(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nào

Từ đórút ra đợc nhiều phơng pháp dạy học hay, những tiết lên lớp cóhiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phầnnâng cao chất lợng giáo dục toàn diện.Trong chơng trình t

A Phần mở đầu

Mụn Toỏn là mụn học cú tớnh thực tế rất cao, nú ảnh hưởng lớn đến đời sốngcon người Cỏc cụng trỡnh nghiờn cứu khoa học đều cho rằng: Tất cả cỏc mụn khoahọc khỏc đều cú liờn quan mật thiết với Toỏn học Sự phỏt triển mạnh mẽ của tất cảcỏc ngành khoa học cơ bản cũng như cỏc ứng dụng của nú vào cỏc ngành cụngnghiệp then chốt đều khụng thể thiếu Toỏn học Đổi mới phơng pháp dạyhọc là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự phát triển của giáodục Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng nổ thông tin,giáo dục đã và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển củakhoa học kỹ thuật, sự phát triển của xã hội Nội dung tri thức khoahọc cùng với sự đồ sộ về lợng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổimới phơng pháp dạy học Trong giai đoạn hiện nay giáo dục khôngchỉ tạo ra những con ngời có tài, có đức mà giáo dục còn có mộtthiên chức cao quý hơn đó là giáo dục cái thẩm mỹ, nhân văn,

đào tạo ra những con ngời có kỹ năng sống và học tập trong thời

đại mới Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổimới phơng pháp dạy học một cách phù hợp Nhằm giúp cho giáoviên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phơng phápdạy học, đã có nhiều giáo s tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâmnghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phơngpháp dạy học

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổimới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tậpcủa học sinh, dới sự tổ chức hớng dẫn của giáo viên Học sinh tựgiác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhậnthức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đãhọc vào bài tập và thực tiễn Trong đó có đổi mới dạy học môntoán, Trong trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học

Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếucủa hoạt động toán học Quá trình giải toán đặc biệt là giải toánhình học là quá trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơngpháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việcgiải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiếnthức rèn luyện đợc những kĩ năng cơ bản trong môn toán Từ đórút ra đợc nhiều phơng pháp dạy học hay, những tiết lên lớp cóhiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phầnnâng cao chất lợng giáo dục toàn diện.

Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS có nhiềumảng kiến thức trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhngtrong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những học sinh nắmrất vững kiến thức sách giáo khoa nhng khi gặp những dạng toánnày vẫn còn lúng túng Vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn

đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những ngời

thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là “Phơng pháp chứng

minh quy nạp và vận dụng phơng pháp này để giải các dạng toán khác nh thế nào” Thật vậy trong chơng trình toán

phổ thông phơng pháp chứng minh quy nạp là một trong những

mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lại khá rộng rãi, nó khôngnhững có mặt trong phân môn số học mà còn đóng góp một vaitrò quan trọng trong phân môn đại số, nó không chỉ dừng lại ởchơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chơng

trình THPT Vì vậy phơng pháp chứng minh quy nạp là phần

gây cho học sinh, ngay cả học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối,tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ học sinh say mê môn toán

và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy lôgic, tìm tòi sáng tạo Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu vàqua thực tế bồi dỡng học sinh giỏi môn toán ở trờng THCS, tôi đãrút ra đợc một vài kinh nghiệm Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài:

“Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số

dạng toán” nhằm tìm ra những biện pháp hay giúp cho công tác

dạy học nói chung và công tác bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng đạtkết quả cao

B Phần Nội dung

I Cở sở lý luận:

Trong hoạt động dạy học theo phơng pháp đổi mới, giáoviên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thóiquen chủ động Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cáchhọc, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biếtcách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới Các phơng pháp thờng

là những quy tắc, quy trình nói chung là các phơng pháp cótính chất thuật toán Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phơngpháp có tính chất tìm đoán Học sinh cần đợc rèn luyện các thaotác t duy nh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, t-

ơng tự, quy lạ về quen Việc nắm vững các phơng pháp nói trên

tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu đợc tài liệu, tự làm

đợc bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồngthời phát huy đợc tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó họcsinh thấy đợc niềm vui trong học tập

Trong quá trình dạy học, ngời giáo viên phải bám sát chơngtrình và sách giáo khoa, xem đây nh là định hớng cho cả quátrình dạy học Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinhkhông chỉ dừng lại ở sách giáo khoa mà ngời giáo viên còn phải cóphơng pháp để từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm

ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động

đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán trong đó cócác bài tập về chứng minh quy nạp cũng là một trong những bàitoán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy, trí tuệ chohọc sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toán học

II Cở sở thực tiễn:

Trong chơng trình toán phổ thông, áp dụng phơng phápchứng minh quy nạp chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chiahết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do

vậy “phơng pháp chứng minh quy nạp” góp một phần vào

việc thực hiện chơng trình dạy học theo phơng pháp mới hiệnnay “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng thời giúp mỗi ngời giáoviên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo cơ sở vữngchắc để phục vụ cho công tác bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết quảtốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo và bồi dỡng nhân tài”

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 26học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về phơng pháp chứng minhquy nạp nh sau:

Điểm dới

Điểm 9 10

đặc biệt đối với học sinh trung bình các em càng khó giảiquyết

Để giúp học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh quy nạp,tôi đã nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bịcho học sinh nắm đợc thế nào là phơng pháp chứng minh quynạp, vận dụng phơng pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chiahết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Đồngthời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắmchắc kiến thức, biết áp dụng vào giải toán Từ đó yêu cầu họcsinh giải các bài tập tơng ứng từ dễ đến khó, học sinh đợc rènluyện và nắm chắc kiến thức, phơng pháp giải, áp dụng thànhthạo và chất lợng giải toán đợc nâng cao

III Mục đích nghiên cứu:

a Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảngdạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiếnthức.

b Đối với học sinh:

- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập

về áp dụng phơng pháp chứng minh quy nạp nói riêng Trang bịcho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực họcmôn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo

và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan

- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sáchgiáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bàitập

- Thông qua việc giải các bài toán áp dụng quy nạp (để chứngminh chia hết, chứng minh đẳng thức, BĐT) giúp học sinh thấy

rõ mục đích của việc học toán

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảocủa học sinh và giáo viên

Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơnga

Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)

Xét ba khả năng có thể xảy ra:

a) Nếu a = 3k (k  N) thì A chia hết cho 3

b) Nếu a = 3k + 1 (k  N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó Achia hết cho 3

c) Nếu a = 3k +2 (k  N) thì a + 1 chia hết cho 3, do đó

A chia hết cho 3

Vậy a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơng a

Ví dụ 2 Quan sát kết quả sau: 23 - 2 chia hết cho 3

3, Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2n - 2 chiahết cho n với mọi số tự nhiên lẻ n

Ba phép suy luận trên đợc gọi là phép quy nạp, đó là phép suyluận đi từ các trờng hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát

 Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trờnghợp riêng, chẳng hạn trong phép suy luận 2 ta đã xét mọi khảnăng có thể xảy ra khi chia số tự nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k +

1, a = 3k + 2)

 Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số ờng hợp riêng chứ cha xét đầy đủ mọi trờng hợp riêng Chẳng hạntrong phép suy luận 1 ta mới xét a bằng 1, 2, 3, 4 để kết luậncho mọi số nguyên dơng a, trong phép suy luận 3 ta mới xét nbằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n

Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán

về một tính chất toán học nào đó, đó là một cơ sở để đi tớicác phát minh Phép quy nạp 1 cho một khẳng định đúng, kếtluận này đã đợc chứng minh bằng phép quy nạp 2 (quy nạp hoàntoàn) Phép quy nạp 3 cho một kết luận sai, ta bác bỏ nó bằngmột phản ví dụ

Nh vậy “phép quy nạp hoàn toàn” là một phép chứng minhchặt chẽ, còn “phép quy nạp không hoàn toàn” có thể dẫn tới sailầm, ngay cả đối với các nhà toán học có tên tuổi dới đây:

- Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2n + 1 cho

ta các số nguyên tố với n bằng 20, 21, 22, 23, 24 (thật vậy 21+ 1 = 3;

22 + 1 = 5; 24 + 1 = 17; 28 + 1 = 257; 216 + 1 = 65537; tất cả

đều là số nguyên tố )

Với n = 25 = 32 thì 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecmakhông phân tích đợc ra thừa số nguyên tố, ông cho rằng đócũng là một số nguyên tố và đa ra giả thuyết tổng quát rằngcông thức 2n + 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các số nguyêntố

- Một thế kỉ sau, năm 1732, Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằngcách chỉ ra rằng 232 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641

Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhng lại đúng với một số rấtlớn các trờng hợp đầu tiên:

- Nhà toán học Gravơ đa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p tacó: 2p-1 - 1 không chia hết cho p2 Dự đoán này đúng với mọi sốnguyên tố nhỏ hơn 1000, nhng chẳng bao lâu sau ngời ta chỉ rarằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 21093 - 1 chia hết cho 10932

- Một dự đoán khác: Số 911n2+ 1 không là số chính phơng vớimọi số nguyên dơng n Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là

2, Nội dung của phơng pháp quy nạp Toán học:

Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ đợc áp dụngrất hạn chế Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một

số vô hạn các trờng hợp riêng, nhng con ngời không thể kiểm tra

đợc tất cả các trờng hợp riêng đó

Phép quy nạp hoàn toàn, nh chúng ta đã biết thờng dẫn tớikết luận sai lầm Trong nhiều trờng hợp để tránh những khókhăn nh thế ngời ta áp dụng một phơng pháp suy luận “đặcbiệt”, đợc gọi là phơng pháp quy nạp Toán học

* Nội dung của phơng pháp quy nạp Toán học đợc trình bày nh sau:

Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n đợc xem là

đã đợc chứng minh nếu cả hai điều kiện sau đây đợc thỏa mãn:

1, Mệnh đề đúng với n = 1

2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k  N) suy ra đợcmệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Nh vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi sốnguyên dơng n bằng phơng pháp quy nạp Toán học, ta phải tiếnhành ba bớc sau:

Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (ta gọi là giả thiết

quy nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1

Bớc 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng n

Trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi chỉ đề cập đếnviệc vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải

ba dạng toán đó là: Chứng minh sự chia hết, chứng minh đẳngthức và chứng minh bất đẳng thức Hy vọng với một số kinhnghiệm nhỏ này sẽ góp phần vào phơng pháp dạy học, đặc biệt

là công tác bồi dỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện đợc kỹnăng giải toán và t duy giải toán có hiệu quả hơn

3, Vận dụng ph ơng pháp quy nạp toán học vào chứng minh : 3.1, Dạng 1 Chứng minh quan hệ chia hết:

Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên

d-ơng liên tiếp thì chia hết cho 9

Giải:

Gọi ba số nguyên dơng liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2

Ta phải chứng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3] 9(1)

+ Với n =1, ta có: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 9

Vậy (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k (k  N) tức là: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] 9

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là phảichứng minh:

[(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3] 9Thật vậy ta có:

(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 +9k2 +27k + 27

= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 +3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 9

còn 9(k3 + 3k + 3) 9 với k

Do đó [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3] 9

+ Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dơng n Vậytổng các lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp thì chia hếtcho 9

+ 82n + 1 19

Giải:

+ Với n = 1 thì A(1) = 73 + 83 = 343 + 512 = 19.45 A(1) 19

Vậy A(n) đúng với n = 1

+ Giả sử A(n) đúng với n = k Ta có: A(k) = 7k + 2 + 82k + 1 19

Ta phải chứng minh A(n) đúng với n = k + 1

A(k + 1) = 7k + 3 + 82k + 3 = 7.7k + 2 + 82.82k + 1

= 7.7k + 2 + 64.82k + 1 = 7.7k + 2 + 7.82k + 1 + 57.82k + 1 = 7.( 7k + 2 + 82k + 1) + 19.3.82k + 1 = 7 A(k) + 19.3.82k + 1

Vì A(k) 19 (Theo giả thiết quy nạp) 7 A(k) 19

19 19 19.3.82k + 1 19 A(k + 1) 19Theo nguyên lí quy nạp A(n) 19 Với n nguyên dơng

Vậy A(n) = 7k + 2 + 82k + 1 19 Với n nguyên dơng

+ Kết luận: Vậy A(n) đúng với mọi số nguyên dơng

Giải:

Đặt A(n) = 16n - 15n - 1

+ Với n = 1, ta có: A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 225 A(1) 225

+ Giả sử A(n) đúng với n = k Ta có: A(k) = 16k - 15k - 1 225

Ta phải chứng minh A(n) đúng với n = k + 1

Thật vậy: A(k + 1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1

Theo nguyªn lÝ quy n¹p th× A(n) 225 víi n  N

+ KÕt luËn: VËy 16n - 15 - 1 225 víi n  N

Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:

a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) (n + n) chia hÕt cho 2nb) 33n + 2 + 5.23n + 1 chia hÕt cho 19

ThËt vËy: Sk + 1 = (k + 2).(k + 3).(k + 4) (k + k + 2)

= (k + 1).(k + 2).(k + 3) (k + k).2.(2k + 1) = Sk.2.(2k + 1)

Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã Sk 2n

Theo giả thiết quy nạp có: Ak 19 27Ak 19

Lại có: 19 19 19.33k + 1 19 Do đó A(k + 1) = 27.Ak 19.33k + 1 19

-Vậy A(n) 19 đúng với n = k + 1

+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì A(n) 19

Thật vậy:

A(k + 1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 6k3 + 18k2 + 18k + 6 + 11k2 +22k + 11 + 6k + 1

Thật vậy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + 1 +11m + 11

= (m3 + 11m) + (3m2 +3m + 12) 6

Do đó k3 + 11k 6 4(k3 + 11k) 24

Vậy A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 +11k) 24

Vậy A(n) 24 đúng với n = k + 1

+ Kết luận: Với mọi số nguyên dơng n thì luôn có: n4 + 6n3 +11n2 + 6n 24

* Một số bài tập giải tơng tự:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a:

a) a2 - a chia hết cho 2 b) a3 - a chia hếtcho 3

c) a5 - a chia hết cho 5 d) a7 - a chia hếtcho 7

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:

a) 32n + 1 + 40n - 67 chia hết cho 64 b) 2n + 2.3n + 5n - 4chia hết cho 25

c) 7n + 2 + 82n + 2 chia hết cho 57 d) 10n + 72n - 1 chiahết cho 81

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì số gồm 3nchữ số 1 chia hết cho 3n?

HD: Mệnh đề đúng với n = 1 Vì số 111 3

Giả sử số chia hết cho 3, ta có số:

3

VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× gåm 3n ch÷ sè 1 chia hÕtcho 3n

Bµi 4: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi:

a) A = 13 + 23 + 33 + + 993 + 1003; B = 1 + 2 + 3+ + 99 + 100

b) A = 13 + 23 + 33 + + 993; B = 1 + 2 + 3 + + 99

Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu n lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn

th×

(n - 1).n.(n + 1) chia hÕt cho 504

Bµi 6: Chøng minh r»ng: NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a6

- b6 chia hÕt cho 9

Bµi 7: a) Chøng minh r»ng nÕu tæng hai sè nguyªn chia hÕt cho

3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 9

b) Chøng minh r»ng hiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎth× chia hÕt cho 8

Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d¬ng:

+ Với n = 1, vế trái của (1) bằng 13 = 1; vế phải của (1) bằng

+ Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dơng n

Bài 2 Chứng minh rằng mọi số nguyên dơng n thì:

Sn = 12 + 22 + 32 + + n2 = (1)

Giải:

+ Với n = 1, vế trái của (1) bằng 12 = 1

vế phải của (1) bằng = 1

Vậy VT = VP Vậy (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k (k  N & k  1), tức là:

Sk = 12 + 22 + 32 + + k2 =

Ta phải chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1, tức là: