(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình toán THCS

Bộ môn toán trong trờng trung học cơ sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính t duy nhạy bén củahọc sinh, nó đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới mọi góc độ phải li

MỤC LỤC

Trang

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……….…

1 Lời nói đầu ……… ………….………

2 Lý do chọn đề tài……… ……… ……

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU……… ……

1 Đối tượng nghiên cứu……… ……… ……

2 Phạm vi nghiên cứu……… …….…… ……

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU……….…….………

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU……… …………

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU……… …… ….……

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu……….….……

2 Phương pháp điều tra khảo sát……….….………

3 Phương pháp thử nghiệm……….……… ……

4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm……….……… ……

VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC……… ………

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN……….………

1 Cơ sở lý luận……… ….… …

2 Cơ sở thực tiễn……… …………

II MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI III KHẢO SÁT BAN ĐẦU……….………

IV THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN……….…… …………

1 Thực trạng……….………

2 Nguyên nhân……….………

V GIẢI PHÁP CHỦ YẾU……….….….………

VI MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO……….…… …………

VII HIỆU QUẢ MANG LẠI CỦA SÁNG KIẾN………….……….………

C KẾT LUẬN I NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM……….……….…………

II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT……….…… … …………

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 7 7 7 7 8 18 19

20 20 22

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Lời núi đầu:

Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triểncủa khoa học nói riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một tduy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trongcuộc sống hàng ngày Muốn có những tri thức đó con ngời cầnphải học, nhà trờng là một trong những nơi cung cấp nhữnghành trang đó Bộ môn toán trong trờng trung học cơ sở, nhất là

bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính t duy nhạy bén củahọc sinh, nó đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới mọi góc

độ phải liên hệ giữa bài toán đã giải, những kiến thức đã biết

để giải quyết Vì vậy ngời thầy phải cho học sinh nắm đợc cácdạng toán cơ bản và các hớng mở rộng của bài toán đó Từ đó đểhọc sinh phát triển t duy và hình thành kĩ năng giải toán Muốn

đạt đợc điều đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính t duy của ngờihọc nhng phơng pháp của ngời thầy cũng rất quan trọng, làm chohọc sinh học một nhng có thể làm đợc hai ba Từ bài toán đơngiản mở rộng lên bài khó

Vỡ vậy việc nghiờn cứu tỡm tũi “Phương phỏp giải một số dạng toỏn tỡm

giỏ trị lớn nhất(GTLN), giỏ trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trỡnh Toỏn THCS” là rất thiết thực, giỳp giỏo viờn nắm vững nội dung và xỏc định được

phương phỏp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, gúp phần nõng cao chất lượng dạy

và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giỏo viờn giỏi ở cỏc trường THCS

2 Lý do chọn đề tài:

Từ những cơ sở và nhận thức trờn và cũng để đỏp ứng nhu cầu tỡm hiểu, họctập của giỏo viờn và nhiều học sinh trong quỏ trỡnh bồi dưỡng học sinh giỏi.Phương phỏp giải những dạng toỏn khú đó được xõy dựng Một trong những dạngtoỏn đú là: phương phỏp tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất trong toỏn Trung học

cơ sở Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoànchỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông Chuyên đề này

sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấttrong đó những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các bình phương, phươngpháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 …

Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứutài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm

với đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất trong chương trình Toán THCS”.

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

- Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài này cũng có nhiều tài liệu đã đề cập đến nhưng theo tôi chưa phù hợpvới sự phát triển của nhận thức học sinh Nên khi viết sáng kiến này tôi cố gắng hệthống xây dựng theo các dạng bài tập có bài tập tổng quát, phát triển các bài tập tử

dễ đến phức tạp hơn, đặc biệt trong đề tài tôi có đưa ra một số sai lầm của học sinhthường mắc phải và cách khắc phục Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy,phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic Tạo cho họcsinh hứng thú học hơn

Nghiên cứu về “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THCS” Giúp giáo viên nâng cao năng lực

tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu

và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả

Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khĩ khăn khi dạy họcphần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi,

từ đĩ định hướng nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn

Nghiên cứu vấn đề này cịn giúp giáo viên cĩ tư liệu tham khảo và dạy thànhcơng về tìm GTLN, GTNN của biểu thức

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường

2 Hệ thống hĩa kiến thức và phương pháp giải tốn tìm GTLN, GTNN

3 Đưa ra được những kĩ năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN

4 Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học tốn

5 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài

6 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Trong nhiều năm qua với mục đích đã xác định tơi tìm tịi các tài liệu cĩ liênquan đến tìm GTLN, GTNN ghi chép phân dạng các loại tốn

2 Phương pháp điều tra, khảo sát

Ban đầu tơi điều tra khảo sát hai vấn đề Thứ nhất là đối với học sinh khi tiếpcận dạng tốn tìm GTLN, GTNN các em cĩ hứng thú khơng, khi giải gặp khĩ khănnhư thế nào? Cĩ nhiều học sinh biết giải khơng? Thứ hai là đối với giáo viên khigiảng dạy vấn đề này như thế nào? gặp khĩ khăn ở chổ nào? Khi dạy sử dụng tàiliệu nào?

