(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Trong đó dạng toán phổ biến nhất về dãy số là dạng bài về tìm công thức sốhạng tổng quát của dãy số CTTQ và tình giới hạn của dãy số.. Để giúp học sinhTHPT đặc biệt là học sinh lớp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước vềchất lượng thi ĐH-CĐ và thi THPT Quốc gia Là một trường đang trên đà phát triển,trường THPT Nguyễn Thái Học luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượnggiáo dục mọi mặt của nhà trường Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm vinh

dự của mỗi giáo viên Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạylớp mũi nhọn khối A của trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển toán lớp

11, tôi nhận thấy mình phải có trách nhiệm giúp các em học sinh đạt được điểm số caonhất trong khả năng của các em

“DÃY SỐ” là một trong những kiến thức hay và khó trong chương trình Đại số

và Giải tích lớp 11 Trong các đề thi khảo sát chuyên đề của các trường có không ítnhững câu hỏi trắc nghiệm về dãy số đã gây khó khăn đối với học sinh Đặc biệt trong

các đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số luôn xuất hiện và là câu khó đối với nhiều

học sinh Trong đó dạng toán phổ biến nhất về dãy số là dạng bài về tìm công thức sốhạng tổng quát của dãy số( CTTQ) và tình giới hạn của dãy số Để giúp học sinhTHPT đặc biệt là học sinh lớp khá giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học có thể

gải quyết được một số dạng bài tập liên quan đến dãy số, tôi chọn viết đề tài:

“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA

DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”

Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quátrình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồngnghiệp Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạnmột số dãy số cho bằng công thức truy hồi

2 Tên sáng kiến:

“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA

DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”

3 Tác giả sáng kiến:

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0977604246

- E_mail: thuyduongnth@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0977604246

- E_mail: thuyduongnth@gmail.com

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học môn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

11ở trường THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 1 năm 2016

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động

học của trò Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinhcủng cố những kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh,giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mônToán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài

toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư

duy logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần địnhhướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách

vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản,biết cách biến cái “không thể” thành cái “có thể”

II Cơ sở lý thuyết.

1 DÃY SỐ

1 1 Định nghĩa:

a) Mỗi hàm số xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn

(gọi tắt là dãy số)

1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm

a) Dãy số được gọi là tăng nếu với mọi

b) Dãy số được gọi là giảm nếu với mọi

1.3 Dãy số bị chặn

a) Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số sao cho

b) Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số sao cho

c) Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là

2 CẤP SỐ CỘNG

2.1 Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng  u n+1 = u n + d, n  N* (d: công sai)

+ Bản thân tôi là giáo viên đã ra trường lâu năm, được Ban giám hiệu phân công

đứng lớp chọn và phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn

và bao quát toàn cấp học

+ Học sinh đã được rèn luyện kỹ năng giải bài tập về cấp số cộng, cấp số nhân lànền tảng để giải các bài toán về dãy số

+ Phương pháp được dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số các em có ý thứchọc tập tốt và nắm bắt kiến thức tốt

II Khó khăn:

+ Học sinh vẫn quen cách học thụ động, không chịu suy nghĩ tìm tòi trước những

câu hỏi khó, lạ

+ Thời lượng dạy không được nhiều nên nhiều ý tưởng của giáo viên chưa truyền tảiđược hết

PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định côngthức số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy hồi Có nhiều phươngpháp để giải quyết yêu cầu đó Tuy nhiên phương pháp thường gặp là biến đổi để qui

về dãy số đặc biệt đó chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Dạng 1.1 Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định :

a, b là các hằng số

Dãy số kiểu này xuất hiện khá nhiều trong các bài tập về dãy số cũng như trong

các câu hỏi trắc nghiệm Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất:

Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách bài tập đại số và giải tích 11) :

Tìm công thức số hạng TQ của dãy (un) được xác định như sau :

Lời giải:

Bài toán này có thể giải bằng các cách khác nhau:

Cách 1: Dự đoán SHTQ rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Ta có:

Dự đoán:

Dễ dáng chứng minh được công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học

Cách 2: Từ công thức truy hồi suy ra: suy ra dãy số là

một cấp số cộng, với: Khi đó:

Ví dụ 2: Xác định SHTQ của dãy số được xác định bởi:

Lời giải:

Tương tự như ví dụ 1, có thể giải ví dụ 2 bằng cách dự đoán công thức SHTQ rốichứng minh bằng quy nạp Tuy nhiên từ công thức truy hồi ta có thể thấy ngay dãy số

này là một CSN với: từ đó suy ra:

* Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy bài toán có thể giải quyết dễ dàng bởi dãy số đã

cho chính là những dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) hoặc cấp số nhân (CSN) Tuynhiên không phải dãy số nào cũng là CSC hay CSN Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau đây:

Lời giải:

Dãy số này không phải là CSC hay CSN, tuy nhiên ta có thể biến đổi về CSC, CSN

đối với một dãy trung gian khác

Thật vậy: Từ công thức truy hồi: ta biến đổi về dãy sao cho là

một CSN Tức là: , ta sẽ tìm dãy như vậy

Ta có:

Như vậy dãy số với là một cấp số nhân xác định như sau:

.Ta thấy (v n ) lập thành một CSN với số hạng đầu v 1 =6 công bội q=3

un

Vậy ta có bảng sau:

*Từ ví dụ trên ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng :

như sau:

Cách giải:

+ Nếu thì (un) là cấp số cộng với công sai d=b

Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau:

b Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số trên ĐS:

Bài 2: Tìm công thức SHTQ của các dãy số sau:

b ; ĐS:

Dạng 1.2: Xác định CTTQ của dãy (u n ) được xác định như sau :

, Trong đó là đa thức bậc với là hằng số

Cách giải:

Ta phân tích

TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng 0

TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k

Khi đó ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:

Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số và giải tích 11)

Cho dãy (un) xác định bởi Tìm CTTQ của dãy (un)

Từ công thức truy hồi của dãy (un) ta có:

Cách 2:

Từ công thức truy hồi Un+1-Un= 3n-2 ta thay các giá trị n=1,2,…

cộng theo vế ta được:

Ví dụ 2: (bài 3.28 trang 90 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số (vn) xác định như sau:

Bài 3:(BT2.4 trang 106 sách BT địa số và giải tích 11)

Cho dãy (un) được xách định như sau:

a, Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (un)

TH2: Nếu Ta phân tích Khi đó có k=

Rồi đưa về các dạng đã biết ta tìm được công thức tổng quát của (Un)

Ví dụ 1: Cho (un ) được xác định như sau :

Tìm CTTQ của dãy (un )

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho (Un ) được xác định như sau :

Tìm CTTQ của dãy (Un )

Lời giải:

Ta phân tích :

Từ công thức truy hồi của dãy (Un ) ta có:

Ví dụ 3: Cho (Un ) được xác định như sau:

Từ công thức truy hồi

Dạng 1.4: Cho dãy (Un) được xách định như sau:

Tìm CTTQ của dãy

Cách giải:

 Phân tích

 Trong đó:

+ Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1 của n

+ Nếu a 1 thì g(n) là đa thức bậc k của n

Sau đó chuyển công thức truy hồi của dãy (un) về các dạng đã học ta tìm đượcCTTQ của (un)

Ví dụ 1: Cho dãy (un) được xách định như sau:

Vậy CTTQ của (un) là

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm CTTQ của dãy (un ) được xách định như sau :

ĐS:

Bài 2: Tìm CTTQ của dãy (un) biết:

DẠNG 1.5: Cho dãy (un) được xách định như sau:

Bài 1: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thứ :

Bài 2: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:

ĐS

Bài 3: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un) được cho bởi công thức:

Bài 4: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:

CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM

Câu 1 Cho dãy số với .Số hạng tổng quát của dãy số là số

hạng nào dưới đây?

Câu 2 Cho dãy số với Số hạng tổng quát của dãy số là

số hạng nào dưới đây?

Câu 3 Cho dãy số với Công thức số hạng tổng quát của dãy số này

:

Câu 8 Cho dãy số với Số hạng tổng quát của dãy số là

số hạng nào dưới đây?

A 2 B C 1 D 3

Câu 10 Cho dãy số với Số hạng tổng quát của dãy số là

số hạng nào dưới đây?

Câu 13 Cho dãy số với Số hạng tổng quát của dãy số là số

hạng nào dưới đây?

Câu 14 Cho dãy số xác định bởi Tìm số nguyên dương

A B C D.

Câu 15 Tính tổng

A B

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Dạng 2.1 Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ của dãy số.

Nếu biết CTTQ của dãy số thì việc tính giới hạn không còn khó khăn nữa Để tìm ra

CTTQ của dãy số có khá nhiều cách Trong dạng 1 ở chuyên đề này chúng ta đã đưa rađược một số cách cơ bản để xác định Các ví dụ sau đây dùng các phương pháp đã biếtở dạng 1 để tìm CTTQ của dãy số

Ví dụ 1 Cho dãy số: Tính

Lời giải :

Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số trên là:

Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số trên là:

Do đó:

Do đó:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho dãy số: Tính ĐS:

Bài 2: Cho dãy số: Tính ĐS:

Nhận xét: Nhiều bài toán việc tìm được CTTQ là khó khăn, khi đó ta có thể tìm giới hạn dãy số theo cách khác dễ hơn

Dạng 2.2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn.

Để tìm được giới hạn theo cách này ta cần nắm được các tính chất sau của dãy số:

1 Dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới thì có

thì có giới hạn hữu hạn

2 Nếu dãy số thỏa mãn điều kiện và tồn tại thì

3 Nếu dãy số thỏa mãn điều kiện và tồn tại thì

4 Giải sử dãy số có giới hạn hữu hạn thì

Ví dụ 1 : Cho dãy số xác địn bởi: Tìm

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh dãy tăng và bị chặn trên

Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp như sau:

- Với n=1 ta có:

- Giả xử , khi đó Vậy

Hay dãy số tăng nê sẽ bị chặn dưới bởi Ta sẽ chứng minh dãy số bịchặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy:

Ví dụ 2 : Cho dãy số (un) xác định như sau:

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức CôSi :

hay dãy số bị chặn dưới bởi

Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh

Thật vậy :

Do hay dãy số giảm.

Như vậy dãy số giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn Giả sử

Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn là a( a>2019) thì :

suy ra dãy số không có giới hạn hữu hạn hay

Ta có :

Vậy :

Ví dụ 3 : Cho dãy số (un) xác định như sau:

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải :

Ta có :

Áp dụng bất đẳng thức CôSi :

hay dãy số bị chặn dưới bởi

Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh

Thật vậy :

- Xét hiệu :

Như vậy dãy số giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn Giả sử

Ta có phương trình:

Vậy

Ví dụ 4: Cho dãy số xác địn bởi: Tìm

(Đề HSG Quảng Bình)

Lời giải:

Ta có:

nên là dãy số tăng

Ta có: phương trình này vô nghiệmnên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy ( ) không bị chặn Do đó:

Ta có:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho dãy số (un) xác định như sau:

Chứng minh rằng có giới hạn và tính giới hạn đó

Bài 2: Cho dãy số được xác định bởi :

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định như sau:

Chứng minh dãy số tăng và tìm giới hạn của dãy số đó

Dạng 2.3 Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp

Để áp dụng phương pháp này ta nhắc lại nguyên lý kẹp như sau:

Cho 3 dãy số: thỏa mãn điều kiện: và

thì

Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa phương pháp này:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải:

1) Ta có: mà

2) Ta có:

mà

Nhận xét: Trong Ví dụ 1, dãy số được cho bằng CTTQ vì vậy việc áp dụng giới hạn

kẹp dễ hơn, trong trường hợp dãy số cho bằng công thức truy hồi ta phải sử dụng kỹnăng đánh giá cao hơn để có thể dùng được giới hạn kẹp Sau đây ta xét các ví dụ màdãy số cho bằng công thức truy hồi

Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi :

Vậy

b) Từ câu a) suy ra:

Do đó ta có:

Nên theo nguyên lý kẹp:

Ví dụ 3: Cho dãy số được xác định bởi :

Ví dụ 4: Cho dãy số được xác định bởi : ( với -1<a<0)

b) Tính ( Đề HSG Quảng Ngãi)

8 Khả năng áp dụng của sáng kiến:

Đề tài đã được bản thân tôi triển khai giảng dạy tại các lớp 11A6 - khóa 2017; đội tuyển toán 11 năm học 2015-2016, lớp 11A1 khóa 2018-2021 và đội tuyểntoán 11 năm 2019-2020 của trường THPT Nguyễn Thái Học, tính khả thi và hiệu quảcủa đề tài được khẳng định Học sinh hứng thú hơn với các bài tập dãy số vốn rất khô

2014-và khó, chất lượng học tập bộ môn được nâng cao rõ rệt

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

Đề tài có thể dùng cho tất cả các giáo viên giảng dạy Toán THPT dạy cho

học sinh lớp 11 THPT

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

Năm học 2015-2016 đội tuyển toán 11 có 9 em đi thi đã có 8 em đạt giải trong đó

có 1 giải Nhì; 5 giải ba, 2 giải Khuyến khích Đặc biệt bài toán về “dãy số” tất cả cáchọc sinh trong đội tuyển đều giải được

Năm học 2019 – 2020 khi áp dụng dạy cho lớp 11A1 và đội tuyển toán các em đã

có thể giải quyết được những dạng toán về dạy số đã học