(SKKN mới NHẤT) SKKN rèn luyện cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

Việc vận dụng kiến thức đã học vào giải toán bằng cách lập phương trình đa số học sinh còn gặp nhiều lúng túng; kỹ năng diễn đạt, biểu thị mối tương quan các đại lượng, lập phương trình

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thời đại phát triển, thời đại mà khoa học công nghệ đang làm thay đổi nhanh chóng, sâu sắc đời sống vật chất và tinh thần của loài người Khoa học đang ngày càng trở thành một lực lượng sản xuất trực tiếp, là động lực cơ bản tạo nên sự phát triển kinh tế xã hội Giáo dục - Đào tạo trở thành một nhân tố quyết định sự thành đạt của mỗi một con người trong cuộc sống và vị thế của mỗi quốc gia trên trường quốc tế

Trong quá trình hội nhập với nền kinh tế tri thức, Giáo dục - Đào tạo là chìa khóa của hoạch định chiến lược vĩ mô, là điều kiện tiên trong công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Đảng ta xác định: "Muốn tiến hành công nghiệp hóa, hiện đại hóa thắng lợi phải phát triển mạnh mẽ sự nghiệp Giáo dục - Đào tạo, phát huy nguồn lực con người, yếu tố cơ bản của sự phát triển nhanh và bền vững"

Trong những năm gần đây, Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm đến đổi mới phương pháp dạy học, đó là xu thế “dạy học tập trung vào người học” hay là “phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh”, tập trung dạy học theo hướng đánh giá theo năng lực người học Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là giáo dục, đào tạo học sinh trở thành những con người mới XHCN Các em được phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ Do đó, cần có định hướng tư duy tích cực cho học sinh và đổi mới phương pháp dạy học nhằm phù hợp với giáo dục thời đại mới

Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng

Môn Toán được đưa vào trường học ngay từ khi các em vừa mới chập chững cắp sách đến trường Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên cơ bản, phục vụ đắc lực cho các môn khoa học khác Song một bộ phận không nhỏ học sinh chưa thật sự có sự ham thích, say mê môn học nên tính độc lập suy nghĩ, sự sáng tạo tư duy, tích cực chiếm lĩnh tri thức không được phát huy, ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy học

Muốn học sinh tư duy tốt, học tập môn toán có hiệu quả, người giáo viên không những làm chủ kiến thức, mà cần phải biết định hướng tư duy môn học tốt Học sinh được nắm vững các kiến thức cơ bản, linh hoạt, tư duy tích cực, sáng tạo để dễ dàng hơn khi tiếp cận, khai thác kiến thức theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Khi học sinh nắm vững lí thuyết cơ bản, tư duy logic thì sẽ xây dựng được phương pháp làm bài hiệu quả, biết diễn đạt theo ý mình, vận dụng kiến thức đã học để giải từng loại toán thích hợp, từ đó xây dựng phương pháp giải chung cho các dạng bài

"Giải toán bằng cách lập phương trình" là dạng toán vận dụng các kiến thức đã học và kiến thức thực tế để giải quyết các bài toán thực tế, đòi hỏi cao tính độc lập tư duy logic của học sinh "Giải bài toán bằng cách lập phương trình" ở lớp 9 là sự kế thừa phương pháp giải toán từ lớp 8, khác là đã sử dụng phương trình bậc hai trong bước lập và giải phương trình Việc vận dụng kiến thức đã học vào giải toán bằng cách lập phương trình đa số học sinh còn gặp nhiều lúng túng; kỹ năng diễn đạt, biểu thị mối tương quan các đại lượng, lập phương trình còn hạn chế, tư duy không logic, thiếu mạch lạc Nhiều em nắm được lí thuyết khá chắc chắn nhưng khi áp dụng vào giải toán lại không thành công

Từ những lí do đó, trong giảng dạy tôi luôn trăn trở suy nghĩ, tìm tòi, học hỏi đồng nghiệp từng bước hình thành hệ thống kiến thức, tư duy về giải toán và định hướng giúp học sinh có tư duy tốt về cách giải bài toán bằng cách lập phương trình và

đã tiến hành xây dựng đề tài “Định hướng tư duy giải toán bằng cách lập phương

trình” Trong quá trình dạy học, tiếp tục nghiên cứu để tài liệu này sẽ trở thành cẩm

nang dạy học tốt cho chính mình và đồng nghiệp

1.2 Điểm mới của đề tài

Giúp học sinh tư duy tốt hơn về phương pháp chung của dạng toán này Học sinh không phải ghi nhớ máy móc ba bước giải toán mà qua quá trình tư duy giải toán các em được ghi nhớ logic phương pháp giải theo trình tự ba bước với các thao tác cụ thể của mỗi bước Ví dụ, khi tìm hiểu, phân tích bài toán, dựa vào yêu cầu của đề ra để chọn được ẩn, giáo viên cần nhấn mạnh là chỉ chọn một ẩn Sau đó tiến hành biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết rồi thiết lập phương trình của bài toán Đến lúc đó, giáo viên sẽ khẳng định rằng tất cả những hoạt động tư duy đó thuộc bước thứ nhất: lập phương trình,

Một yêu cầu, một nhiệm vụ và cũng là điểm mới khác của đề tài là giúp học sinh

hệ thống, tư duy tốt để phân loại các dạng toán liên quan, từ đó học sinh dễ dàng nhận

ra đúng dạng toán của mỗi bài toán cụ thể Đây là nhiệm vụ quan trọng, bởi vì khi đó học sinh mới có thể xác định đúng các kiến thức, công thức, mối liên hệ thực tế liên quan đến dạng toán và giải toán tốt Ví dụ trong một bài toán, đề ra có đề cập đến thuật ngữ "ca nô", "tàu", "thuyền", "vận tốc dòng nước"… thì học sinh sẽ biết ngay bài toán thuộc dạng toán chuyển động trên sông, đương nhiên có sự can thiệp của vận tốc dòng nước, nên sẽ có ngay công thức liên hệ giữa quảng đường, vận tốc, thời gian; hoặc vận tốc phương tiện đó xuôi dòng bằng vận tốc thực cộng thêm vận tốc dòng nước, … và học sinh liên hệ ngay với thực tế là phương tiện xuôi dòng có vận tốc lớn hơn ngược dòng (đi xuôi dòng nhanh hơn đi ngược dòng)

Một nhiệm vụ được coi là điểm mới, điểm khó của đề tài là xây dựng được hệ thống câu hỏi tư duy logic của bài toán Giải bài toán bằng cách lập phương trình là dạng toán liên quan đến thực tế cuộc sống Các mối quan hệ, liên hệ của bài toán có tính tư duy trừu tượng rất cao, kiến thức thực tế sâu rộng Đối với người học lớn tuổi, kiến thức thực tế cuộc sống phong phú hơn thì việc giải quyết những bài toán dạng này

sẽ bớt phần khó khăn phức tạp Vậy, với đối tượng học sinh THCS thì giải quyết vấn

đề này như thế nào? Qua thực tế giảng dạy cho thấy, chúng ta cần phân tích kỹ các dữ kiện của bài toán, cố gắng đơn giản các mối quan hệ của các đại lượng liên quan thông qua các mối quan hệ tương tự, gần gũi, dễ hiểu hơn đến học sinh của mình, hy vọng các em được giảm bớt các trở ngại khi giải toán

1.3 Phạm vi nghiên cứu

Thời gian nghiên cứu từ năm học 2014 – 2015 đến nay

Đề tài nghiên cứu thực nghiệm và áp dụng vào dạy học chủ yếu ở khối lớp 8, 9 của trường THCS nơi tôi đang công tác về dạng toán Giải toán bằng cách lập phương trình và đề cập đến một số kinh nghiệm trong dạy học giải dạng toán này

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng

Trường THCS nơi tôi công tác là một ngôi trường đã có truyền thống hiếu học từ lâu, đội ngũ nhà giáo có trình độ chuyên môn vững chắc, tâm huyết, có nhiều kinh nghiệm trong phương pháp giảng dạy cũng như áp dụng tích cực đổi mới phương pháp dạy học Song, chất lượng qua kiểm tra, khảo sát chưa như mong muốn Các nguyên nhân cơ bản có thể là: học sinh phần lớn chưa định rõ phương pháp giải toán phù hợp, chưa có định hướng phương pháp, nắm phương pháp giải còn sơ sài, phân loại các dạng thiếu rõ ràng, quá trình phân tích bài toán, tìm các mối quan hệ, các yếu tố liên hệ chưa hợp lí, kĩ năng giải phương trình, giải toán thực tế còn hạn chế … nên các em cảm thấy ngại, thấy “sợ” khi phải đối diện với dạng toán này, học sinh không chủ động, mạnh dạn nghiên cứu, một bộ phận học sinh chưa say sưa trong học tập, mặt khác đây là dạng toán đòi hỏi phải có tính tư duy khá cao mà thời lượng chương trình không nhiều nên kĩ năng vận dụng, thực hành dạng toán này của học sinh không như ý muốn

Qua quá trình dạy học môn Toán THCS nhiều năm tôi nhận thấy, việc tiếp cận phương pháp “giải toán bằng cách lập phương trình” của học sinh là khá khó khăn, các

em cảm thấy ái ngại khi tiếp cận dạng toán này Khó khăn lớn nhất các em thường gặp phải là biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng hoặc các kiến thức, công thức cơ bản liên quan đến thực tế Một sai lầm thường gặp là nhận nhầm dạng toán Những lí do

đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng môn toán nói chung và dạng toán này nói riêng, gây ra sự chán nản trong học tập của học sinh Cụ thể, qua điều tra, khảo sát ở khối 8, 9 năm học 2014 - 2015, cho thấy:

a Tình hình làm bài tập ở nhà:

Tự giải: 33,3% Trao đổi và giải: 19,3% Chép bài: 47,4%

b Học sinh hứng thú dạng toán này

Hứng thú: 28,1% Bình thường: 35,1% Không hứng thú: 36,8%

c Kết quả khảo sát chất lượng cuối HKII, như sau:

TT Lớp sốSĩ Chọn được ẩn số Lập được PTKết quả Giải hoàn chỉnh

2.2 Các giải pháp

2.2.1 Định hướng học sinh tư duy các kiến thức, kỹ năng bổ trợ

Học sinh có tư duy tốt các kiến thức, kỹ năng bổ trợ góp phần nâng cao hiệu quả giải toán Do đó, trước khi học về phương trình, giải phương trình giáo viên cần định hướng để học sinh tư duy tốt các kiến thức, kỹ năng cơ bản về toán học như:

Các quy tắc tính toán với biểu thức đại số (phép cộng, trừ, nhân, chia )

Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Kỹ năng biến đổi biểu thức, giải phương trình …

Định hướng thêm để học sinh tư duy về một số mối quan hệ thực tế, …

2.2.2 Xây dựng tư duy phương pháp giải chung

Trước hết phải cho các em nắm vững phương pháp “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, gồm các sau:

Bước 1: Lập phương trình gồm các công việc:

Chọn một ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (nếu có).

Thông qua ẩn số đó và các số liệu, giả thiết đã biết để biểu thị cho các đại lượng chưa biết; tìm ra và biểu diễn mối quan hệ tương đương để hình thành phương trình cho bài toán

Bước 2: Giải phương trình Tùy theo từng dạng phương trình để chọn cách giải thích thích hợp và ngắn gọn, hợp lí nhất

Bước 3: Kết luận Phải chú ý đối chiếu với điều kiện của bài toán đã đặt ra ở bước 1 để chọn đúng kết quả và kết luận

Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất Có thể chọn ẩn trực tiếp hoặc chọn

ẩn gián tiếp Xác định đơn vị tính và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn Cũng phải hết sức lưu ý trong việc thống nhất đơn vị trong suốt quá trình giải toán Phương pháp giải được phân tích càng chi tiết, càng được làm sáng tỏ qua các bài toán cụ thể thì càng được khắc sâu trong hệ thống tư duy của học sinh, học sinh sẽ được tư duy về phương pháp tốt hơn trong các bài giải tiếp theo

2.2.3 Phân loại dạng toán và phân tích bài toán

a) Phân loại dạng toán:

Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân

ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài như:

Bài toán về chuyển động

1 Bài tập năng suất lao động

2 Bài toán về công việc làm chung và làm riêng

3 Bài toán liên quan đến số học và hình học

4 Bài toán có nội dung vật lý - hóa học

b) Phân tích bài toán:

Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó nắm được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng

Cần hướng dẫn, định hướng tốt để các em có tư duy tóm tắt đề bài Học sinh phải ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập được phương trình của bài toán Đến đây coi như đã giải quyết được phần lớn nội dung bài toán

Nhưng để có được phương trình của bài toán, các em cần phải trải qua nhiều bước trung gian khó khăn khác, như không biết chọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao, đại lượng nào đã biết, chưa biết, mối quan hệ giữa chúng ? Công việc chọn ẩn có thể khắc sâu cho học sinh là ở những bài tập đơn giản, thông thường bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó là ẩn (chọn ẩn trực tiếp) Song cũng cần phải biết nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta

giải dễ dàng hơn Còn điều kiện của ẩn thì cần dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của từng bài toán cụ thể mà đặt điều kiện cho thích hợp

Muốn lập được phương trình bài toán không bị sai có một yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu như thế nào ? sau đó ra sao ?

Chẳng hạn khi giải bài toán: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày Do đó, phân xưởng không chỉ hoàn thành trước

kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo? (Toán 8)

Phân tích:

Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (đã biết), Tổng số áo

may và số ngày may (chưa biết) Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện, chúng ta có

mối quan hệ:

Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số áo may.

Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết Ở đây, giả sử ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch (yêu cầu của bài toán), đây là phương án chọn ẩn trực tiếp Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán (Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng)

Số áo may trong 1 ngày số ngày may Tổng số áo may

Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được biểu thị bởi phương trình: 120(x - 9) = 90x + 60

Ta xét tiếp bài toán: “Lượng dầu trong thùng thứ nhất gấp đôi lượng dầu trong thùng thứ hai Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số dầu trong hai thùng như nhau Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu ?”

Tóm tắt:

Lúc đầu: Số dầu thùng I bằng 2 lần số dầu thùng II

Bớt thùng I: 75lít

Thêm vào thùng II: 35 lít

Lúc sau: Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II

Tìm lúc đầu: Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít)

Tiếp theo giáo viên định hướng để học sinh tư duy trả lời các câu hỏi sau:

+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là 2 thùng dầu)

+ Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào ? (Số dầu T1 = 2T2)

+ Hai đối tượng này thay đổi thế nào?

(Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm 35lít)

+ Quan hệ hai đối tượng này lúc sau ra sao ? (Số dầu T1 = số dầu T2)

+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết

Ở đây cần phải ghi rõ cho học sinh thấy được là bài toán yêu cầu tìm số dầu mỗi thùng lúc đầu, có nghĩa là hai đối tượng chưa biết phải đi tìm, nên ta có thể chọn số lít dầu thùng thứ nhất hoặc số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu là ẩn Có thể xây dựng phương

án giải như sau:

Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu là x (lit)

Điều kiện của ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải là số dương).

Biểu thị đại lượng khác qua ẩn ? Số dầu thùng thứ I lúc đầu là 2x (lít)

Chú ý: Thêm (+), bớt (-).

Số dầu thùng I khi bớt 75 lít ? (2x – 75)

Số lit dầu thùng II khi thêm 35 lit ? (x + 35)

Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng sau khi thay đổi (số lit dầu 2 thùng bằng nhau) ta lập phương trình:

x + 35 = 2x –75 (1) Khi đã lập được phương trình rồi, công việc giải phương trình không phải là khó, song cũng cần phải hướng dẫn cho các em thực hiện các phép biến đổi, giải theo các bước đã được học

Sau khi giải xong, tìm được giá trị của ẩn, một điều cần thiết là phải đối chiếu với điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên để trả lời bài toán

Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem còn có thể giải theo cách nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta có thể chọn số dầu thùng 1 lúc đầu là ẩn

Bằng cách lập luận tương tự như các bước trên đây, các em sẽ lập được phương trình bài toán:

x - 75 =

2

1

x + 35 (2) Giải xong cách thứ hai, cho các em nhận xét, so sánh với cách giải thứ nhất thì giải phương trình nào dễ hơn

Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình (2) bởi vì khi giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế của phương trình rồi khử mẫu, điều này cũng gây lúng túng cho các em

Từ đó cần chốt lại cho học sinh là ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu là ẩn, vì nếu chọn số dầu thùng I lúc đầu là ẩn thì lập phương trình có dạng phân số, ta giải khó khăn hơn

Tóm lại: Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này gấp

mấy lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là ẩn để bớt khó khăn khi giải phương trình

Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con… thì điều kiện của ẩn: “nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm mà nội dung thực tế bài toán cho

Ở chương trình Toán lớp 8, 9 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn giản như: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường, hoặc chuyển động trên dòng nước

Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lượng

Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức S= v.t Từ đó suy ra:

t

S

v ;

v

S

t Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy

Thì: vxuôi = vriêng + vdòng nước , vngược = vRiêng - v dòng nước

Ta xét Ví dụ 1: Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô

đi hết 2giờ 30’ phút Tính quãng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h

Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ra vẽ sơ đồ minh họa thì học sinh dễ hình dung bài toán hơn

Tóm tắt:

t2 = 2g 30 phút

v2 lớn hơn v1 là 20km/h (v2 – v1 = 20)

Tính quãng đường AB ?

Các đối tượng tham gia: (ô tô- xe máy)

Các đại lượng liên quan: quãng đường, vận tốc, thời gian

Các số liệu đã biết:

+ Thời gian xe máy đi: 3 giờ 30’

+ Thời gian ô tô đi: 2 giờ 30’

+ Hiệu hai vận tốc: 20 km/h

Số liệu chưa biết:

vxe máy? vôtô? SAB ?

Cần lưu ý: Hai chuyển động này trên cùng một quãng đường không đổi Quan hệ

giữa các đại lượng s, v, t được biểu diễn bởi công thức: S = v.t Quan hệ giữa v và t là hai đại lượng tỷ lệ nghịch

Như vậy ở bài toán này có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn

AB, nên có thể chọn x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0

Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết

Vận tốc xe máy: 3,5

x

(km/h) Vận tốc ôtô: 2,5x (km/h)

Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(v2 – v1 = 20)

20

2,5 3,5

x x

Giải phương trình trên ta được x = 175 Giá trị này của x phù hợp với điều kiện trên Vậy ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km

Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là ẩn

Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h), x > 0

Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)

Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đường

xe máy đi hoặc của ôtô đi)

Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)

Giải phương trình trên ta được: x = 50

Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán: Vận tốc xe máy là 50 km/h Ta hướng dẫn HS nên đối chiếu điều kiện và trả lời

Ví dụ 2: Hai ôtô vận tải khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B

cách nhau 120km Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ, nên đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe

Tóm tắt bài toán như sau:

+ AB = 120km

+ v1 lớn hơn v2 là 10km/h (v1 – v2 = 10)

+ t1 < t2 là 1g (t1 = t2 + 1)

Tính: v1 ? v2 ?

Các đối tượng tham gia ? (2 ô tô)

Các đại lượng liên quan ? quãng đường, vận tốc, thời gian

Các số liệu đã biết ?

+ Quảng đường AB: 120km

+ Thời gian ô tô thứ nhất ít hơn ô tô thứ hai 1 giờ

+ Hiệu hai vận tốc: 10 km/h

Số liệu chưa biết ? Vận tốc mỗi xe

Do đó: Ta gọi vận tốc của xe thứ nhất là: x km/h vàvận tốc của xe thứ hai

là (x - 10) km/h Điều kiện x > 10 Khi đã có ẩn, ta tiến hành biểu diến các đại lượng chưa biết qua các ẩn và qua các đại lượng được biểu diễn trước đó

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B: 120

x (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B: 120

-10

x (giờ),

Vì giữa hai đại lượng này có mối quan hệ phương trình (t1 = t2 + 1) nên ta thiết lập phương trình: 120

x + 1 =

120 -10

x ta đưa được về phương trình bậc hai một ẩn cuối

cùng là: x2 – 10x – 1200 = 0

Giải phương trình ta tìm được hai nghiệm là: x1 = 40, x2 = - 30

Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm x2 = - 30

Từ đó, yêu cầu HS kết luận cho bài toán: Vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h); vận tốc của xe thứ hai là 30(km/h)

Ta cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu gì để căn cứ chọn ẩn, mối quan hệ giữa các đại lượng S, v, t Nếu biết hai trong ba đại lượng kia thì suy ra được đại lượng còn lại

Trong bước chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện của ẩn, yêu cầu của đề bài Chẳng hạn như Ví dụ 1, ẩn chọn là vận tốc của xe máy, sau khi tìm được x = 50, thì không thể trả lời vận tốc xe máy là 50 km/h,

mà phải trả lời về chiều dài đoạn đường AB như đề bài đòi hỏi (chọn ẩn gián tiếp)

Tóm lại: Khi giảng dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa biết, nên ở bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết làm ẩn

Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn Nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả

Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải tìm

là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn

Cần chú ý một điều là nếu gọi vận tốc ôtô là x (km/h) thì điều kiện x > 0 chưa đủ

mà phải x > 20 (hoặc x > 10 với Ví dụ 2) vì dựa vào thực tế bài toán là vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 (km/h) hay xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ

Đối với bài toán “làm chung - làm riêng một công việc” giáo viên cần cung cấp cho học sinh một số kiến thức liên quan như:

Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1

Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian

A: Khối lượng công việc

Ta có công thức A = nt ; Trong đó n: Năng suất làm việc

t: Thời gian làm việc Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm

Phải biết bài toán đã cho năng suất làm việc như thế nào, thời gian hoàn thành, khối lượng công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể

Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán Xét bài toán sau: (Bài toán ở Sgk Đại số 8)

Hai vòi nước cùng chảy

5

4

4 giờ đầy bể Một giờ vòi thứ nhất chảy bằng

2

1

1 lượng nước vòi 2 Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ?

Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau:

+ Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể

+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)

+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy)

+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian của mỗi vòi

+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để xong công việc của mỗi vòi)

Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể

Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể

Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h)

Điều kiện của x ( x > 44

5 giờ =

24

5 giờ)

Bài toán cho mối quan hệ năng suất của hai vòi chảy

Nên tìm:

+ Năng suất của vòi 1 chảy là ? 1

x (bể)

+ Năng suất vòi 2 chảy là ? 3

2x (bể)

+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ: 1:24= 5

5 24 (bể)

Ta có phương trình: 1

x +

3

2x =

5

Đây là dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng các bước để giải phương trình trên, ta được x = 12 Vậy thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ

Nhưng làm sao để tính được thời gian chảy một mình của một vòi thì ta tìm năng suất của vòi 1 là: 3

2.12 = 8

1

(bể)

Từ đó ta tìm được thời gian là 8 giờ

Xét bài toán: Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công trình Nếu làm riêng thì đội I phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ xong công trình

Phân tích:

+ Khối lượng công việc: 1 công trình

+ Đại lượng liên quan: Năng suất làm chung, năng suất làm riêng

+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để xong công trình của mỗi đội) + Thời gian làm chung xong công trình ? (6 ngày)

+ Năng suất làm chung ? (Mỗi ngày

6

1

công trình)

Bài toán yêu cầu tìm thời gian là riêng của mỗi đội

Mối quan hệ về năng suất: Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm

Ta có thể chọn ẩn là thời gian làm một mình xong công trình của đội I (hoặc đội II)

Giả sử nếu gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hoàn thành công trình Như vậy đội II làm riêng phải mất x - 5 ngày Điều kiện x > 5 Mỗi ngày đội I làm được1

x công trình, đội II làm được

1 5

x - công trình và cả hai đội làm chung được

6

1

công trình Ta có phương trình: 1

x +

1 5

x - = 6

1

Giải phương trình trên: 6(x - 5) + 6x = x(x - 5)  x2 - 17x + 30 = 0

Phương trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2

Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15

Chú ý: Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày ) để làm xong một công việc thì

trong một đơn vị thời gian ấy sẽ làm được

n

1

công việc

Ở chương trình đại số lớp 8, 9 các còn được tiếp cận với giải toán liên quan đến

số học và hình học, Ví dụ như tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em Để giúp học sinh không quá lúng túng khi giải loại bài này, trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan:

+ Cách viết số trong hệ thập phân

+ Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm điều kiện của các chữ số

Xét bài toán: “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị Tìm số đã cho

Với bài toán này, học sinh cần phải nắm được:

Số cần tìm có mấy chữ số ? (2 chữ số)

Quan hệ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thế nào? (Tổng hai chữ số: 16)