(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận

Ví dụ 5 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dướiHàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?... Bảng biến thiênDựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Hàm số là một chủ đề quan trọng luôn xuất hiện rất nhiều trong đề thi đại học trướcđây nay là đề thi THPT Quốc gia, hay các đề thi học sinh giỏi Việc dạy và học phần hàm

số ở các trường THPT luôn được các thầy cô quan tâm đặc biệt Ngoài phục vụ cho bộmôn toán nó còn làm nền tảng cho bộ môn Vật lí

Các chuyên đề về hàm số phục vụ thi tự luận trước đây xuất hiện rất nhiều và cóthể nói đã đủ cho các thầy cô và học sinh tham khảo Nhưng với chuyên đề phục vụ chothi trắc nghiệm thì thật sự vẫn còn hạn chế do phần này mới là năm thứ 3 thi trắc nghiệm

Vì vậy tôi mong muốn làm tài liệu phục vụ cho công việc giảng dạy của mình hoặc cóthể làm tài liệu cho giáo viên và học sinh tham khảo

Trong quá trình dạy học trắc nghiệm tôi thấy nếu muốn hỏi các câu hỏi để các emhiểu bản chất vấn đề, các câu hỏi vận dụng thì người ta thường đưa ra câu về hàm ẩn Sovới năm 2017 điểm thi rất cao do ít dạng câu hỏi về hàm ẩn, do vậy năm 2018 bộ ra đềtheo hướng các em biết vận dụng không lạm dụng được MTCT Ở các phần như tíchphân, hàm số… đã có nhiều chuyên đề hạn chế Casio rất hay Với cách ra đề đó buộc các

em phải tự rèn luyện phát triển năng lực bản thân mới làm được bài

Các nội dung môn Toán 12 đã được rất nhiều tác giả viết với mục đích giúp các

em phải học bài nắm được bản chất vấn đề mới ra được đáp số, nhưng phần hàm số trướcđây có rất ít tài liệu về vấn đề này, đây là một điều khiến tôi suy nghĩ chọn đề tài này

Bản thân được đi ra đề THPT của sở được tiếp xúc với nhiều cách hỏi phát triểnnăng lực người học, được đi tập huấn cách ra đề trắc nghiệm, tôi cũng muốn đưa ra ýtưởng hỏi bài tập trắc nghiệm phần hàm số để đưa ra thảo luận trao đổi Với mong muốn

để hoàn thiện hệ thống các phần ôn thi THPT Quốc gia của nhà trường và trường bạn đểnâng cao chất lượng giáo dục của Tỉnh nhà

Với tất cả lý do trên tôi chọn chuyên đề “Ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng

biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận”

2 Tên sáng kiến: Ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Vũ Văn Thiết

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo- Tam Đảo - Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0912667068

- E_mail: vuvanthiet.gvtamdao@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư cho quá trình hoàn thiện sáng kiến vàquá trình đưa sáng kiến vào vận dụng thực tiễn

Sáng kiến áp dụng trong lĩnh vực môn Toán lớp 12 THPT, dành cho học sinh ônthi THPT Quốc Gia và có nguyện vọng xét tuyển Đại học, Cao đẳng học sinh ôn thi họcsinh giỏi Các lớp chọn của các trường, học sinh say mê môn học Từ một phần kiến thứchọc sinh có thể áp dụng suy nghĩ sang các phần khác của môn học theo cách tư duy tươngtự.

Qua sang kiến tôi mong muốn được chia sẻ, học tập, trao đổi kinh nghiệm với cácđồng nghiệp để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và hiệu quả họctập của học sinh nói chung, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường, củaTỉnh nhà

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu áp dụng thử:

Áp dụng thử: Tháng 9 năm 2018

+ Vũ Văn Thiết trong lĩnh vực ôn thi học sinh giỏi 12 và ôn thi THPT Quốc gia

Sau đó tôi áp dụng: Tháng 12 năm 2018 trong việc, ôn thi THPT Quốc gia

+ Nguyễn Thị Hiên ôn thi THPT Quốc gia

+ Nguyễn Thị Khánh Hòa ôn thi học sinh giỏi

+ Hoàng Trung Hiếu ôn thi HSG, ôn thi THPT Quốc gia

7 Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1 Về nội dung của sáng kiến

7.7.1 Sự đồng biến nghịch biến

7.7.1.1 Định nghĩa: Gọi K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

và hàm số xác định trên K

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

7.7.1.2 Các định lí:

 Định lí 1: Cho hàm số có đạo hàm trên

 Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên )

 Hàm số đồng biến trên và phương trình

có hữu hạn nghiệm thuộc

có hữu hạn nghiệm thuộc

(Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”)

 Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên )

 Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng và liên tụctrên nửa đoạn thì sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn

 Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng và liên tụctrên nửa đoạn thì sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn

 Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng và liên tụctrên đoạn thì sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn

7.7.1.3 Đạo hàm của hàm hợp

Hàm số hợp

Cho hàm số có tập xác định , tập giá trị và hàm số có tậpxác định chứa tập Khi đó với mỗi giá trị ta có một giá trị xác định cho bởi Khi đó và ta nói là một hàm số theo biến số với

Hàm số gọi là hàm số hợp của hàm số và theo thứ tự này

Đạo hàm của hàm số hợp

7.7.1.4 Bài tập

Câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu Khi gặp dạng này các ta lưu ý cho các em

biết nếu đề cho hàm chỉ cần xem đồ thị nằm trên hay dưới trục hoành, nếu đề

cho hàm lưu ý đồ thị trên trục hoành thì dưới trục hoành thì

Lập bảng biến thiên của hàm số , suy ra kết quả tương ứng.

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ ( đồ thị cắt ởcác điểm có hoành độ lần lượt là .Chọn khẳng định đúng ?

A. nghịch biến trên khoảng B. đồng biến trên khoảng

C. nghịch biến trên khoảng D. đồng biến trên khoảng

Lờigiải

Từ đồ thị hàm số ta nhận thấy trên các khoảng và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, trên các khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành

Do đó ta có: hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến

C.Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng

D.Hàm số nghịch biến trên

Lời giải.

Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy:

A.Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Ví dụ 5 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Ví dụ 6 Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý:Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

+)

Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Ví dụ 8: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dướivà

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra bảng biến thiên của hàm số như sau

Từ bảng biến thiên suy ra

Ta có

Xét

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng Chọn D.

Ví dụ 9 .Cho hàm số Đồ thị hàm số như hìnhbên dưới và

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra bảng biến thiên của hàm số như sau

Từ bảng biến thiên suy ra

Ta có

Xét

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng Chọn C.

Ví dụ 10.Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Chú ý:Cách xét dấu như sau: Ví dụ xét trên khoảng ta chọn Khi

nghiệm của phương trình là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu

Ví dụ 11 Cho hàm số có đạo hàm trên và đồ thị của hàm số

như hình vẽ Hàm số đồng biến trên khoảng nào dướiđây?

0

Chọn

Bước 2 Tinh đạo hàm

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D

Ví dụ 11.Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên dưới

Lời giải

Ta có

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

Bảng biến thiên

Chú ý:Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ta thấy đồ thị

Ví dụ 12.Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số nhưhình bên dưới

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

x y

3 8 1011

Lời giải

Ta có

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với thì đồ thị hàm số nằm phía trên

Ví dụ 13: (ĐỀCHÍNHTHỨC2018–mã 103) Cho hai hàm số , Haihàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậmhơn là đồ thị của hàm số

Lờigiải

Xét hàm số Trong mệnh đề sau đây:

- Vẽ parabol trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số

(như hình vẽ)

- Dựa vào đồ thị ta thấy:

Do đó bảng biến thiên của hàm số trên đoạn như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Bài 2 Cho hàm số Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây

Bài 3 Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Bài 4.Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây Hàm

A B .C D.

Bài 5. Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số

đồng biến trên khoảng

Bài 6.Cho hàm số Đồ thị hàm số có đồ thị như hình bên

Bài 7. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y= f x'( )như hình vẽdưới đây

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số y e f(2x1)2017 đồng biến trên đoạn

2

;13

 

 

  và nghịch biến trên đoạn

 1;9

C Hàm số y e f(2x1)2000 đồng biến trên đoạn 1;0 và nghịch biến trên đoạn  0; 2

D Hàm số y e f(2x1) 2001 đồng biến trên đoạn

5

;06

7.1.2 Bài toán cực trị

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc 1

 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

 Bước 2. Tính Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc không xácđịnh

 Bước 3. Lập bảng biến thiên

 Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

 Bước 4. Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của điểm

Bài tập nhận biết, thông hiểu

nào sau đây là khẳng định đúng?

A.Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

các nghiệm đơn nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ChọnC

Ví dụ 3 (SởGD-ĐTHàTĩnh-2017-2018): Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm

Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy tại các điểm đồ thị hàm số

cắt trục hoành nhưng không đổi dấu, tại các điểm đồ thị hàm số cắt trục hoành và đổi dấu nên các điểm là các điểm cực trị của hàm số

do đó hàm số có hai điểm cực trị ChọnD

Cách 2: Ta lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: hàm số đạt cực trị tại

Ví dụ 4. Cho hàm số Hàm số có đồ thị trên một khoảng như

hình vẽ dưới Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?

