3), (2.6), (2.7) cùng với bất đẳng thức ln(1 +x)≤ x với x ≥0, và theo nghĩa của I n và J n (trong Bước 1) ta thu được
Từ ước lượng (2.8) và (2.9) ta kết luận rằng
4 nếu n đủ lớn (mâu thuẫn) Vậy với y 0 6= x 0 , y 0 ∈/ S và phương trình (2.5) đúng với mọi j thì với n ≥0, ta có |y n −x n | > η 2
Bước 4.Từ Bước 2 và Bước 3 ta kết luận rằng với bất kì quỹ đạo y n mà y 0 6= x 0 , y 0 ∈/ S, thì tồn tại n≥0 sao cho
Hơn nữa, do S là đếm được hầu khắp nơi, nên với mọi δ > 0, tồn tại y 0 ∈/ S sao cho 0 0, tồn tại
N()>0 sao cho với mọi n > N thì λ(x 0 )− < 1 n n−1
Nếu 0≤ k ≤ N thì tồn tại c k ≥ 1 sao cho
Chú ý nếu k = n ta coi vế trái của bất đẳng thức trên là 1. Đặt λ(x 0 ) += λ
Chọn >0 đủ nhỏ sao cho λ(x 0 ) + 3= λ+ 3 0, tồn tại δ sao cho nếu |y 0 −x 0 | = |w 0 | < δ thì với mọi n≥ 0 ta có
Ta chứng minh điều mạnh hơn
|w n | < ηe λn < η bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với 0≤ n≤ T, |w n | < ηe λn Ta sẽ chứng minh |w T |< ηe λT
Nhân hai vế bất đẳng thức trên với e −λn ta được e −λn |w n | ≤ c|w 0 |+ n
Xà k z k−1 , với B = c|w 0 | và à k =M cηe (k−2)λ+2k Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có z n ≤ c|w 0 |exp
= c|w 0 |e Dη với D = M c 1−e e λ+2 λ+2 Khi đó, với 0 ≤n ≤T thì e −λn |w n | ≤ c|w 0 |e Dη
Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình Logistic ô - tô - nôm tổng quát x n+1 rx n (1−x n ) (n = 0,1, ) sinh bởi ánh xạ f(x) = rx(1−x), x ∈ I := [0; 1].
Ta chỉ xét với 0< r≤ 4 để f(I)⊂ I Khi đó ta có ước lượng
Nếu 0< r