3 Phương pháp thử nghiệm

Trước khi thực hiện đề tài tơi chọn một số học sinh lớp 8 khá, giỏi làm bàikiểm tra với một số bài tập về tìm GTLN, GTNN

4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Sau thử nghiệm tơi phân tích, đánh giá nguyên nhân tồn tại từ đĩ tìm ra giảipháp khác phục tồn tại đĩ Qua đĩ tổng kết và đúc rút những kinh nghiệm để thựchiện đề tài

VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sángkiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thíchhọc dạng toán này hơn

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

-Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực

về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán

-Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng nhưcủa học sinh

-Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS.-Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dungkhông những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn

2 Cơ sở thực tiễn:

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là loại toán mà học sinh THCS coi là loạitoán khó, nhiều học sinh không biết giải như thế nào? có những phương pháp giảinào?

- Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung vàphương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu.Trong đó có dạng tìm GTLN, GTNN

- Học sinh muốn tìm tìm tòi nghiên cứu nhưng việc tìm tài liệu còn gặp khókhăn

-Về giáo viên chưa có một tài liệu đầy đủ nên trong quá trình nghiên cứu,giảng dạy phải tổng hợp ở nhiều tài liệu khác nhau, do đó làm mất nhiều thời gian

- Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựngchuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn

- Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành

II MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN):

 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x)trên D Kí hiệu M = max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

+ Với mọi x thuộc D thì f(x) M, M là hằng số

+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M

 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x)trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

+ Với mọi x thuộc D thì f(x) m, m là hằng số

+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m

2 Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y…), xác định trên miền D như sau:

 Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nĩi M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :

- Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …)  M (1)

- Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = M (M là hằng số) (2)

 Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nĩi m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x

; y …) ký hiệu Min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :

- Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …)  m (1)’

- Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = m (m là hằng số) (2)’

 Chú ý rằng : Nếu chỉ cĩ điều kiện (1) hay (1)’ thì chưa thể nĩi gì về cực trị của một biểu thức.

A = 2  x – 2 = 0  x = 2 Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2

3 Định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối của một số

ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất cĩ nhiều ứng dụng như: giải bất phươngtrình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích Nếu số nhân tử âm mà chẳn thìtích dương, ngược lại tích sẽ âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giátrị của biến

5 Các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức đã học, các quy tắc so sánh phân số…

a.b do đó max(a.b) = khi và chỉ khi a = b

b)Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau:

Chứng minh: Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ

nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất Mà (a + b)2  4ab  Min (a + b)2 = 4h, (khi

và chỉ khi a = b)  Min (a + b) = , (khi và chỉ khi a = b)

III KHẢO SÁT BAN ĐẦU:

Đơn vị Lớp khối 8;9 Hứng thú với dạng

toán

Biết cách tiếpcận dạng toán

- Chất lượng bài làm của học sinh rất thấp

- Tiềm năng của học sinh về môn toán chưa được khai thác hết

- Chất lượng học sinh giỏi các cấp của trường trong những năm gần đây cótăng về số lượng và chất lượng nhưng chưa tương xứng với tiềm năng thực tế

2 Nguyên nhân:

- Học sinh chưa nắm vững được kiến thức và kĩ năng giải bài tập tìmGTLN,GTNN nên khi tiến hành các bước giải thường mắc phải những sai lầm vàkhông có tính sáng tạo trong cách giải.

- Đây là dạng toán khó, chủ yếu là dạng toán nâng cao dành cho học sinh khá

và giỏi

- Trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập rất ít có dạng toán này Vì vậytrên lớp ít có cơ hội tiếp cận dạng toán này, thường nó chỉ phổ biến cho một số emđội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chọn

- Chưa có một hệ thống hoàn chỉnh các đề tài về phương pháp giải các dạng

toán khó phục vụ cho việc dạy và học đăc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi

- Học sinh không có tài liệu để tự học, tự nghiên cứu về phương pháp tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

V GIẢI PHÁP CHỦ YẾU:

Thực tế trong quá trình giải toán nói chung và dạng toán này nói riêng thìkhông có một con đường nào thực sự cụ thể mà việc giải toán đặc biệt là toán khóthì đòi hỏi người dạy, người học phải tìm tòi sáng tạo cho mình một phương pháptiếp cận bài toán dựa trên cơ sở đã học Từ đó chúng ta sẽ tìm ra những quy luậtnhững cách giải cho một dạng toán Vì vậy trong đề tài này tôi xin đưa ra mộtphương pháp tìm GTLN, GTNN

1 Dạng 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức đại số ( nổi bật trong dạng

Để giải dạng toán này ta hướng dẫn học sinh đưa biểu thức đã cho về dạng:f(x)=k(X)2 + C trong đó C là hằng số từ đó ta sẽ tìm được GTLN hoặc GTNN

Đây là dạng toán đơn giản nhất trong loại toán này(dạng có đề cập trong sách bài tập), nhưng để giải được nó học sinh thường sử dụng phương pháp thêm bớt

hạng tử hoặc thêm bớt hạng tử để đưa về dạng (a + b)2 + c (c là hằng số) Nhưngđối với học sinh trung bình thì thực sự gặp rất nhiều khó khăn, còn đối với những

đa thức có hệ số không nguyên hoặc hệ số lớn thì nhiều em học sinh khá cũng cảmthất khó khăn Nên tôi đưa ra giải pháp là cung cấp cho các em bài toán tổng quát,

từ đó các em sẽ giải quyết dạng toán này một cách đơn giản kể cả học sinh trungbình

1.1 Bài toán tổng quát:

Cho tam thức: P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c là hằng số, a )

Nên minA = - 1 khi x – 3 = 0 hay x = 3

Vậy minA = -1 khi x = 3

Bài toán 2: Tìm GTLN của B = - 3x2 + 2x + 5

Giải:

Ta có:B = - 3x2 + 2x + 5 = - 3 (x2 - x + ) + + 5 = - 3(x - )2 +

Nên maxB = khi x - = 0 hay x =

Vậy maxB = khi x =

Với dạng toán này ta có thể hướng dẫn học sinh phân tích để xuất hiện hằng đẳng thức cũng được nhưng đối với đối tượng học sinh trung bình ta có thể vận dụng bài toán tổng quát thì học sinh sẽ thực hiện được dễ dàng hơn từ đó các em

có thể tự tin hơn bản thân từ đó các em sẽ có hứng thú hơn về dạng toán này.

Khi các em đã làm quen dạng 1 ta tiếp tục giới thiệu các em dạng tiếp theo nhưng thực chất các em có thể tiến hành giống dạng 1.

2 Dạng 2: Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN có dạng phân thức:

2.1 Phân thức có tử là hằng số còn mẩu là một tam thức bậc hai:

Đối với dạng toán này ta cần chú ý đến biểu thức ở mẩu mà biểu thức ở dướimẩu chính là biểu thức học sinh được tiếp cận ở dạng 1

Bài toán 1: Tìm GTNN của

Lập luận trên có thể dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức

Mẩu thức x 2 – 3 có GTNN là -3 khi x = 0 nhưng với x = 0 thì

không phải giá trị lớn nhất của phân thức ( chẳng hạn x = 2 thì ,

2.2 Phân thức có tử và mẩu đều chứa biến:

Bài toán 1: Tìm GTLN của biểu thức

3 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài toán dạng này cần cung cấp cho học sinh một số kiến thức sau:

1) 0 với mọi giá trị của a2) + (dấu bằng xảy ra khi ab > 0.)3) - ( dấu bằng xảy ra khi a b 0 hoặc a

b 0 )

4)

3.1 Dạng: f(x) = M -

Cách giải:

Vì 0 nên f(x) M Do đó maxf = M Khi A(x) = 0

Bài toán: Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 100 - có giá trị lớn nhất.Tìm GTLN đó

Do đó maxA = 100 khi x + 5 = 0 hay x = - 5

Vậy maxA = 100 khi x= -5

3.2 Dạng f(x) = + m

Cách giải:

Vì nên f(x) m Do đó minf = m Khi A(x) = 0

Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự

Bài toán : Tìm GTNN của biểu thức B = 2 - 4

Giải:

Với mọi x, ta có 0 Suy ra 2 0 nên 2 4

-4 Do đó min B = - 4 khi 3x – 6 = 0 x = 2

Vậy minB = - 4 khi x = 2

3.3 Dạng f(x) = +

Cách giải:

Áp dụng tính chất 2 ta có + = +

= Suy ra minf = khi (mx – a) (b – mx) 0 Bài toán 1 : Với giá trị nào của x, y thì biểu thức C = + - 1 có giá trị nhỏ nhất Tìm GTNN đó Giải: Với mọi x, y ta có 0, 0

Nên + - 1 - 1 Do đó min C = - 1 khi x = 100, y = - 20 Vậy minC = - 1 khi x = 100, y = -2 Bài toán 2: Tìm x Z để biểu thức D = + đạt GTNN Giải: Ta có D = + = + = 6

Dấu “=” xảy ra khi (x-2) (8-x) 0 Lập bảng xét dấu: x 2 8

x - 2 - 0 + +

8 - x + + 0

(x2)(8x) 0 + 0

-Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) 0 2 x 8

Vậy minD = 6 khi 2 x 8