Trong mỗi dạng trên tôi tập trung vào giải các bài toán sau: Bài toán 1: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm các khoảng đồng biến hoặc nghịch biếncủa hàm số hoặc tìm số điểm cực trị của hàm số ho
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1 Tên sáng kiến: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị
hàm số (Đặng Thị Hạnh - trường THPT Chuyên Bến Tre)
2 Lĩnh vực áp dụng của sáng kiến: Dạy học ở chương trình phổ thông.
3 Mô tả bản chất của sáng kiến
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong quá trình học tập trên lớp cũng như tự ôn luyện nhằm đạt kết quả cao trong kìthi trung học phổ thông quốc gia, một trong những bài toán quen thuộc mà học sinhthường gặp đó là “Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy cho biết hàm số
hoặc hàm số hoặc hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
” hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy cho biết hàm số
đồng biến trên khoảng nào?” hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số
đã cho, hãy cho biết phương trình có bao nhiêu nghiệm ?” Bàitoán sẽ đơn giản hơn nếu ta biết được biểu thức của hàm số nhưng ở đây takhông biết được biểu thức của hàm số Chính vì vậy các bài toán nàythường gây khó khăn cho học sinh kể cả học sinh giỏi, hoặc là học sinh tìm được lời giảinhưng lời giải chưa trọn vẹn Chẳng hạn, đối với bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số
đã cho, hãy cho biết hàm số đồng biến trên khoảng nào?” họcsinh lúng túng khi tìm đạo hàm của hàm số và khi tìm được đạo hàm củahàm số có thể bị mắc sai lầm trong lí luận về khoảng đồng biến hoặcnghịch biến của hàm số khi dựa vào đồ thị hàm số Do đó yêucầu đặt ra là cần tìm ra các phương pháp giải một số bài toán trên Chính vì vậy mà sángkiến kinh nghiệm này tập trung vào đi tìm lời giải cho các bài toán trên qua đó rút ra nhậnxét, kinh nghiệm nhằm giúp học sinh tìm được đúng, đầy đủ và nhanh để có thể đáp ứngtốt cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia Đồng thời sau mỗi dạng bài toán có đưa raphương pháp để sáng tạo bài toán tương tự
Trang 2Trong sáng kiến kinh nghiệm này, hàm số được nhắc đến là các hàm đa thức bậc ba hoặchàm đa thức bậc bốn Do đó tôi tập trung vào giải quyết các vấn đề như sau:
Phân các bài toán thường gặp thành hai dạng: Dạng biết đồ thị hàm số vàdạng biết đồ thị hàm số
Trong mỗi dạng trên tôi tập trung vào giải các bài toán sau:
Bài toán 1: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm các khoảng đồng biến hoặc nghịch biếncủa hàm số hoặc tìm số điểm cực trị của hàm số hoặc tìm số nghiệm của phương trìnhcho trước
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc
nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có
ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có bốn, nămnghiệm
trong mỗi dạng hàm số có đưa ra phương pháp giải của từng bài toán và nêu ra một
số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhằm giúp các em rút được kinh nghiệm và giảiđược các bài toán tương tự
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu dùng kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp,
sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số để giải bài toán dạng biết đồ thị hàm số
đồng thời đòi hỏi học sinh kỹ năng tìm được các khoảng đồng biến hoặcnghịch biến của hàm số hoặc tìm các điểm cực trị của hàm khi biết đồ thị hàm số
Phương pháp này có những thuận lợi như sau:
- Nội dung về đạo hàm của hàm số hợp, sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm sốhọc sinh đã được học trong sách giáo khoa nên học sinh sẽ thấy quen thuộc và dễ tiếpthu
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựa vào đồ thị hàm số suy ra sự biếnthiên, cực trị và đồ thị của hàm số
Vì sáng kiến này chủ yếu sử dụng kiến thức về sự biến thiên, cực trị và đồ thị củahàm số nên đối tượng áp dụng kết quả của sáng kiến này là học sinh lớp 12
Trong quá trình giải các bài toán trên ta có sử dụng một công thức đạo hàm quenthuộc đó là đạo hàm của hàm số hợp
3 2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Trang 33.2.1 Mục đích của giải pháp: Thực hiện giải ba bài toán
Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìmcực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số hoặc hàm số
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cựctrị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số với
Bài toán 3: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc
nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có
ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn,năm nghiệm
3.2.2 Nội dung giải pháp: Giải pháp được thực hiện dựa trên cở sở lí luận sau
Trang 4Ta có Do đó đồ thị gồm hai phần
Phần 1: Phần đồ thị nằm bên phải trục tung
Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục tung
c Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số
Trên khoảng , ta thấy tiếp tuyến của đồ thị tại mọi đểm có hoành độ
đi xuống (tính từ trái qua phải) suy ra hay
Tương tự,
Tại tiếp tuyến của đồ thị song song với trục hoành nên Tương tự,
Ta có bảng biến thiên
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng , không có giá trị lớn nhất
Trang 5d Cho hàm số liên tục trên có đồ thị hình vẽ Xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số
Trên khoảng các khoảng , ta thấy đồ thị nằm phía trên trục hoành nên
dưới trục hoành nên
Đồ thị cắt trục hoành tại nên
Ta có bảng biến thiên
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất
Dựa vào các cơ sở lí luận trên, ta giải được các bài toán liên quan đến đồ thị như sau:
Trang 6Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số hoặc hàm số
Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị,
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số
Nhận xét:
+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thì
ta chỉ cần dựa vào đồ thị hàm số mà không cần lập bảng biến thiên
+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số thì tốt nhấtnên lập bảng biến thiên Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biếnthiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm mà kết luận vềđiểm cực trị của hàm số
+ Nếu là hàm đa thức thì có đạo hàm trên nên luôn xác định
nhưng đối với hàm thì không xác định tại các điểm làhoành độ giao điển của đồ thị với trục hoành
Thật vậy, nếu ta xem thì áp dụng công thức đạo hàm của
hàm số hợp ta có , từ đó ta thấy rõ ràng không xác địnhtại các điểm là nghiệm của phương trình hay tại các điểm làhoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành
+ Khi dựa vào bảng biến thiên để kết luận về cực trị của hàm số học sinh thường gặp phải sai lầm như sau: Nếu đổi dấu khi qua điểm nhưng không xác
Trang 7định tại thì kết luận ngay hàm số không đạt cực trị tại điểm Đây là kếtluận chưa chính xác vì hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà nó không có đạohàm Do đó nếu gặp trường hợp trên ta cần xét đến giá trị của hàm số tại điểm Tức là, nếu xác định thì là điểm cực trị của hàm số , nếu không xác định thì không là điểm cực trị của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu
ii Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số
Ta thực hiện theo các bước sau:
Trang 8Bước 1: Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số
Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số
Nhận xét:
+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thì
ta chỉ cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy của hàm số mà khôngcần lập bảng biến thiên
+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số thì tốt nhấtnên lập bảng biến thiên Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biếnthiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm mà kết luận vềđiểm cực trị của hàm số
+ Nếu là hàm đa thức thì có đạo hàm trên nên luôn xác định
nhưng đối với hàm thì không xác định tại điểm là hoành độgiao điển của đồ thị với trục tung
Thật vậy, nếu ta xem thì áp dụng công thức đạo hàm của
hàm số hợp ta có , từ đó ta thấy rõ ràng không xácđịnh tại điểm hay tại điểm là hoành độ giao điểm của đồ thị với trục tung
iii Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số
Ta thực hiện theo các bước sau:
Nghiệm các phương trình trên chính là hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các
Trang 9điểm là giao của độ thị với trục hoành Đồng thời không xác định tại các điểm
mà và không xác định
Lưu ý: Dấu của phụ thuộc vào dấu của và Giả sử nếu trênkhoảng thuộc khoảng xác định của hàm số ta có: Phần đồ thị nằm phíatrên trục hoành tức là và xét từ trái sang phải ta thấy đồ thị
Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có )
Ví dụ 2 Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Hàm số
có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?
Từ đồ thị ta thấy là hoành độ các điểm cực trị nên
Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ nên
Xét trên khoảng ta có: Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành tức là
và tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị đi lên tức là Do đó
Trang 10Xét trên khoảng ta có: Phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành tức là
và tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị đi lên tức là Do đó
Tương tự trên các khoảng còn lại Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số
như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu
Bài toán iii) có thể tổng quát như sau: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xét
sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
Ta thực hiện theo các bước sau:
Để tìm nghiệm các phương trình ta dựa vào đồ thị hàm số đãcho Chẳng hạn, trên đồ thị hàm số ta suy ra được nên
sau đó từ phương trình giải tiếp để tìm x
Đồng thời không xác định tại các điểm mà và không xác định
Lưu ý dấu của phụ thuộc vào dấu của và
Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của
Trang 11Ví dụ 3 Cho hàm số liên tục trên có đồ thị hàm như hình vẽ Xét sự biến thiên của hàm số ?
Trang 12
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và
và nghịch biến trên các khoảng và
iv Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hãy xác định số nghiệm của phương trình với m là hằng số cho trước.
Ta thực hiện theo các bước sau:
với t nhận tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1).
- Từ đồ thị ta tìm được số nghiệm t của phương trình (1) đồng thời biết được mỗi nghiệm t thuộc khoảng nào đó
- Với mỗi nghiệm t thuộc khoảng ta tìm số nghiệm của phương trình (2)
Ví dụ 4 Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ
Phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
Đặt Khi đó phương trình
Số nghiệm của phương trình là số nghiệm của phương trình (2) với t nhận
tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1)
Trang 13
Xét phương trình (1), Từ đồ thị ta có đường thẳng và đồ thị hàm cắt nhau tại ba điểm Do đó phương trình có ba nghiệm t như sau:
Với mỗi trường hợp của t ta xét số nghiệm của phương trình (2)
Trường hợp 1: với
Khi đó, (2) trở thành với Từ đồ thị ta có đường thẳng
và đồ thị hàm cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt
Trường hợp 2: với
Khi đó, (2) trở thành với Từ đồ thị ta có đường thẳng và
đồ thị hàm cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt
Trường hợp 2: với
Khi đó, (2) trở thành với Từ đồ thị ta có đường thẳng và
đồ thị hàm cắt nhau tại một điểm suy ra (2) có một nghiệm
Ta thấy các nghiệm trên đôi một khác nhau nên phương trình có bảynghiệm phân biệt
Nhận xét:
Do đồ thị hàm số chỉ ra rõ ràng tọa độ các điểm cực trị, tọa độ giao điểm của đồ thị vớitrục tung nên đối với bài toán này ta có thể giải bằng cách như sau:
Từ đồ thị suy ra hàm số là hàm đa thức bậc ba Dựa vào các điểm cực trị
và giao điểm của đồ thị với trục tung ta tìm được phương trình hàm số
có ba nghiệm
Trang 14Với mỗi nghiệm t tìm được ở trên, thế vào phương trình
Trang 15Từ đồ thị ta có và
Với Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm cắt đường thẳng với tại ba điểm phân biệt do vậy phương trình có ba nghiệmphân biệt
Với Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm cắt đường thẳng với tại một điểm do vậy phương trình có một nghiệm
Vậy phương trình có 8 nghiệm phân biệt
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm
i Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị.
Bài toán : Cho hàm số (trong đó là hàm đa thức bậc ba hoặc đa thức bậc
bốn) có đồ thị như hình vẽ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có ba
nhiều nhất 3 điểm
Do đó số điểm cực trị của hàm số nhiều nhất là 5 điểm (vì một hàm
số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định)
Ta xét một số trường hợp cụ thể như sau:
a) Phương trình và phương trình không có nghiệm chung
+ Nếu có 3 nghiệm và có 2 nghiệm phân biệt (tức là có 2 điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau
Trang 16
các nghiệm này đôi một khác nhau)
Suy ra đồ thị như sau
Ta thấy trên khoảng đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên
Tương tự trên các khoảng còn lại nên ta có bảng biến thiên của
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị
+ Nếu có 1 nghiệm và có 2 nghiệm phân biệt (tức là có 2 điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau
(Hình vẽ trên cho biết , và các nghiệm
Trang 17Suy ra đồ thị
Ta thấy trên khoảng đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên
Tương tự trên các khoảng còn lại nên ta có bảng biến thiên của
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
+ Nếu có 1 nghiệm và vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (tức là không có điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau
Trang 18
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 1 điểm cực trị.
b) Phương trình và phương trình có nghiệm chung
+ Nếu và có 1 nghiệm chung ta có đồ thị như sau
nghiệm chung của phương trình và phương trình )
Khi đó ta có đồ thị như sau
Ta có bảng biến thiên của
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số là n với n được tính như sau:
tromg đó m là số nghiệm phương trình , k là số điểm cực trị của , h là số nghiệm chung của phương trình và phương trình
