(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải hệ phương trình

LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chuyên đề môn Toán: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng nhưrèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng toán hệ phương trình trong quá trình ônthi

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hệ phương trình là một nội dungquan trọng, thường có trong các đề thi THPT QG và trong các đề thi học sinh giỏi cáccấp Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nhau nên có thể gâykhó khăn cho học sinh trong việc giải hệ Chính vì thế đây là một nội dung đòi hỏi họcsinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất

Đã có nhiều sách viết về hệ phương trình, tuy nhiên hầu hết là không hệ thống cácphương pháp hay sử dụng trong biến đổi hệ, giải hệ; hoặc nếu có thì còn sơ sài, chưa đầy

đủ Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn

tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em họcsinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các kì thi đạt được kếtquả tốt hơn

2 TÊN SÁNG KIẾN

“Phương pháp giải hệ phương trình”

3 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Phạm Văn Minh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2

- Số điện thoại: 0977657260

- E_mail:phamvanminh.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn

4 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả cùng với sự hỗ trợ của tổ chuyên môn Trường THPT Tam Đảo 2 về cơ sởvật chất - kỹ thuật trong quá trình viết sáng kiến và dạy thực nghiệm sáng kiến

5 LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Xây dựng chuyên đề môn Toán: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng nhưrèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng toán hệ phương trình trong quá trình ônthi HSG, THPT QG

6 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ

Ngày 01 tháng 10 năm 2019, môn Toán lớp 12

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

7.1 Nội dung sáng kiến

I CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CẦN NHỚ:

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc n,

trong đó là một đa thức đối với x và y.

Phương pháp giải: Bằng phương pháp thế, từ phương trình (1) rút x theo y hoặc

rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (I)

2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1

(Đa thức đối xứng đối với x, y là đa thức khi thay đổi vai trò của x và y thì đa thức đó

Thay vào (*), khi đó x, y là hai nghiệm (nếu có) của phương trình bậc hai

Giải phương trình trên ta có được các nghiệm (x;y) của hệ phương trình.

Chú ý: Với cách đặt ẩn phụ S, P như trên thì điều kiện có nghiệm là

(Dự bị 1 – Khối A năm 2005)

Lời giải: Đặt (Điều kiện )

Thay vào hệ (I) ta được

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (I)

Lời giải

Hệ (I)

Chú ý: Trong một số bài toán, hệ phương trình có dạng đối xứng đối với và

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: (I)

Lời giải

Hệ (I)

2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2

(trong đó là đa thức đối với x và y)

Phương pháp giải : Biến đổi tương đương, trừ vế hai phương trình ta được

Khi đó, hệ phương trình (I)

Từ đó đi giải các hệ phương trình (II), (III) sẽ thu được các nghiệm của hệ (I)

Chú ý: Tập nghiệm của hệ (I) là hợp của tập nghiệm hệ (II) và (III).

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)

Với điều kiện đó,

Trừ theo vế hai phương trình ta được:

(Do )

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Chú ý: Trong một số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 phải cộng và trừ

theo vế hai phương trình

Ví dụ:Giải hệ phương trình

Lời giải:

Cộng theo vế hai phương trình ta được phương trình:

Trừ vế hai phương trình ta được:

Từ đó, hệ phương trình đã cho tương đương với các hệ sau:

Đưa hệ phương trình ẩn x, y về hệ phương trình hai ẩn x, t Chia theo vế hai phương trình,

ta được phương trình một ẩn t Giải phương trình tìm được t, thay vào tìm được x, y.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

(Do hoặc không là nghiệm của (4))

Chú ý: Có thể kiểm tra hệ với y = 0; sau đó đặt rồi biến đổi và giải tương tự

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

 Với , đặt Hệ trở thành:

Từ hệ phương trình trên suy ra

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHUƠNG TRÌNH KHÁC:

Các hệ phương trình này không có dạng đối xứng, không là hệ đẳng cấp, việc áp dụngphương pháp giải hợp lý sẽ giúp ích cho học sinh trong việc tìm ra lời giải ngắn gọn,chính xác

1 Phương pháp thế:

Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hoặc y Khi đó ta tìm cách rút y qua x (hoặc x qua y).

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (TH&TT – 2009)

Hướng dẫn: Phương trình (2) có dạng bậc nhất đối với y, ta tìm cách rút y qua x.

Lời giải:

 Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2).

