(THCS) hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức

Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7 và tham khảo các đồng nghiệp, bản thân tôi và nhiều giáo viên cũng thấy khó dạy phần toán về tỉ lệ thức để học sinh thấy dễ hiểu. Còn đối với học sinh thấy khó và rất không thích học toán về tỉ lệ thức. Kết quả học tập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học sinh, có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo. Giáo viên mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lâp – Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VỀ TỈ LỆ THỨC”

Người thực hiện:

Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS

, tháng 04 năm 2019

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi : Phòng Giáo dục và Đào tạo

Tôi là:

Ngày, tháng, năm sinh: 07/06/1976

Đơn vị công tác: Trường THCS

Chức danh: Giáo viên

Trình độ chuyên môn: Đại học Toán

Tỉ lệ đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 100%

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến:

"Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức"

1 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

- Môn toán, đặc biệt đại số lớp 7 chương I- Số hữu tỉ, số thực, chương Hàm số và đồ thị

II Môn vật lý 7, 9 phần Quang học

3 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Sáng kiến đã được thể nghiệm trong năm học 2017 – 2018 và đã được ápdụng trong năm học 2018 - 2019

4 Mô tả bản chất của sáng kiến:

4.1 Thực trạng trước khi thực hiện đề tài:

Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7 và tham khảo các đồng nghiệp, bảnthân tôi và nhiều giáo viên cũng thấy khó dạy phần toán về tỉ lệ thức để học sinhthấy dễ hiểu Còn đối với học sinh thấy khó và rất không thích học toán về tỉ lệthức Kết quả học tập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra,bài thi của học sinh, có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sựsáng tạo Giáo viên mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cáchnhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từngloại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó

Tôi rất băn khoăn, suy nghĩ làm thế nào để dạy học sinh thấy toán về tỉ

lệ thức dễ hiểu, dễ học Tôi đã mạnh dạn phân dạng và sắp xếp bài tập tỷ lệthức sao cho các em có thể giải được bài tập tỉ lệ thức một cách dễ dàng nhất

4.2 Kết quả khảo sát điều tra ban đầu

Học sinh lớp 7 trường THCS Tổng số có 02 lớp với 75 học sinh,chất lượng về học lực bộ môn toán còn thấp, cụ thể qua bài kiểm tra khảo sátchất lượng đầu tháng 8 năm 2017 kết quả như sau:

x

 và x2 - y2 = 4

Giải

Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tínhchất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sailầm như sau:

45 9 5

18 9 2

9 10

90 5 2

5 2

y x y x

Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướngcho các em hướng giải toán

k x k y x

5

2 5

3 k

xy 5

y 2

x 5

y 2

xy 25

y 4

 9 225 15

25

2 2

y

; 3

y 2

y

; 4

y 3

y

; 3

y 2

y

; 5

y 3

x



 và 2x + 4y - 2z = -4

Giải:

a) Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu

có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không?Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hoá kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng

để chọn lời giải cho phù hợp

Ta có:

5

1 3 5

1 2 3 2

y x y x





15 10

y x



3

1 4 3

1 5 4 5

z y z y

z y x 12

z 15

y 10

b) Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian

để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gìđặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chất của phân sốbằng nhau Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích hợp

Ta có: .51 15 20

4 5

1 3 4 3

y x hay y x y x

1 7 4

1 5 7 5

z y hay z y z y

z y x 2 28

z 20

y 15

Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợpcho phần c và d

Bài toán 3: Tìm x, y, z biết

Hướng thứ nhất ( thường dùng): Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng

thức giữa hai tích ta có lời giải sau:

Ta có:

3x = 5y 

24 40 8

1 3 8

1 5 3 5

y x hay y x y x

1 8 5 8

z y z y

z y x 15

z 24

y 40

Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Hướng thứ hai (ít dùng): Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của

đẳng thức Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8 Từ đó các em

có lời giải của bài toán như sau:

Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z

120

1 z 8 120

1 y 120

1

79

158 15 24 40

z y x 15

z 24

y 40

Hướng thứ ba: Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương.

Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau:

120 79 158 8

1 5

1 3 1

z y x 8 1 z 5 1 y 3 1

1



z = 240 30 8

1



Vậy x = 80; y = 48; z = 30Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đócác em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng từ đó giúp các emphát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c

* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút Yêu cầu các emphải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau:

+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y

+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z

 10x = 15y = 21z

 840

210 15 60 15

1 7 21

1 5 10

1 3

y z 5 x 21

1 z 15 1 y 10 1

1



z = 840 40 21

1



Vậy x = 84; y = 56; z = 40

Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng toán này

Bài toán 4 Tìm x, y, z biết rằng

2

2 z 3

2 y 5

1 x

2 y 2

1 x

4 y 3

1 x

ra ngay và có hướng đi cụ thể

Hướng thứ nhất: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số

bằng nhau có lời giải của bài toán như sau:

Ta có:

1 9

3 12 9

3 z y 2 x 2

6 5

) 2 z ( 4 y 1

x

6

4 y 2 3 2

) 2 y ( 2 2

2 z 3

2 y 5

Đặt k

2

2 z 3

2 y 5

1 x

Vậy x = 5 1 + 1 = 6

y = 3 1 + 2 = 5

z = 2 1 + 2 = 4Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tựgiải phần (b) và (c) của bài toán 4

Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng

2 y x

z 1

z x

y 1

z y

1 z

3 y x y

2 z x x

1 z y

) z y x ( 2 z

y x

3 y x 2 z x 1 z y z

3 y x y

2 z x x

1 z

Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:

2 1 5 , 0 2

x y

 0,5 - x + 1 = 2x

 1,5 = 3x

 x = 0,5

2 y

2 y 5 , 0 y

2 z x

2 z

3 z 5 , 0 z

3 y x

đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán

Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của

đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vếphải

Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của

đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

  (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài toán 2 Cho tỷ lệ thức

d

c b

a

 Hãy chứng minh

a)

d c

d c b a

b a

d c 2 b 4 a 3

b a 2

d c 2 b a 2

b a 2

* Hướng thứ nhất: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để

chứng minh phần a

d

c b

a



  a = bk

c = dk

Ta có:

)pcm(§

dc

dcba

ba1

k

1k)1k(d

)1k(dddk

ddkd

c

d

c

1k

1k)1k(b

)1k(bbbk

bbkb

* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ

thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau:

Từ

d

cb

a

d

bc

a

 (hoán vị các trung tỷ)

=

dc

badc

ba

dcba

ba

Từ

d

cb

a

  ad = bcXét tích: (a - b) (c + d) = ac + ad - bc - bd

(a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd

 (a - b) (c + d) = (a+ b) (c - d) (cùng bằng ac - bd)



dc

dcba

ba

Bài toán 3 Cho

d

cb

c

ba

2 2

2 2

c

ba

c)  

abd

c

ba

2

)dc(

)ba(d

c

ba

Nếu:

bd

acd

cb

ad

cb

giải của bài toán phần c

Giải:

Từ

d

cb

a

d

bc

2 2

2 2 2

2 2

2

d cd 2 c

b ab 2 a cd 2

ab 2 d

b b

a cd

ab d

b c

c

ba

Bài toán 4: Cho

c

bb

a

 Hãy chứng minh

c

acb

ba

2 2

2 2

* Hướng thứ nhất: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến

đổi vế trái bằng vế phải ta có lời giải sau:

Từ

c

b b a

  b2 = ac Thay vào vế trái ta có:

a)ca(c

)ca(acac

aca

cb

ba

2

2 2 2

2 2

* Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng

thức ta có lời giải sau:

Vì cần có a2; b2 nên ta nhân từng vế của

c

bb

bac

bb

ac

b.c

bb

a.b

a

2 2

2 2 2

2 2

a

  b2 = ac  (2)

c

aac

ab

ba

2 2

2 2







(Đpcm)Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môntoán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lậpsuy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao Đó chính

là công cụ giải toán của mỗi học sinh Ngoài ra phương pháp này còn là công cụđặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệthuận, đại lượng tỷ lệ nghịch

Dạng 3 Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch

Bài toán 1

Ba kho A, B, C chứa một số gạo Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 sốgạo của kho đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo kho đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạocủa kho đó Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau Tính số gạo ở mỗi khó lúc đầu.Biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ

Để giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc kỹ đề bài, tóm tắt, phân tích

kỹ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:

Giải

Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z tạ gạo (x, y, z > 0)

Số gạo lúc sau ở kho A là: x + x

7

8 x 7

8 x 7

8



 (1) và y- x = 20Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có:

2 10

20 35 45

x y 56

z 45

y 35

Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bàitoán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi sốliệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự

Chẳng hạn:

Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo bằng các dữ liệu sau: 1) Tổng số gạo ở 3 kho là 272 tạ

2) Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ

3) Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ

Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số

* Dạng chuyển động

Bài toán 2

Một người dự kiến đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian dự định.Thực tế khi đi phải giảm 1/4 vận tốc so với dự định nên vào đến B muộn hơnthời gian dự định là 30 phút Tính thời gian dự định lúc đầu

Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề bài.Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển động trên mộtđoạn đường Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là hai

đại lượng tỷ lệ nghịch Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức:

1 2 2

1 t

t v

v

 và các em đã cóhướng đi tìm t1, t2

1 t

t v

v

 mà v2 = v 1

4 3

3 4 3

4 4

1 2

1

1 1

v t

t

(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

90 3 30 t 3

1

t

30

1 1







Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút

Khai thác lời giải của bài toán 2 học sinh có thể dễ dàng giải được các bàitoán sau:

Bài toán 3:

Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi được 1/2quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10 phút.Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài toán 4:

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km/h và dự định đến B lúc 11h45.Sau khi đi được 4/5 quãng đường thi người đó đi với vận tốc 30km/h nên đến Blúc 12h

Hỏi người đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu?

* Dạng hình học

Bài toán 5:

Tìm tỷ lệ 3 cạnh của 1 tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt từng haiđường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5, 7, 8

Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức Tôi

đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong tamgiác Bằng kiến thức của hình học các em đã có hướng đi và lời giải của bàitoán

bh 2

h h 7

h h 5

hc + ha = 8k2(ha + hb + hc) = 20k  ha + hb + hc = 10k

k2.b2

b 10

a 30

1 c 2 30

1 b 30

1 a

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6

Tương tự các em suy luận và giải được bài toán sau đây:

Giải:

Gọi 3 chữ số của số phải tìm là a, b, c (a, b, c  N; 0a, b, c9)

Theo đầu bài ta có:

Z 6

c b a 3 2 1

c b a 3

c 2

b 1

18 c b a

9 c b a

6

9 3

c 2

b 1

c 2

b 1

 Số phải tìm là 396 hoặc 936

6

27 3

c 2

b 1

Vậy số phải tìm là 396 hoặc 936

Với phương pháp hệ thống hoá các kiến thức, giáo viên cần làm cho họcsinh hiểu được mối quan hệ chặt chẽ giữa các kiến thức với nhau Từ đó các emmới vận dụng tốt, để thao tác tư duy tốt và giải toán đạt hiệu quả cao

Dạng 4: Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số

0 5

2 4 5 2

2 2

Suy ra a = 54, b = 81, c = 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1

2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giátrị cần tìm.

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c

b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

+ Nếu a + b + c = 0 thì b + c = -a; c + a = -b; a + b = -c

nên mỗi tỉ số a ; b ; c

b c c a a b   đều bằng -1+ Nếu a + b + c 0 khi đób c a c a b a b c 2a b c a b c   12

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

Bài tập 4: Cho biểu thức P x y y z z t t x

suy ra luôn y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z

Phải làm đúng như sau :

Nếu x + y + z + t  0 suy ra y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z suy ra x = y = z = t suy ra P = 4

Bài tập 5 Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài toán “ Tìm x.y biết:

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3

Thử lại thấy thoả mãn Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm

Em hãy nhận xét lời giải của học sinh trên

Lời giải :Học sinh trên sai như sau

Từ (3) phải xét hai trường hợp

TH 1 : 2x + 3y - 1 0.Khi đó ta mới suy ra 6x = 12.Từ đó giải tiếp như trênTH2 : 2x + 3y - 1 = 0.Suy ra 2x = 1 - 3y, thay vào hai tỉ số đầu, ta có

Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp

3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn

Học sinh thường sai lầm nếu A2 = B2 suy ra A = B

h/s thường sai lầm khi suy ra x - 1 = 30 suy ra x = 31

phải suy ra 2 trường hợp x - 1 = 30 hoặc x - 1= -30 từ đó suy ra x = 31hoặc x =-29

Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng

k k

 



Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 3, mà phải suy ra k 3

5 Những thông tin cần được bảo mật : Không

6 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

6.1 Đối với giáo viên:

Để rèn kỹ năng giải toán về tỉ lệ thức cho học sinh đạt hiệu qua cao ta cầnlưu ý một số nội dung như sau:

-Thường xuyên kiểm tra miệng và phần bài tập về nhà trong những giờhọc nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản của từng bài học

- Lồng ghép nhiều dạng bài tập về tỉ lệ thức vào các tiết luyện tập, tựchọn, bồi dưỡng

-Việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh phải thực hiện thườngxuyên, lâu dài xuyên suốt quá trình giảng dạy trong cả năm học

6.2 Đối với học sinh:

Để làm tốt được dạng toán về tỉ lệ thức học sinh cần phải nắm chắc vàhiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỷ

số bằng nhau Tuy nhiên trong quá trình làm bài học sinh cần vận dụng linh hoạtnội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp, có như vậy mới đạt được kếtquả tốt

7 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy: Các em làm bài tập toán với một phongcách tự tin, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải Đặc biệt làvới mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau Từ đó tìmđược phương án tối ưu để giải toán

Và điều dễ thấy nhất đó là kết quả thu được qua các bài kiểm tra Bàikiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhậnthức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo

Kết quả kiểm tra khảo sát lần 1 vào tháng 02 năm 2018 :

Bảng 2 Điểm

7 75 10 = 13,3% 13 = 17,3% 32 = 42,7% 15 = 20% 5 = 6,7%

Kết quả kiểm tra khảo sát lần 2 vào tháng 05 năm 2018 :

Bảng 3 Điểm

Nơi công tác(hoặc

nơi thường trú)

Chức danh Trình độ chuyên

môn

Nội dung công việc hỗ trợ

Bảng 4 Điểm

Nơi công tác(hoặc

nơi thường trú)

Chức danh Trình độ chuyên

môn

Nội dung công việc hỗ trợ