Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình bậchai là một phần học quan trọng trong chương trình lớp 9 THCS, một trongnhững phần mà trong các đề thi học sinh giỏ
Trang 1Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình bậchai là một phần học quan trọng trong chương trình lớp 9 THCS, một trongnhững phần mà trong các đề thi học sinh giỏi cũng như tuyển sinh thường ra
Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT
2 Cơ sở thực tiễn
Phương trình bậc hai là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó,nhiều học sinh không biết giải phương trình như thế nào? có những phươngpháp giải nào? Hoc sinh không phân dạng ra được nên khi giải theo một cáchchung chung dẫn đến lệch hướng đi không giải được
Các bái toán về phương trình bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trongcác đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệuviết về vấn đề này chỉ nêu ra cách giải chung chưa phân dạng và phương phápgiải cụ thể gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trongcông tác tự bồi dưỡng của giáo viên
Vì vậy việc nghiên cứu để “phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai trong chương trình Toán THCS” là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm
vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả,góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi vàgiáo viên giỏi ở các trường THCS
3 Khảo sát chất lượng ban đầu
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về “các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai trongchương trình toán THCS” Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu,đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiệnhiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả
Trang 2Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạyhọc phần phương trình bậc hai trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó địnhhướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán
Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạythành công về phương trình bậc hai
III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường
2 Phân dạng các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trìnhtoán THCS
3 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài
4 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm
IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1 Đối tượng nghiên cứu:
a Các tài liệu có liên quan
b Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS
2 Phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trình ToánTHCS
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu
2 Phương pháp điều tra, khảo sát
3 Phương pháp thử nghiệm
4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sángkiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh hamthích học dạng toán này hơn
Trang 3b giải quyết vấn đề
i Một số kiến thức liên quan
+) Nếu ( ) thì phơng trình đã cho có hainghiệm phân biệt là:
+) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai
Trang 4ii C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp.
D¹ng 1: Bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh (*) khi cho biÕt gi¸ trÞ cña tham sè m = k.
Trang 5Cho phơng trình: (1) (với m là tham số)
Vậy với thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
Dạng 2: Bài toán tìm giá trị của tham số m để phơng trình (*) có nghiệm
1) Phơng pháp giải
Bớc 1: Thay vào phơng trình (*) để đợc một phơngtrình mới ẩn m
Bớc 2: Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có đợc giá trị
của tham số m
Bớc 3: Kết luận.
2)Ví dụ:
Cho phơng trình ẩn x tham số m: (1)
Trang 6a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) cómột nghiệm
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) cóhai nghiệm phân biệt và tìm hai nghiệm phân biệt đó
Giải:
a) Thay vào phơng trình (1) ta đợc: (*)
Phơng trình (*) là phơng trình bậc hai ẩn m có: , và
Vậy với thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Dạng 3: Bài toán liên quan đến điều kiện về nghiệm của phơng trình (1)
Trang 7+) Phơng trình (1) có hai nghiệm và đều âm
+) Phơng trình (1) có hai nghiệm và đối nhau
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Khi
đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Giải:
a) Vì phơng trình (1) có nên phơng trình (1) là mộtphơng trình bậc hai (*)
hai nghiệm này phải đều dơng
Trang 8Vậy với thì phơng trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
và khi đó hai nghiệm đều dơng.
Ví dụ 2 Cho phơng trình ẩn x, tham số m:
(1)a) Chứng minh rằng: Phơng trình (1) luôn có hai nghiệmphân biệt với mọi
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm
là nghịch đảo của nhau
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm
đều mang dấu âm
Giải:
và
a) Khi thì nên phơng trình (1) là một phơng trìnhbậc hai (*)
Mặt khác: (**)
Từ (*) và (**) phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệtvới mọi giá trị của m
b) Để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau thì
Vậy với thì phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
c) Để phơng trình (1) có hai nghiệm đều mang dấu âm thì:
(không tồn tại m)
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm đều âm.
Dạng 4: Bài toán sử dụng hệ thức Vi-et
Loại 1 Những bài toán sử dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét
Trang 9Bớc 4 : Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có m.