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: Ta có thể nhận thấy nếu thế số 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1)

thì ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y, từ đó rút được x qua y.

Lời giải:

Thay 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được phương trình:

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

(ĐH khối B – 2008)

Hướng dẫn: Rút từ phương trình (2) sau đó thay vào phương trình (1).

Lời giải:

Hệ phương trình

Thay (2) vào (1) ta được phương trình

2 Phương pháp biến đổi tương đương:

Phương pháp này chủ yếu dựa vào những kỹ năng biến đổi đồng nhất, phân tích bằngcách cộng, trừ, nhân, chia, bình phương, lập phương, nhân chia biểu thức liên hợp,…nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng đơn giản hơn

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (1), đưa về phương trình dạng

Lời giải

Hệ (I)

 Giải hệ phương trình (*) ta được nghiệm

 Giải hệ phương trình (**) ta được nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

(ĐH khối D – 2008)

Hướng dẫn: Phương trình (1) có thể phân tích được thành phương trình tích:

Từ đó thay vào hệ phương trình, biến đổi và tìm nghiệm

Nhận xét: Với các hệ phương trình trong ví dụ 1, ví dụ 2, phương trình (1) của mỗi hệ

có dạng là phương trình (bậc hai) theo ẩn x hoặc y, khi đó ta coi ẩn còn lại là tham số.

Giải phương trình bậc hai đó theo tham số ta có thể tìm được các phân tích như trên

(TH&TT 2009)

Hướng dẫn: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với ẩn y, tham số x Tìm

nghiệm y qua tham số x, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm nghiệm của hệ.

(Có thể coi là phương trình bậc hai đối với ẩn x, tham số y và làm tương tự)

Lời giải:

Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x Khi đó:

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải: Điều kiện:

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

(ĐH khối A – năm 2011)

Lời giải:

Phương trình (2)

là nghiệm

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Ẩn phụ có thể xuất hiện ngay trong từng phương trình hoặc phải qua một số phépbiến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một giá trị, biểu thức khác 0

Hướng dẫn: y=0 không thoả mãn (1) Chia cả 2 vế của hai phương trình cho , sau

đó đặt ẩn phụ

Lời giải:

Đặt , hệ phương trình trở thành

 Với

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (I)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 3 8 2 1 (1)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình (I)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: Từ (2) tìm miền giá trị của x và y, sau đó áp dụng tính chất bất đẳng thức

Để phương trình có nghiệm thì

Từ đó, để hệ có nghiệm thì

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Thay x=1 vào (1) có y=1

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki ở phương trình (1).

Lời giải:

Điều kiện:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho 4 số thực, ta có:

Từ đó, hệ phương trình tương đương:

Hệ phương trình (II) là hệ đối xứng loại 2, học sinh đã biết cách làm

5 Phương pháp đánh giá

Phương pháp đánh giá cũng gần giống với phương pháp sử dụng bất đẳng thức Đỗivới phương pháp này, ta thường nhẩm được nghiệm của hệ phương trình, kết hợp cáctính chất của các bất đẳng thức cơ bản,…

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

HPT

Từ (2) suy ra

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

6 Phương pháp hàm số

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm nghiệm, như vậy để áp dụng được phươngpháp này học sinh phải được trang bị các kiến thức về sự đơn điệu của các hàm số, cáchchỉ ra tính đơn điệu của hàm số Trong phương pháp này qua các phép biến đổi thường

định của nó

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Từ phương trình (2) ta có

Xét hàm số trên [-1;1].

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

(ĐH khối A – 2012)

Lời giải:

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

(ĐH khối A – 2010)

Hướng dẫn: Phương trình (1) viết về dạng với

Lời giải: Điều kiện

của (5) Thay vào (4) ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các hệ phương trình sau:

A    1;0 , log 5;log 2 log 52 5  2   B    1;0 , log 2;log 2 log 55 5  2  

C    2;1 , log 5;log 2 log 52 5  2   D    1;0 , log 5;log 5 log 22 2  5  

Câu 2: Giải hệ phương trình:

Câu 7: Số nghiệm của hệ phương trình: 2

x

y x y 2

1e

log x 3 1 log y log y 3 1 log x

Câu 18: Tìm m để hệ phương trình 2 3 2 2

y x y x

m m

Thống kê chung như sau:

Như vậy tỉ lệ học sinh khá, giỏi ở lớp 12A2 là lớp dạy bài bản theo chuyên đề trên là 76%

và cao hơn hẳn lớp 12A4

7.3 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

- Sáng kiến trên là một mảng kiến thức thuộc phần kiến thức ‘Phương trình và hệphương trình’ đã xuất hiện trên các đề thi Nội dung sáng kiến đã nêu ra được các bàitoán cơ bản, phương pháp giải, thủ thuật bấm máy tính khắc phực lỗi chạy lâu của máytính và một số bài tập tự luyện Vì vậy sáng kiến trên có thể áp dụng rộng dãi cho đốitượng thi THPTQG trên cả nước

8 NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT (nếu có)

- Đối với lãnh đạo cấp cơ sở: Cần quan tâm, sát sao trước những vấn đề đổi mới củangành giáo dục; trang bị đầy đủ các phương tiện, thiết bị, đồ dùng dạy học…để giáo viêntích cực lĩnh hội và áp dụng những đổi mới cả về hình thức và nội dung dạy học Nhàtrường không đặt ưu tiên truyền đạt kiến thức, thông tin đơn lẻ, mà phải hình thành ở họcsinh năng lực tìm kiếm, quản lí, tổ chức sử dụng kiến thức để giải quyết vấn đề trong tìnhhuống có ý nghĩa.

- Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên cần phải nắm vững nội dung chươngtrình; các đơn vị kiến thức Toán học cơ bản, nâng cao và phần liên hệ thực tế, liên môn.Chủ động xây dựng thêm các hệ thống bài tập theo khung chung của bài tập tổng quát đểhọc sinh tự rèn luyện kĩ năng

Khi thực hiện dạy học chuyên đề , giáo viên cần phải xác định rõ mục tiêu nàotrong bài học là quan trọng, tránh tham lam kiến thức liên môn mà không làm rõ đượckiến thức trọng tâm của môn học chính

- Đối với học sinh: Trong quá trình học tập, học sinh phải tham gia vào các hoạtđộng mà giáo viên tổ chức, đồng thời phải huy động và sử dụng kiến thức nhiều môn học

để thực hiện các nhiệm vụ mà giáo viên đưa ra thể hiện tính sáng tạo và năng lực tư duycủa bản thân Ngoài ra học sinh cần có sự kết hợp giữa nắm vững kiến thức lí thuyết vớiviệc thực hành, liên hệ thực tế để có thể vận dụng kiến thức liên môn vào thực tiễn

10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

- Sau khi dự án được thực hiện, tôi thấy các em học sinh hoàn toàn có khả năngđộc lập và sáng tạo trong việc vận dụng kiến thức của nhiều môn học khác nhau để giảiquyết một chủ đề nào đó Một số em học sinh còn làm tôi phải ngỡ ngàng trước khả năngliên kết kiến thức các môn một cách linh hoạt

- Các em có cơ hội để thể hiện hết năng lực của mình trong một giờ học Chính vìvậy mà giờ học Toán học trở nên rất nhẹ nhàng chứ không còn gánh nặng kiến thức trừutượng như trước

- Việc thiết lập các mối quan hệ theo một logic nhất định những kiến thức, kĩnăng khác nhau để thực hiện một hoạt động phức hợp, do vậy giúp HS lựa chọn thôngtin, kiến thức, kĩ năng cần thiết để thực hiện được các hoạt động thiết thực trong cáctình huống học tập

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân

Việc dạy học xung quanh một chủ đề đòi hỏi huy động kiến thức, kỹ năng, phươngpháp của nhiều môn học Điều này tạo thuận lợi cho việc trao đổi và làm giao thoa cácmục tiêu dạy học của các môn học khác nhau Vì vậy, tích hợp sẽ đáp ứng yêu cầu dạyhọc để phát triển năng lực HS

Sáng kiến giúp học sinh nhìn Toán học dưới con mắt không còn thuần túy côngthức tính toán mà nó có ứng dụng trong thực tiễn, cũng như trong đời sống và là công cụrất đắc lực làm giảm đáng kể khó khăn của một số môn học khác

11 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Cacs phương pháp không mẫu mực giải phương trình, hệ phương trình – Nguyễn VănLộc ( chủ biên)-Nhà xuất bản Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

2 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Môn Toán – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)- Nhàxuất bản Hà Nội, 2012

4 Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao – Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất