(SKKN mới NHẤT) SKKN rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy : - Trong chương trình đại số 8 , dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung rất quan trọng , việc áp dụng của dạng toán này rất phong ph

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẬP THẠCH

TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN

" PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ "

Người thực hiện : Nguyễn Trần Kiên Đơn vị công tác : Trường THCS Lập Thạch

Năm học : 2017 - 2018 Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Luật Giáo dục năm 2005 đã xác định “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản , phát triển năng lực cá nhân , tính năng động và sáng tạo , hình thành nhân cách con người việt nam XHCN , xây dụng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dụng và bảo vệ tổ quốc”

Mục tiêu của môn toán ở trường THCS là : hình thành và rèn luyện các kĩ năng : tính toán, thực hiện các phép biến đổi, chứng minh , trình bày bài cho học sinh

Để có kĩ năng phải trải qua quá trình luyện tập tích cực, đúng cách

theo Đề - các và Leibnitz đã nói : “ Giải toán là một nghệ thuật thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết , hay chơi đàn có thể học được nghệ thuật đó , chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành không có chìa khoá thần kì để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng”

Là một giáo viên , tôi nhận thấy:

Công tác bồi dưỡng học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi ở các nhà trường được coi là một trong những công việc rất quan trọng, thường xuyên , xuyên suốt Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy :

- Trong chương trình đại số 8 , dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung rất quan trọng , việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú và đa dạng như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải các phương trình, …

- Việc phân tích đa thức thành nhân tử về cơ bản là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được do chưa nắm vững các phương pháp phân tích của các dạng bài , chưa có kỹ năng biến đổi linh hoạt vào từng bài cụ thể, chưa nhiều thời gian luyện tập

- Ngoài ra trong các đề thi hsg toán 8,9 đều có những bài liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ khó hơn và để giải được thì ngoài các phương pháp cơ bản mà Sgk giới thiệu các em học sinh cần phải biết thêm các phương pháp khác như: Tách hạng

tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến, xét giá trị riêng, đồng nhất…

Nhằm giúp học sinh tháo gỡ và giúp hs giải quyết tốt các khó khăn, vướng mắc đó đồng thời năng cao chất lượng bộ môn đặc biệt là chất lượng mũi nhọn nên tôi chọn đề tài “ Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp 8

II Mục đích nghiên cứu:

Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học để

cùng nhau chung sống và học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình

thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề Việc trang bị tốt năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm của việc đổi mới phương pháp dạy học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ thông Vì thế cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với định hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà trường, ứng dụng công nghệ thông tin

Khi vận dụng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, các em vẫn lúng túng Phải chăng điểm xuất phát từ bài đầu tiên là học sinh làm quen với phân tích đa thức thành nhân tử, các em còn chưa hiểu rõ hết bản chất của vấn đề, chưa nắm rõ các phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đến nhầm lẫn khi giải toán Chính vì vậy, ngay từ bài đầu tiên về phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế sự nhầm lẫn, sai sót sau này

III Đối tượng nghiên cứu:

- Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”

- Học sinh lớp 8 trường THCS Lập Thạch

IV Phạm vi nghiên cứu:

- Đề tài xoay quanh dạng “Toán phân tích đa thức thành nhân tử” trong chương trình toán học bậc THCS

- Học sinh THCS, đặc biệt là học sinh giỏi lớp 8 của trường trung học cơ sở Lập

Thạch - Huyện lập Thạch

V Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; những vấn đề về

đổi mới giáo dục trung học cơ sở; sách giáo khoa toán 8; sách bài tập Toán 8; hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS làm cơ sở thực hiện giải pháp này

Điều tra: Qua giờ dạy, dự giờ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với học sinh

để đưa ra biện pháp thực hiện

Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi

PHẦN II: NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

Bất cứ môn khoa học nào trong trường phổ thông cũng có vai trò và tầm quan trọng của nó Riêng đối với môn Toán có vai trò rất quan trọng vì nó có khả năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung của nhà trường Các kiến thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực

Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ Thật vậy, do tính trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể giúp nhiều cho học sinh trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo Do tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, là môn “Thể thao trí tuệ”, Toán học có khả năng phong phú làm cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logic Việc tìm kiếm, tìm lời giải của một bài toán có tác dụng to lớn trong việc cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo Môn Toán còn có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và trong lao động

