ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN THU HIỀN BÀI TOÁN CALDERÓN TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
Một số kiến thức giải tích
Ký hiệu T n là xuyến n chiều, T n =R n /2πZ n Hàm f : T n → C được hiểu f : R n → C, tuần hoàn với chu kỳ2πZ n Định nghĩa 1.1 Cho p∈[1; +∞), không gian L p (T n ) được định nghĩa như sau
T n là tích phân Lebesgue trên [0; 2π] n , với chuẩn kfk L p ( T n ) :
Nhận xét 1.1 (1) L 2 (T n ) là một không gian Hilbert trên C, với tích vô hướng
(2) Với n= 1 , T=R/2πZ =S 1 , hàm f :T=S 1 →C được hiểu f :R →C, tuần hoàn với chu kỳ 2π.
(3) Vớin = 2, T 2 =R 2 /2πZ 2 6=S 2 , hàmf :T 2 →C được hiểuf :R 2 →C thỏa mãn f(x 1 +k 1 2π, x 2 +k 2 2π) = f(x 1 , x 2 ),∀k 1 , k 2 ∈Z,∀(x 1 , x 2 )∈R 2 Khi đó
=L 2 (0,2π) ;L 2 (T n ) =L 2 ((0,2π) n ). Định nghĩa 1.2 ([8]) Vớif ∈L 1 (T n ), ta định nghĩa hệ số Fourier thứ k củaf như sau: fb(k) = 1
(0,2π) n f(x)e −ikx dx, trong đó k ∈Z n , k = (k 1 , k 2 , , k n ), kx=k 1 x 1 +k 2 x 2 + +k n x n
X k∈ Z n fb(k)e k với e k (x) =e ikx Định lý 1.1 ([8])(Tính duy nhất ) Cho f ∈L 1 (T n ) Nếu f(k) = 0b với mọi k ∈ Z n thì f = 0 hầu khắp nơi.
Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [8], Định lý 3.2.4 Định lý 1.2 ([8])
(i) Với mọi f ∈L 2 (T n ), tổng riêng S n,R f(x) = P k∈ Z n ,|k j |≤R f(k)eb k (x) hội tụ đến f trong
Giả sử ∑_{k∈Z^n} |a_k|^2 < ∞ Khi đó tồn tại f ∈ L^2(T^n) sao cho f(k) = a_k với mọi k ∈ Z^n, và cụ thể f là giới hạn trong L^2(T^n) của chuỗi ∑_{k∈Z^n, |k_j| ≤ R} a_k e_k khi R → ∞ Chứng minh được tham khảo trong [8], Định lý 3.2.7 Định lý 1.3 ([8]) cho biết với f, g ∈ L^2(T^n) ta có các đẳng thức sau:
Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [8], Định lý 3.2.7
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu tích chập, một phép toán cơ bản và quan trọng trong phân tích hàm và xử lý tín hiệu Định nghĩa 1.3 cho hai hàm đo được f và g trên R^n cho biết tích chập của chúng được định nghĩa bằng công thức (f * g)(x) = ∫_{R^n} f(y) g(x − y) dy, với điều kiện tích phân hội tụ Tùy thuộc vào ngữ cảnh, tích chập có thể được xem xét trong các không gian chức năng như L^1(R^n) hay L^2(R^n), và các tính chất của nó sẽ được thảo luận tiếp theo.
R n f(x−y)g(y)dy, x ∈R n Định nghĩa 1.4 (1) Cho hàm ρ∈C 0 ∞ (R n ) được xác định bởi ρ(x)
0 nếu |x| ≥1, trong đó C là hằng số sao cho R
(2) Với mỗi ε >0, ta định nghĩa ρ ε (x) = 1 ε n ρ(x ε).
Mệnh đề 1.1 Với R >0, ε >0 và x 0 ∈R n Ta xây dựng được một hàm cắt η =χ B
(3) | 5η| ≤ C ε , trong R n với C là một hằng số dương.
Chứng minh Tính toán tương tự trong chứng minh Mệnh đề1.2 trong [3].
Ta có thể xem u ∈ L p (B) như một hàm u ∈ L p (R n ) bằng cách cho u = 0 ngoài B Khi đó sử dụng Mệnh đề1.2trong [1] ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.2 Cho 1≤p < ∞ Khi đó với mọi u∈L p (B), ta có ρ ε ∗u hội tụ đến u trong L p (B), khi ε→0 + Định lý 1.4 ([8])(Bất đẳng thức Young) Cho 1 ≤ p, q ≤ ∞ và r ≥ 1 thỏa mãn
1 + 1 r = 1 p+ 1 q Nếu f ∈L p (R n ), g ∈L q (R n ), thì kf ∗gk L r (R n )≤ kfk L p (R n )kgk L q (R n ) (1.1) Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [8], Định lý 1.2.12.
Nhận xét 1.3 Với 1≤p, q ≤ ∞và r ≥1 thỏa mãn 1 + 1 r = 1 p +1 q thì 1≤ 1 p+ 1 q ≤2.
Không gian Sobolev
Không gian Sobolev trên xuyến
Định nghĩa 1.5 Cho s >0, không gian Sobolev trên xuyến được định nghĩa như sau:
Chuẩn của H s (T n ) xác định bởi kfk H s ( T n )= X k∈ Z n
Mệnh đề 1.3 Với 0< s 0, ta định nghĩaH −s (T n ) = (H s (T n )) 0 là không gian đối ngẫu của không gian H s (T n ).
Theo định nghĩa chuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈H −s (T n ) được xác định như sau: kfk H −s ( T n )= sup
. Mệnh đề 1.5 Với f ∈H −s (T n ), ta có kfk H −s ( T n ) = X k∈ Z n
, (1.6) trong đó fb(k) = (f, e k ) là hệ số Fourier thứ k của f.
Chứng minh Lấyg ∈H s (T n ),g = P k∈ Z n bg(k)e ikx Với f ∈H −s (T n ), ta có:
1 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được
Mặt khác, ta xét g N ∈H s (T n ),xác định bởi g N (x) = X k∈ Z n ,|k j |≤N
Cho nên kg N k 2 H s ( T n ) ≤ kfk H −s ( T n ).kg N k H s ( T n ).
Từ đó suy ra kg N k H s ( T n )≤ kfk H −s ( T n ), hay
(1 +|k| 2 ) −s |f(k)|b 2 ≤ kfk H −s (T n ) (1.8) Vậy từ (1.7) và (1.8), ta được (1.6).
Chứng minh (i) Với s≥t >0 và f ∈H s (T n ), kfk 2 H s ( T n ) = X k∈ Z n
Suy ra f ∈H t (T n ) và kfk H t (T n )≤ kfk H s (T n ),∀f ∈H s (T n ).
(ii) Dof ∈H s (T n )nên theo ý (i)f ∈H [s] (T n ) Từ Mệnh đề 1.4 ta có
D α f ∈H s−|α| (T n ). Định lý 1.5 (i) Với s > n 2 , ta có
Chứng minh (i) Với f ∈ H s (T n ) , f(x) = P k∈ Z n fb(k)e ikx Ta sẽ chỉ ra P k∈ Z n f(k)eb ikx hội tụ đến f trong C(T n ) Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có
Do s > n 2 ,sử dụng dấu hiệu so sánh, ta có P k∈ Z n
X k∈ Z n fb(k)e ikx hội tụ đến f(x)trong C(T n ).
2, f ∈H s (T n ).Theo Mệnh đề 1.6 ta có
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh rằng với mọiα∈Z n +, α= (α 1 , α 2 , , α n ),
|α| ≤m, đạo hàm riêng yếu D α f chính là đạo hàm thông thường.
Với m= 1, ta sẽ chứng minh H s (T n ),→C 1 (T n ),∀s >1 + n
Do f ∈H s (T n ),nên f có đạo hàm riêng yếu D α f,với |α|= 1.
Theo Mệnh đề 1.6, ta có H s (T n ),→H 1 (T n )và D α f ∈H s−1 (T n ).
2, ta có X k∈ Z n fb(k)e ikx hội tụ đến f trongC(T n ).
(ik) α f(k)eb ikx hội tụ đều đến D α f trên T n
Khi đó f có đạo hàm riêng thông thường D α f trong C(T n ) với |α|= 1.
Giả sử điều ta cần chứng minh đúng với m, tức là
Do f ∈H s (T n ),nên f có đạo hàm riêng yếu D α f,với |α|=m+ 1.
Theo Mệnh đề 1.6 ta có H s (T n ),→H m+1 (T n ) vàD α f ∈H s−(m+1) (T n ).
Không mất tính tổng quát, giả sử α 1 >0, ta xét β= (α 1 −1, α 2 , , α n )∈Z n +,|β|=m.
Do từ giả thiết quy nạp D β f là đạo hàm riêng thông thường của f trong C m (T n ), với |β|=m Do đó với s > m+ n
(ik) β fb(k)e ikx hội tụ đến D β f trong C(T n ).
(ik) α f(k)eb ikx hội tụ đều đến D α f trên T n Khi đó f có đạo hàm riêng cấp α theo nghĩa thông thường D α f, với |α| =m+ 1.Vậy f ∈C m+1 (T n ).
Không gian Sobolev trên B
Sau đây ta định nghĩa không gian Sobolev trên hình tròn B khi 0< s 0, u ∈ L 2 (B), ta định nghĩa đặc trưng của đạo hàm riêng yếu theo các sai phân∆ h x 1 u(x),∆ h x 2 u(x) như sau:
∆ h x 2 u(x) = u(x 1 , x 2 +h)−u(x) h Định lý 1.9 ([2])(Đặc trưng của không gian H 1 (B))
(a) Giả sử u∈H 1 (B) Khi đó, với mọi 0< h < ε ta có
(b) Nếu u ∈L 2 (B) và tồn tại hằng số c >0 sao cho với mọi n ∈N, tồn tại h n ∈ (0, 1 n) để
Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [2], Định lý 2.2. Định lý 1.10 ([7])(Bất đẳng thức Poincare)
(1) Cho u∈C 0 1 (B)⊂C 0 1 (R 2 ) Khi đó tồn tại hằng số C thỏa mãn kuk L p (B) ≤Ck∇uk L p (B),∀1< p 0. Định nghĩa 2.1 Nghiệm yếu của phương trình (2.1) là u∈H 1 (B) thỏa mãn
(γ∇u)ã ∇ψdx 1 dx 2 = 0,∀ψ ∈H 0 1 (B) (2.2) Định lý 2.1 (Bất đẳng thức Cacciopolli) Nếu u là nghiệm yếu của (2.1) trong B thì luôn tồn tạiC > 0 sao cho
Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 1.1 ta xây dựng η∈C 0 ∞ (B)thỏa mãn
2. Đặtϕ:=η 2 (u−λ).Do η ∈C 0 ∞ (B) nên theo Mệnh đề 1.8 ta có ϕ∈H 0 1 (B) và
Do tính xác định dương củaγ nên c 2
Sử dụng bất đẳng thức epsilon-Cauchy
2|ab| ≤εa 2 +b 2 ε, ε >0, ta có đánh giá sau
2c 3 kη∇(u)k 2 L 2 (B) (2.8) Thay (2.8) vào (2.7) và lấyc 3 đủ bé, ta có
Từ (2.9) ta có điều phải chứng minh, trong đó cácc k không phụ thuộc vào u.
Nhận xét 2.1 Trong [2], với f ∈ H −1 (B), chứng minh được đánh giá cho nghiệm u∈H 1 (B)thỏa mãn:
Cụ thể như sau Định lý 2.2 ([2]) Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (2.10) thì với bất kì 0< R 0 sao cho
=kuk H 1 (B R )≤C R (kuk L 2 (B)+kfk H −1 (B)), trong đó B R ={(x, y)∈R 2 |x 2 +y 2 < R 2 }.
Sau đây ta chứng minh tính trơn của nghiệm với giả thiết γ jk ∈C 0,1 (B). Định lý 2.3 Giả sử u ∈H 1 (B) là nghiệm yếu của phương trình (2.1) Khi đó, với mỗi
0< R 0,
Bước 1: Ta xây dựng F ∈H −1 (BR) thỏa mãn div(γ∇∆ h x n 1 u) =F trong BR.
Biến đổi I 1 ta có: I 1 = h 1 RR
Do suppψ ⊂B R nên với 0< h < R 2 ta có
Theo Lagrange ta có đánh giá
Theo Định lý 2.1 ta có
Từ đó ta suy ra
Từ toàn bộ tính toán trên, vớih n = min{ 2n 1 , R 4 } và F ∈H −1 (B R )xác định bởi (2.11) ta có div(γ∇∆ h x n 1 u) = F trong B R
Từ Định lý 2.2 ta có
Bước 2: Với0< h < R, ta chứng minh ∆ h x 1 D x 1 u=D x 1 (∆ h x 1 u)trong B R , nghĩa là
Từ định nghĩa của đạo hàm yếu ta có
Từ Bước 1 ta đã có đánh giá
1u)trong B R Từ hai bước trên ta có
||D x 1 (D x 1 u)|| L 2 (B R ) ≤c R ||u|| L 2 (B) Theo Mệnh đề 1.7 ta cóD (2,0) u=D x 1 (D x 1 u)∈L 2 (B R ) và
Chứng minh hoàn toàn tương tự cho D (1,1) u và D (0,2) u ta có kết luận hoàn toàn tương tự Ta có kết luận u∈H 2 (B R ) và ||u|| H 2 (B R ) ≤c R ||u|| L 2 (B)
Tiếp theo, khiγ ∈C ∞ (B)thì ta có các kết quả sau về tính trơn của nghiệm. Định lý 2.4 ([2]) Nếu u ∈ H 1 (B) là nghiệm của phương trình (2.1) Khi đó, với mỗi
Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [2], Định lý 3.5.
Ánh xạ Dirichlet - Neumann
Giả sử γ(x) ∈ L ∞ (B) và tồn tại hằng số M > 0 sao cho 1
M ≤ γ(x) ≤ M với hầu hết x∈B Ta xét bài toán biên Dirichlet trong B như sau:
(2.12) Định nghĩa 2.2 Giả sử f ∈H 1 2 (S 1 ), ta nói rằng u∈H 1 (B) là một nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet (2.12) nếu
Định lý 2.5 ([7]) cho bài toán Dirichlet (2.12) với f ∈ H^{1/2}(S^1): bài toán có nghiệm yếu duy nhất u ∈ H^1(B); đồng thời tồn tại hằng số C > 0 sao cho ||u||_{H^1(B)} ≤ C ||f||_{H^{1/2}(S^1)} Trong khuôn khổ này, hệ phương trình yếu được mô tả bởi ∫_B γ ∇u · ∇ψ dx = 0 với mọi ψ ∈ H_0^1(B), và ràng buộc τu = f, trong đó τ là ánh xạ vết được xác định trong Định lý 1.11.
H 1 2 ( S 1 ). Khi đó ánh xạ Dirichlet-Neumann (DN) Λ γ :H 1 2 (S 1 )→H − 1 2 (S 1 ), Λ γ f =γ∂ ν u| S 1 , hay một cách hiểu khác
B γ∇uã ∇vdx1dx2, f, g ∈H 1 2 (S 1 ), (2.14) trong đó v ∈H 1 (B) thỏa mãn τ v =g là ánh xạ tuyến tính bị chặn, tức tồn tại c >0 sao cho kΛ γ fk
H 1 2 ( S 1 ) (2.15) Định lý 2.6 ([3]) Giả sử γ 1 (x), γ 2 (x) ∈ L ∞ (B) thỏa mãn 1
H 1 2 ( S 1 )→H − 1 2 ( S 1 ) là chuẩn của ánh xạ Dirichlet- Neumann.
Chứng minh Vớiγ 1 (x), γ 2 (x)∈L ∞ (B)thỏa mãn 1
(γ 1 −γ 2 )∇u 1 ã ∇u 2 dx 1 dx 2 , f 1 , f 2 ∈H 1 2 (B), (2.16) trong đú u j ∈ H 1 (B), j = 1,2 là nghiệm yếu duy nhất của ∇ ã(γ j ∇u j ) = 0 trong B với τ u j =f j Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và Định lý 2.5 ta nhận được
Sau đây, ta xét lớp các hệ sốγ đặc biệt như sau:
(c) γ(x) chỉ phụ thuộc vào r, kí hiệu γ(r) = γ(x), r=|x|.
Lấyf ∈H 1 2 (S 1 ) có khai triển Fourier f(θ) =X n∈ Z fˆ(n)e inθ , trong đó f(n) =ˆ 1
Từ Định lý 2.5, bài toán biên Dirichlet (2.12) có nghiệm duy nhất u ∈ H^1(B) Do γ ∈ C^{0,1}(B) và u ∈ H^1(B) nên theo Định lý 2.3 ta có u ∈ H^2(B_R) với 0 < R < 1 Lại theo Định lý 1.8 ta suy ra u ∈ C(B) Khai triển u(r, θ) = ∑_{n∈ℤ} u_n(r) e^{i n θ}, trong đó u_n(r) = 1.
Dưới đây ta sẽ chỉ ra các tính chất quan trọng của u n (r). Định lý 2.7 ([3]) u n (r) thỏa mãn các tính chất sau:
(a) un(r)∈C ∞ ((0, a)∪(a,1)),∀n ∈Z và thỏa mãn phương trình
(b) Giả sử thêm tồn tại lim r→a − γ(r) và lim r→a + γ(r) Khi đó r→alim − (γu 0 n )(r) = lim r→a + (γu 0 n )(r),∀n∈Z (2.18)Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [3], Định lý 2.2và Định lý 2.3.
Mệnh đề 2.1 ([3])(Hệ số Fourier của Λγf) Giả sử rằng lim r→1 − γ(r) tồn tại Khi đó Λdγf(n) = (Λγf) (en) = lim r→1 − γ(r)u 0 n (r),∀n∈Z (2.19)Chứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [3], Mệnh đề 2.1.
Ví dụ Alessandrini
Trong bài báo [6], Alessandrini xét tính dẫn γ(r) có dạng γ(r) (1 +ε nếu 0≤r < a, (3.1)
Mệnh đề 3.1 [6] Với mỗi f ∈H 1 2 (S 1 ), ánh xạ DN Λγ :H 1 2 (S 1 )→H − 1 2 (S 1 ) được xác định bởi Λ γ f =X n∈ Z
2 +ε−εa 2|n| fˆ(n)e inθ là ánh xạ tuyến tính bị chặn tức là ∃C, C >0 sao cho kΛ γ fk
Trong phần H1 2 (S1), chứng minh được nêu ra sẽ là nền tảng cho việc phân tích tính ổn định của bài toán Calderón; xem chứng minh chi tiết trong [3] Để xét tính ổn định của bài toán Calderón ta cần chỉ ra rằng nếu kΛ γ −Λ γ 0 k nhỏ thì kγ−γ 0 k L∞(B) nhỏ Dựa vào Mệnh đề 3.1 ta có:
Với γ 0 (r), ánh xạ DN được xác định bởi Λ γ 0 f(θ) =X n∈ Z
Ta ước tính sai khác k(Λ γ −Λ γ 0 )fk 2
Từ phân tích cho thấy ||Λ_γ − Λ_γ0|| ≤ 2 ε a^2, và Λ_γ hội tụ đến Λ_γ0 theo chuẩn toán tử khi a tiến tới 0 Mặt khác ||γ − γ0||_{L∞(B)} = ε là một hằng số dương tiến về 0 Alessandrini kết luận bài toán Calderón không ổn định.
Mở rộng ví dụ Alessandrini
Xét bài toán Dirichlet trong hình tròn đơn vị B =B(0,1)
Lấyf ∈H 1 2 (S 1 ) có khai triển Fourier f(θ) = X n∈ Z f(n)eˆ inθ , (3.4) với hệ số Fourier f(n) =ˆ 1
Theo Định lý 2.5, bài toán biên Dirichlet (3.2) có duy nhất nghiệmu∈H 1 (B).
Trong hệ tọa độ cực u(r, θ) =X n∈ Z u n (r)e inθ ∈H 1 (B), trong đó u n (r) = 1
Do γα ∈C 0,1 (B) nên từ (2.17) ta có
(+) Với0< r < a, un(r) thỏa mãn phương trình sau
Ngoài ra từ (2.18) và tính liên tục củau n (r)ta có
Giải phương trình vi phân trên ta được u 0 =D+ C α0+α1 ln r α0+α1(a−r) với 0≤r < a.
Do u ∈C ∞ (B a ) nên u n (r) bị chặn khi r →0 nên C = 0, khi đó u 0 (r) = D Từ (3.6) ta cób0 = 0 Do đó u0(r) = c0 với a≤r 0, N ≥0 Khi đó tồn tại C=C(a, ε 0 , M, N) sao cho kΛ α −Λ β k ? ≥C(|α 0 −β 0 |+|α 1 −β 1 |),∀γ α , γ β ∈à(a, ε 0 , M, N).
Chứng minh Với mọi γα, γβ ∈à(a, ε0, M, N) ta cú k(Λ α −Λ β )fk 2
Ta đặt tử số và mẫu số lần lượt làK n , H n thì H n ≤(2 +d 0 ) 2 Ta có kΛα−Λβk ? = sup f6=0,f∈H 1 2 ( S 1 ) Λ γ α −Λ γ β f
|K n | ≥2|α 0 −β 0 | −8M d 0 a 2|n| Khi α 0 6=β 0 , Với mọi n đủ lớn, ta có
Vì thế kΛα−Λβk ? ≥(2 +d0) −2 |α0−β0| (3.14) Khi α 0 =β 0 ta cũng được (3.14).
Tiếp theo, ta thấy rằng
Từ (3.14) ta có kΛ α −Λ β k ? ≥C 1 4ε 0 a 2|n| |B n (b)−B n (c)|, (3.15) trong đó C 1 =C 1 (a, ε 0 , M)là hằng số.
Chọnn = 1, kết hợp với (3.14) ta có kΛ α −Λ β k ? ≥C 2 |α 1 −β 1 | (3.16)
Từ (3.14) và (3.16), chọnC 3 =min{(2 +d 0 ) −2 , C 2 },ta suy ra điều phải chứng minh.
Một số ví dụ khác
Định lý 3.1 ([11])ChoΩlà tập mở liên thông, có biên Lipschitz trongR 2 , vớiγ j ∈C α (Ω)
0< α