Bớc 5 : Đối chiếu m vừa tìm đợc với điều kiện ở bớc 1, rồi kết
2) Tìm m sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm x1và x2
thoả mãn điều kiện
a) b)
Trang 10Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta đợc:
(thoả mãn điều kiện)
Vậy với thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
b) Ta có:
(thoả mãn điều kiện)
Vậy với thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
c) Để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
thì trớc hết phơng trình (1) phải có hai nghiệm và không âm
Mặt khác:
(thoảmãn)
Vậy với thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
Ví dụ 2 Cho phơng trình ẩn x, tham số m:
Trang 11a) Ta có: ; ; ;
Vì nên phơng trình (1) là một phơng trình bậchai (*)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng (-3) Đạt đợc khi
m = 0.
Ví dụ 3 Cho phơng trình bậc hai tham số m:
1) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
2) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phânbiệt với mọi m
3) Gọi và là hai nghiệm của phơng trình
a) Chứng minh biểu thức không phụthuộc vào m
b) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơngtrình thoả mãn điều kiện:
Giải:
1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì
.Vậy với thì phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Vì phơng trình (1) là một phơng trình bậc 2 có:
Trang 12
Nên phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giátrị của m (đpcm)
3) Vì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt và ,
Bớc 2 : Biến đổi hệ thức đã cho về dạng:
Bớc 3: Thay và vào hệ thức vừa biến đổi rồitính hoặc
Bớc 4: Thay hoặc vừa tính vào phơng trình đã cho để
đợc một phơng trình ẩn m
Trang 13Bớc 5: Giải phơng trình vừa thu đợc, đối chiếu điều kiện ở
b-ớc 1, rồi kết luận
2) Ví dụ
Ví dụ 1 Cho phơng trình ẩn x, tham số m: (1)1) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) cóhai nghiệm trái dấu
2) Tìm tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm và
thoả mãn điều kiện:
Trang 141) 2) 3)
Gi¶i:
vµ
Trang 15V× nªn ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm lµ:
vµ
VËy víi hoÆc th× ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
Trang 16với mọi m Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
Trang 173) Theo câu (a) ta có và
Để phơng trình (1) có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kiathì:
Vậy với hoặc thì Phơng trình (1) có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia
Ví dụ 2. Cho phơng trình ẩn x, tham số m:
(1)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt vớimọi giá trị của tham số m
b) Tìm tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm và
là nghịch đảo của nhau
c) Tìm tham số m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng
3 lần nghiệm kia
Giải:
Trang 18Vậy với thì phơng trình (1) có hai nghiệm và
là nghịch đảo của nhau.
Để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 3 lần nghiệm kia thì:
Vậy với thì phơng trình (1) có nghiệm này bằng 3 lần nghiệm kia.
Bài toán 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào tham số m.
b) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm là và hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa và mà không phụthuộc vào m
Giải:
Trang 19Và:
+) Nếu thì phơng trình (1) vônghiệm
+) Nếu thì phơng trình (1) có
(1) có hai nghiệm phân biệt và
Kết luận: Với thì phơng trình (1) vô nghiệm
Với thì phơng trình (1) có nghiệm kép
Với thì phơng trình (1) có nghiệm kép
Với hoặc thì phơng trình (1) có hainghiệm phân biệt
b) Trớc hết để phơng trình (1) có hai nghiệm và thì:
hoặc Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có tích hainghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơngtrình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộcvào m
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và thoả mãn
Trang 20Khi đó, tổng của hai nghiệm là:
Vậy với thì tích của hai nghiệm bằng 5 và khi đó tổng của hai nghiệm bằng 6.
Trang 21+) Nếu thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox, O(0; 0)
là điểm thấp nhất của đồ thị
+) Nếu thì đồ thị nằm phía dới trục hoành Ox, O(0; 0) là
điểm cao nhất của đồ thị
Cách vẽ đồ thị hàm số
Bớc 1: Lập bảng giá trị tơng ứng của x và y.
Bớc 2: Vẽ các điểm thuộc đồ thị hàm số đã xác định ở bảng
giá trị tơng ứng trên cùng một hệ trục toạ độ
Bớc 3: Nối các điểm vừa vẽ thành một đờng cong để có đồ
Trang 224) Sự tơng giao của Parabol (P): và đờng thẳng (d):
Ví dụ 1 Cho Parabol (P): và đường thẳng (d):
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d) Tìm điểm M trêncung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất c) Tìm điểm N trên trục hoành Ox sao cho NA + NB ngắnnhất
Ví dụ 2 Cho hàm số: y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để
đường thẳng (D):
a) Đi qua điểm A (1; 2003)
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2
B khi m thay đổi
Trang 23b) Gọi và lần lợt là hoành độ của điểm A và điểm B.Xác định m để đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trịnày.
Đề thi vào lớp 10 Chuyên THPT Đai Học Vinh (vòng 2) năm 2010
Dạng 6: Bài toán liên quan đến điều kiện có nghiệm của phơng trình trùng phơng
Tức là phơng trình (2) có hoặc
+) Phơng trình (1) có một nghiệm phơng trình (2) cónghiệm kép bằng 0, hoặc phơng trình (2) có một nghiệmbằng 0 và nghiệm còn lại âm
Trang 24+) Phơng trình (1) có 3 nghiệm phơng trình (2) có mộtnghiệm bằng 0 và một nghiệm dơng.
Tức là phơng trình (2) có :
+) Phơng trình (1) có 4 nghiệm phơng trình (2) có hainghiệm phân biệt đều dơng
Vậy khi m = 1 phơng trình (1) có hai nghiệm là và
Trang 26C KẾT LUẬN
I Bài học kinh nghiệm
Bài toỏn về phương trỡnh bậc hai là cỏc dạng toỏn thường gặp trongchương trỡnh toỏn 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yờu cầutrong sỏch giỏo khoa thỡ chưa đủ, vỡ vậy đũi hỏi giỏo viờn phải tớch cực tự học,
tự nghiờn cứu, tỡm tũi sỏng tạo thường xuyờn bổ sung kiến thức và tớch luỹ kinhnghiệm về vấn đề này
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương phỏp giải bài toỏnliờn quan đến phương trỡnh bậc hai thỡ bản thõn mỗi giỏo viờn phải phõn dạngđược cỏc bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai và biết cỏch giải cụ thể củacỏc dạng toỏn
Qua việc nghiờn cứu bờn cạnh việc giỳp cho bản thõn nõng cao kiến thức,nõng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi cú hiệu quả, ngoài ra cũn giỳp bảnthõn nõng cao phương phỏp tự học, tự nghiờn cứu để cú thể tiếp tục nghiờn cứucỏc vấn đề khỏc tốt hơn trong suốt quỏ trỡnh dạy học của mỡnh
Sau quỏ trỡnh nghiờn cứu đề tài tụi đó ỏp dụng vào giảng dạy cho học sinhkhối lớp 9 và thấy răng cỏc em cú hứng thỳ học hơn đặc biệt là cỏc em hiểu bài
và làm bài tốt hơn Kết quả khảo sỏt sau khi thực hiện đề tài như sau :
II Kết luận chung
Để thực hiện tốt cụng việc giảng dạy, đặc biệt là cụng tỏc bồi dưỡng họcsinh giỏi người thầy phải thường xuyờn học, học tập, nghiờn cứu, tỡm tũi và sỏngtạo
Trong quỏ trỡnh giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tàiliệu tham khảo tụi đó rỳt ra một số kinh nghiệm nờu trờn Hy vọng đề tài
“Phân dạng các bài toán về phơng trình bậc hai trong
chơng trình Toán THCS” làm một kinh nghiệm của mỡnh để giỳp học
sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nõng cao năng lực tư duy, sự sỏng tạo và rốn
kỹ năng giải cỏc bài toỏn về phương trỡnh bậc hai cho học sinh
Trong quỏ trỡnh nghiờn cứu khụng thể trỏnh khỏi sai sút, hạn chế rấtmong được sự giỳp đỡ, gúp ý của đồng nghiệp
D TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 SGK và sách giáo viên lớp 9 cải cách
2 Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên
3 Một số vấn đề phỏt triển Đại số 9
4 Cỏc chuyờn đề trờn bỏo tuổi thơ 2
5 Bỏo toỏn học tuổi thơ 2 của Bộ Giỏo Dục
6 ễn tập thi vào lớp 10 mụn Toỏn
Trang 277 Bộ đề ôn tập Toán 9.
8 Bài tập nâng cao Đại số 9 của Vũ Hửu Bình…