Vì vậy khi dạy Toán là làm thế nào cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng Toán học phổ thông cơ bản Có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất và vào học tập các môn học khác

Phát triển ở học sinh năng lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện nay và mãi mãi về sau Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán

Các mục đích nói trên không thể tách rời nhau mà có mối quan hệ mật thiết, hỗ trợ,

bổ sung cho nhau, thể hiện sự thống nhất giữa trí dục và đức dục, giữa dạy học và phát triển, giữa nâng cao dân trí và đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài trong quá trình dạy học các bộ môn ở trường phổ thông

II Cơ sở thực tiễn

1 Thực tiễn vấn đề nghiên cứu:

Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt

nhất Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử còn nhầm lẫn Ngoài ra, một vài học sinh còn chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân

tử là như thế nào? Và làm thế nào để phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử

Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử còn được ứng dụng rất nhiều trong các

dạng toán sau này như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân

thức đại số, giải phương trình tích…

2 Sự cần thiết của đề tài:

Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, tôi nhận

thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là thực sự

cần thiết Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài tập cụ thể Từ đó, giúp các em tìm tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất Không những thế, giải pháp này còn giúp các em hứng thú hơn khi được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí sau khi học các môn khác

III Nội dung vấn đề

1 Vấn đề đặt ra

Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu thêm hai

phương pháp phân tích (nâng cao): Tách một hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử Vì

vậy, giáo viên phải thực hiện được một số việc sau:

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản

- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

- Giới thiệu thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)

- Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp chung :

- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số)

- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất )

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử : A = - (-A)

Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử

- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? ( ƯCLN(10, 8 ) = 2)

- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?

- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)?

Giải:

10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)

Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử

Các sai lầm học sinh thường mắc phải :

9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)]

= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )

Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

= (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)

Chú ý: Tích không đổi dấu khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát,

tích không đổi dấu khi ta đổi dấu một số chẵn các nhân tử trong tích đó)

Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa

* Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức x 2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử

Ví dụ 2: Phân tích đa thức x 2 – 2x + 1 – 4y 2 thành nhân tử

Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích

thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại

Thông thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng

2.5 phương pháp tách hạng tử

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử

Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:

- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương (cách 1)

- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân

tử chung x – 2 (cách 2)

- Làm xuất hiện nhân tử chung và hằng đẳng thức (cách 3)

Vì vậy, việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các

phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử

là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán

Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta thường tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho 1 2

Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử

Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ

theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp, thông thường người

ta dùng cách tìm nghiệm của đa thức

* Phương pháp nhẩm nghiệm

1

x là một ước của hệ số tự do a0, do đó khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân

tử xx0 Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của

nó để định hướng cho việc phân tích ra nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

f(x) = x3 - x2 – 4

Gợi ý

Ta lần lượt kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) = 0 Do đó đa thức f(x) có nghiệm x =

2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x – 2

Từ đó ta tách các hạng tử như sau : f(x) = x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4

= x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)

= (x - 2)(x2 + x + 2)

- Chú ý 1 : khi xét nghiệm của đa thức ta nhớ 2 định lí sau:

a) Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của f(x), do đó f(x) có chứa một nhân tử là x – 1

b) Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng

tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của f(x), do đó f(x) có chứa một nhân tử là x + 1

Ví dụ 2: x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có chứa nhân tử là x + 1 Do đó Ta tách như sau:

Ta thấy các ước của 18 là:       1, 2, 3, 6, 9, 18

Tính f(1) = -18; f(-1) = -44 nên 1 và -1 không là nghiệm của đa thức

 không nguyên nên :    3, 6, 9, 18,2 không là

nghiệm của f(x) Chỉ còn -2 và 3; kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x), do đó ta tách các

x + 6x +13x +14x +12x + 8

2x + 7x - 2x - 13x + 6

2.6 Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức

Ví dụ 1: Phân tích đa thức x 4 + 4 thành nhân tử

Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)

Giải: x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2 = (x 2 + 2) 2 –(2x) 2 = (x 2 + 2 – 2x)(x 2 + 2 + 2x)

Khai thác bài toán:

* Thay “4” thành “ 64y 4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4

Hướng dẫn giải:

Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)

x 4 + 64y 4 = (x 4 + 16x 2 y 2 + 64y 4 ) – 16x 2 y 2 = (x 2 + 8y 2 ) 2 – (4xy) 2