Trên , hàm số có hai điểm cực trị

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

Lờigiải

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số

Theo BBT, câu và là mệnh đề đúng, (II) là mệnh đề sai ChọnA.

Ví dụ 5 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng ?

Dựa vào đồ thị hàm số và đường thẳng có là các nghiệm của phương trình (1):

Dựa vào đồ thị hàm số và đường thẳng có là các nghiệm của phương trình (1) (trong đó là các nghiệm bội chẵn).

Có bảng xét dấu

1

Từ đó suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm

Ví dụ 3 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bêndưới

Từ đồ thị suy ra nhưng chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi qua Do đó hàm số đạt cực đại tại .

Ví dụ 4 : Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đạo hàm Biết

Ví dụ 6 Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ Khi đó

Ví dụ 8 Cho hàm số có đạo hàm trên tập Hàm số có đồ thị nhưhình sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Vậy hàm số có 3 điểm cực tiểu.Chọn C.

Ví dụ 9 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên R, có đồ thị hàm

Có

Theo đó ta lập bảng biến thiên như sau:

Vậy đạt cực tiểu tại 1 điểm

Ví dụ 11 Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Tìm m để

Ta có: và không đổi dấu khi qua 1 hay 1 là nghiệm bội chẵn

Hàm số có 3 điểm cực trị có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi

nghiệm phân biệt khác

Vậy có giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện Chọn A

Cách 2: Xét đồ thị của hàm số và hai đường thẳng

(hình vẽ)

Khi đó cắt tại bốn điểm phân biệt

Vậy có giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 13 Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên Đồ thị của hàm số

trên đoạn được cho bởi hình bên dưới

Hỏi hàm số có tối đa bao nhiêu cực trị?

Lời giải

Ta có: nên

Từ đồ thị ta suy ra có tối đa 4 nghiệm, có tối đa 3 nghiệm

Do đó, hàm số có tối đa 7 điểm cực trị nên có tối đa 7 cực trị

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên

Suy ra đổi dấu từ + sang - khi qua , từ - sang + khi qua

Hàm số có 2 điểm cực trị

Ví dụ 16 Cho hàm số là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số nhưhình vẽ

Số điểm cực đại của hàm số là

Ví dụ 17 Cho hàm số là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số

như hình vẽ

Ví dụ 18 ho hàm số là hàm đa thức bậc 6 có đồ thị hàm số như hìnhvẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 2 điểmcực trị?

Lời giải

Ta có

Hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên có 2 điểm cực trị, số điểm cực trị hàm bằng số điểm cực trị hàm nên có 2 điểm cực trị với mọi Vậy với mọi hàm số đều có 2 điểm cực trị.Chọn D

Bài tập tương tự

Câu 1: Cho hàm số y f x 

liên tục trên đoạn  0; 4

có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x4 B Hàm số đạt cực đại tại x2

C Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 D Hàm số đạt cực tiểu tại x  0

Câu 2: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ

bên

Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 5: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị.

Câu 6: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Câu 7: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm

số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 9: Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A 3 B 1 C 4 D 5.

Câu 10: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau

Số điểm cực trị của hàm số là

Câu 11: Cho hàm số liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực tiểu của hàm số là

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

Sáng kiến áp dụng cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia và xét tuyển đại học, và ápdụng cho việc ôn thi học sinh giỏi, lần đầu áp dụng trong kỳ thi THPT Quốc gia năm

2019 đã có nhiều em đạt điểm cao tiêu biểu như:

2 Trần Tuấn Kiệt 12A1 8,4 Đại học Bách Khoa

Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 năm 2018, 2019 trường có nhiều em đạt kết quảcao, có 8 em đi thi và 7 em dạt giải tiêu biểu như:

8 Những thông tin cần được bảo mật:

Như tôi đã nói ở trên sáng kiến tôi muốn đưa ra để chia sẻ với các đồng nghiệp vàhọc sinh

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Học sinh có học lực khá trở lên, có nguyện vọng xét tuyển vào các trường Đạihọc, Cao đẳng, học sinh ôn thi học sinh giỏi Với giáo viên dạy các lớp đầu cao trong cáctrường THPT, giáo viên thi giáo viên giỏi

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

10.1.1 Về phía giáo viên: