(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng của tích phân trong hình học

Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu “Ứng dụng hìnhhọc của tích phân”, đề tài của tôi đã phân dạng và phương pháp giải một hệ thống các bài tập liên

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG II

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

TÊN SÁNG KIẾN:

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Tác giả sáng kiến: Lê Thị Phương Hoa

* Mã sáng kiến: 08.52….

Tam Dương, Năm 2019

download by : skknchat@gmail.com

Trang 2

1download by : skknchat@gmail.com

Trang 3

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình Giải tích lớp 12, phần kiến thức về tích phân là một nội dung khá rộng vàphức tạp Trong đó, phần ứng dụng của tích phân trong hình học là một nội dung tương đối khó, nộidung này đã xuất hiện trong đề thi THPTQG nhiều năm qua và tiếp tục được đưa vào đề thiTHPTQG trong năm tới Việc giải các bài toán ứng dụng của tích phân trong hình học thường gâykhó khăn cho học sinh, nguyên nhân là do bài toán này thường đòi hỏi tính liên tưởng, cần biết vẽhình và phân tích bài toán Học sinh thường yếu trong hai khâu này

Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu “Ứng dụng hìnhhọc của tích phân”, đề tài của tôi đã phân dạng và phương pháp giải một hệ thống các bài tập liênquan đến ứng dụng của tích phân trong hình học như tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khốitròn xoay, qua đó giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải bài tập tích phân vàhiểu được mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn

Tôi rất hy vọng đề tài của tôi có thể giúp ích cho việc học tập của các em học sinh và là tài liệutham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp

2 Tên sáng kiến:

Ứng dụng của tích phân trong hình học

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Thị Phương Hoa

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Dương II

- Số điện thoại: 0982599057

- E_mail: Lethiphuonghoa.gvtamduong2@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/2/2018.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

Trang 4

A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] , trục

hoành và hai đường thẳng

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g ( y) , x =h ( y) và hai đường thẳng

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,

(a £ x £ b) Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Trang 5

3

Trang 6

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V =òS ( x ) dx

a

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f ( x) ,

trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g ( y)

, trục hoành và hai đường thẳng y =c

, y =d quanh trục Oy:

y d

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f ( x) , y =g ( x) và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox:

b

V =pò f 2 ( x ) - g 2 (x ) dx a

B PHÂN DẠNG BÀI TẬP I- BÀI TẬP TÍNH

Trang 7

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn

b

bởi các đường y = f ( x ), y =g ( x) là S =ò f ( x ) - g ( x ) dx Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và

a

lớn nhất của phương trình f ( x ) =g ( x) ( a £ a <b £ b)

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f (x) =g(x) tìm các giá trị a, b

b Bước 2 Tính S =ò f (x) - g(x) dx như trường hợp 1.

a

1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU

Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y =f (x) , y =g(x)

liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x =a , x =b (a <b) là:

A S =pòa f (x) - g(x) dx B S =òa ( f (x) - g(x))dx

C S =òa b ( f (x) - g(x))2.dx

D =òa b f (x) - g(x) dx

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) , liên tục trên [a ; b] trục

hoành và hai đường thẳng x =a , x =b ( a <b) cho bởi công thức:

b

A S=òf(x)dx.

a b

Trang 9

Câu 5. Cho hàm số y =f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] Diện tích hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y =f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b

được tính theo công thức

Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f ( x) liên tục trên đoạn

[a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được tính theo công thức

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =f ( x) , y =g ( x) liên tục

trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được tính theo công thức

A.S=ò f ( x ) - g ( x ) 2 dx B S =ò[f ( x ) - g ( x )]dx.

a b

D S =pò f ( x ) - g ( x ) 2 dx.

a

Trang 10

Trang 12

Câu 12 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm sốy=sinx, trục hoành và hai đường

Trang 13

2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 15 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 3 - 3x2 , trục hoành và hai

Trang 14

Câu 16 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4

-đường thẳng x=0 , x=3 là

4 +æçx4-x3 ö

Trang 15

Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4 - 3x2 - 4 , trục hoành và hai

Trang 16

Trang 19

y x 3 4x , trục hoành và hai đường

Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

đồ thị hai hàm số

Diện tích download by : skknchat@gmail.com

Trang 22

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x =- y 2 +2 y , x =- y

Xét pt tung độ giao điểm (- y 2 +2 y ) - ( - y) =0 có nghiệm y =0, y =3

12

Trang 24

Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng

Trang 25

trong miền x ³ 0, y £1là a Khi đó b-a bằng

Trang 27

1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 41 Thể tích vật thểdownload by : skknchat@gmail.comtròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Trang 29

Câu 42 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đườngycos4x, Ox, x = 0, x = 8 quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V cos2 4xdx

0

16

Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ( x ), Ox , x a , x b quay xung quanh

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 ; trục Ox và đường thẳng x 3 quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 45 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 1, y 0, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 46 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đườngy2 x , x a , x b (0 a b) quay xung quanh

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Trang 31

Câu 47 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2x, y 0

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0 quay xung quanh trục Ox Thể

Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0;x

và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm (x;0;0) bất kỳ là đường

Câu 50 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

3 quay xung quanh

3

0

Trang 32

Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh

Trang 33

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi

đường tròn x2 y2 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc vớitrục Ox ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

Câu 53 Cho hình phẳngDgiới hạn bởi các đường y 2 4x và đường thẳng x 4 Thể tích của

khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

Hướng dẫn giải

Giao điểm của hai đường y24x và x4 là D(4; 4) và E(4;4) Phần phía trên Ox của

đường y24x có phương trình y 2 x Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn

4

xoay cần tính là: V (2 x )2dx 32

0

Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x , y 0, x 2 quay xung quanh trụcOx.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

C 2ln22 4ln 2 2 D 2ln 2 1

Trang 34

Trang 35

Câu 55 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y a.x2, y bx (a,b 0) quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Trang 36

Trang 37

Tọa độ giao điểm của hai đường y 4 x2 và y 1 x2 là các điểm A( 3;1) và

Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3 x , y x , x 0, x 1 quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Tọa độ giao điểm của đường x1 với y x

và y 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1) Tọa độ giao điểm của đường y 3x với y x

là O(0;0) Vậy thể tích của khối tròn

Câu 58 Gọi H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong C1 : y f x C2 : y g x, hai

đường thẳng x a , x b , a b Giả sử rằng C1 và C2 không có điểm chung trên

a, b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay H quanh Ox là

Trang 38

Trang 39

Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x ln x , y 0, x e quay xung quanh trục

Tọa độ giao điểm của đường x e với y x lnx là điểm C(3;3) Tọa độ giao điểm

của đường y x lnx với y 0 là A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V.x2 ln xdx 2e 1

1

9

Câu 60 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x3 6x2 9x y quay xung quanh trục

Hướng dẫn giải

Trang 40

Trang 41

Tọa độ giao điểm của đường y x 3 6x 2 9x với y 0 là các điểm C (e;e) và A(3;0).

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V 3 x3 6x2 9x 2 dx . 729

35

0

Câu 61 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi

đường tròn x2 y2 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc

với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

Giao điểm của thiết diện và Ox là H Đặt OH x suy ra cạnh của thiết diện là

2 16 x2 Diện tích thiết diện tại H làS(x) 34(16 x2)

Câu 62 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x 2 , y 2 4x quay xung quanh trục Ox Thể

Trang 42

Trang 44

quay quanh Ox.

23

Trang 45

Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y x 2 ;8x y2

Trang 46

Trang 47

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

Sáng kiến có khả năng áp dụng rộng rãi vào việc giảng dạy môn Toán trong các nhà trường THPT, với đối tượng học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi THPTQG

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Nội dung của sáng kiến

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến có thể áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12, đã được cung cấp kiến thức cơ bản

về tích phân, các phương pháp tính tích phân

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Lợi ích của việc áp dụng sáng kiến là học sinh đã tiếp thu nhanh hơn, có hệ thống hơn vàgiải quyết được một lớp các bài tập ứng dụng trong hình học của tích phân Học sinh làm được cácbài tập trắc nghiệm theo mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

áp dụng sáng kiến

, ngày tháng năm , ngày tháng năm Tam Dương, ngày 30 tháng 1

(Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu)

Lê Thị Phương Hoa

Tiêu đề	Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học
Tác giả	Lê Thị Phương Hoa
Trường học	Trường THPT Tam Dương II
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	báo cáo
Năm xuất bản	2019
Thành phố	Tam Dương

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	589,94 KB