(SKKN mới NHẤT) SKKN một vài ỨNG DỤNG của véc tơ

ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU KỂ CẢ ÁP DỤNG

MỤC LỤC

PHẦN

PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN 1

1 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 1

2 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN 1

PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 1

PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ 1

PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 1

A CƠ SỞ LÝ LUẬN 1

B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

C MỤC ĐÍCH 2

D NỘI DUNG 2

I LÝ THUYẾT 2

1 Các kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng 2

2.Các kiến thức về véc tơ trong không gian 6

3.Bổ sung 7

II.CÁC ỨNG DỤNG 8

1)CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI 8

2)CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH,GÓC,CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG 10

3)CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC 12

4)CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ 15

PHẦN 6.THÔNG TIN BẢO MẬT 17

PHẦN VII.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 18

PHẦN VIII ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU KỂ CẢ ÁP DỤNG THỬ (NẾU CÓ) 18 PHẦN IX ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ 18

PHẦN X ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN 18

PHẦN XI DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU 18

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

Chữ viết tắt Nội dung

GD&ĐT Giáo dục và đào tạo

THPT Trung học phổ thông

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHẦN I LỜI GIỚI THIỆU

Véc tơ là khái niệm mới mẻ đối với học sinh lớp 10,các nội dung về véc tơ

vì thế đối với phần lớn học sinh là khó,rất trừu tượng và phức tạp,nên học sinhrất ngại học phần hình học liên quan đến khái niệm mới này.Tuy nhiên trongquá trình giảng dạy môn toán, và với sự tìm tòi của bản thân,tôi lại thấy đây làmột nội dung khá hay mà có thể giải quyết được nhiều bài toán mà việc giảiquyết bằng phương pháp khác còn vất vả hơn nhiều.Vì vậy tôi viết chuyên đềnày với mong muốn các bạn học sinh có cái nhìn thiện cảm hơn đối với kháiniệm véc tơ, thấy được cái hay cái đẹp của nó đối với môn toán.Đây cũng coinhư là một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học

PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN

“ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA VÉC TƠ”

1 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Đường Thị Yến

- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc

- Số điện thoại: 0985568523

- Email: yen0985568@gmail.com

2 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học véc tơ lớp 10 THPT

PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC

DÙNG THỬ

Ngày 10 tháng 10 năm 2019

PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

A CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Nội dung của chương trình toán THPT.

- Một số tài liệu tham khảo

B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

C MỤC ĐÍCH :

- Làm tài liệu giảng dạy và tham khảo

- Phát triển các hướng tư duy : phân tích, tổng hợp, sáng tạo,…cho học sinh

- Thấy được mối liên hệ mật thiết giữa đại số- giải tích với hình học

B

ba

e)Hai vectơ bằng nhau

Hai véctơ , gọi là bằng nhau, ký hiệu:

1.1.2 tổng của hai vectơ

a)Định nghĩa: Tổng của hai vectơ và là một véctơ đợc

Từ định nghĩa trên ta đợc quy tắc ba điểm:

+ = , với ba điểm A, B, C bất kì

+ + = "

1.1.3 hiệu của hai vectơ

a)Hai vectơ đối nhau

Hai véctơ , gọi là đối nhau, ký hiệu:

b)Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ và , kí hiệu - , là

tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ , nghĩa là:

- = + (- ).

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.

Để dựng vectơ - khi biết các vectơ và ta lấy điểm A tuỳ

ý, từ đó dựng vectơ = và = , khi đó = -

Từ cách dựng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:

- = , với ba điểm A, B, C bất kì

c)Tính chất của phép trừ véctơ

- =  = +

1.1.4 tích của một vectơ với một số

a)Định nghĩa: Tích của vectơ với một số thực k là một

vectơ, kí hiệu k đợc xác định nh sau:

a. Vectơ k cùng phơng với vectơ và sẽ :

 Cùng hớng với vectơ nếu k  0.

 Ngợc hớng với vectơ nếu k 0.

b. Có độ dài bằng k. .

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân

vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ).

Từ định nghĩa trên ta có ngay các kết quả:

1 = , (-1) = -

b)Tính chất của phép nhân vectơ với số

c)điều kiện để hai vectơ cùng phơng

Định lí 1 (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phơng): Vectơ

cùng phơng với vectơ  khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho = k

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng

là tồn tại số k sao cho

= k

d)Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng

Định lí 2 (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác

không cùng phơng): Cho hai vectơ và khác và

không cùng phơng Với mọi vectơ bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho:

c)Khoảng cách

Khoảng cách d giữa hai điểm M1(x1; y1) và M1(x2; y2) là độ dài của vectơ , đợc cho bởi:

d)Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trớc

Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là =

k ) đợc xác định bởi các công thức:

Đặc biệt nếu k = -1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng

M1M2 , khi đó toạ độ của M đợc xác định bởi:

2) Cỏc kiến thức về vộctơ trong khụng gian Oxyz.(SGK HH – 12)

2.1 TểM TẮT Lí THUYẾT: Trong khụng gian Oxyz cho:

đồng phẳng hay

Đặc biệt: M là trung điểm AB:

14 G là trọng tâm tam giác ABC:

16 Véctơ đơn vị:

17 Điểm trên các trục tọa độ:

3) Bổ sung một số kiến thức:

3.1)Trọng tâm,tâm tỉ cự

a) Định nghĩa 1: Cho hệ điểm

Điểm G thỏa mãn : được gọi là trọng tâm của hệ điểm trên

Định lí :

(1) Trọng tâm của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất

(2) Nếu G là trọng tâm của hệ điểm thì

khác 0.Điểm G thỏa mãn : được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm

ứng với bộ số .Định lí :

(1) Tâm tỉ cự của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất

(2) Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm ứng với bộ số

thì

3.2) Định lí 1: Với hai vectơ bất kì ta luôn có

3.3) Định lí 2:

M

NP

a) Ba điểm M,A,B thẳng hàng O, luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (x,y) thỏa mãn :

1) CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI :

Thường sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương , ( điều kiện 3 điểmthẳng hàng),ba vectơ đồng phẳng (đk 4 điểm đồng phẳng),…

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC sao cho

BC = 3BM, điểm N trên cạnh AM sao cho AM = 4AN

Gọi P là giao điểm của AC và BN

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một điểm I bất kì chạy trên

đoạn AM( khác với A), đường thẳng bất kì qua I cắt các đoạn thẳng AB,AC lần

lượt tại N,P( khác A) Chứng minh rằng :

Lời giải :

Đặt x = BA/BN; y = CA/CN; z = AM/AI (x,y,z > 0)

Ta có

Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Mặt phẳng

(P) bất kì cắt các đoạn SA,SB,SC,SD,SO lần lượt tại A’,B’, C’, D’, O’(khác S)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, mp(P) cắt các

đoạn SA,SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’.Chứng minh rằng :

a)

b) với O là trọng tâm của tứ diện SABC

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Điểm C’ là trung điểm

của SC Mặt phẳng qua AC’ cắt SB,SD lần lượt tại B’, D’

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G1,G2 của hai tam giác A’BD vàCB’D’ đông thời AG1=G1G2=G2C’

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C.Tính BD’/BG

c) Gọi P,Q,R lần lượt là điểm đối xứng của D’ qua A,B’,C.Chứng minh B

là trọng tâm của tứ diện PQRD’

d) Dựng I,J lần lượt trên DB’,AC sao cho IJ//BC’ Tính ID/IB’

2) CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ,GÓC, CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG

Thường áp dụng để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng hay mộtmặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Với dạng bài này , họcsinh lớp 11 có thể giải bằng cách sử dụng các tính chất và dựng hình, học sinh lớp 12 có thể dùng phương pháp tọa độ để giải Ở đây tôi chỉ giới thiệu một ví

dụ minh họa khá đơn giản để các thầy cô và các em học sinh tham khảo

Phương pháp chung thường dùng :

(1) Chọn 2 vectơ (không cùng phương trong mp) hoặc 3 vectơ (không đồngphẳng trong KG) có mối quan hệ đặc biệt với nhau làm cơ sở để biểu diễn cácvectơ khác qua chúng.

(2) Biểu diễn các vectơ khác qua các vectơ cơ sở Dùng đk thẳng hàng,đồng phẳng hay vuông góc để đưa ra kết quả

Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M trên A’C sao cho MA’=3MC

và N là trung điểm của C’D

Ta tính được

Để tính d(A,(CMN)) ta dựng AI vuông góc với (AMN) tại I

Ta có :

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của BD và CD’:

Cho PQ vuông góc với BD và CD’ ta tìm được z,t Từ đó tính PQ

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có G,G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam

giác ABC và A’B’C’ Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M và N lần lượt là các điểm chia hai

đoạn thẳng AD’ và DB theo cùng tỉ số k khác 0, 1 Chứng minh : MN // (A’BC)

3) CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và M trên cạnh BC Chứng minh : OA.BC ≤

Lời giải :

Dựng 3 góc AOB, BOC, COA lần lượt có số đo x,y,z sao cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, OA=OB=OC=1

Ta có :

Nhận xét : Với mọi điểm O trong tam giác ABC ta luôn có :

cosAOB + cosBOC + cosCOA ≥ -3/2

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Tìm vị trí của điểm M trên AC sao cho biểu thức

P = 2MA2 + MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm vị trí điểm M sao cho Q= MA + MB + MC nhỏ nhất

Lời giải:

a)Gọi G là trung điểm của BC và I là trung điểm của AG Suy ra :

Khi đó : P = 4.IM2 giá trị này nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu của

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc Tìm M để

Vậy M trùng A.

Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC có SA=a, SB=b, SC=c; Mặt phẳng (P) thay đổi luôn

đi qua trọng tâm G của tứ diện lần lượt cắt SA, SB, SC tại D, E, F Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Đẳng thức xảy ra khi (P)//(ABC)

Ví dụ 6: Cho tứ diện A1A2A3A4 có trọng tâm G Các đường thẳng GAi (1=1,

…,4) căt các mặt đối diện tại Bi Chứng minh rằng : ( ai là

độ dài 6 cạnh) với mọi điểm M

Lời giải :

Ta có :

Mà GAi = 3AiBi/4

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta tính được :

Từ đó ta suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra khi M trùng G

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :

a)

b) p2≥ 16 Rr – 5r2.

c) MA+MB+MC ¿ 3R (với mọi điểm M và tam giác ABC đều.)

Bài 2: Cho tứ diện A1B1C1D1, M là điểm tùy ý trong tứ diện Chứng minh :

Trong đó Si là diện tích mặt đối diện với Ai; R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD.Tìm M để P = MA + MB + MC + MD nhỏ nhất

Bài 4: Tìm tam giác ABC để tỉ số là lớn nhất

Bài 5: Cho điểm A thuộc mặt cầu (O;R) Xét tứ diện ABCD nội tiếp (O;R) và

gọi G là trong tâm của tứ diện đó Tìm vị trí của G sao cho AB2 + AC2+AD2

-BC2 – CD2 – DB2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 6: Trong tất cả các tứ diện nội tiếp mặt cầu bán kính R = 1 , hãy tìm tứ diện

có diện tích toàn phần lớn nhất

4) CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ

Dấu hiệu có thể dùng phương pháp vectơ: Chứa căn của các biểu thức có dạng

độ dài của vectơ hoặc là tích vô hướng của hai vectơ

Ta có :

Dễ thấy : 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x+y+z).

Từ đó (x+y+z) 2 + (1/x +1/y +1/z) 2 ≥ (x+y+z) 2 + 81/(x+y+z) 2

Mà tích vô hướng của hai vectơ bất kì trong 4 vectơ trên có giá trị là mộttrong sáu giá trị nêu trên Do đó bài toán được chứng minh

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình có nghiệm thực

Lời giải :

Xét hàm f(x) = VT(1) Khi đó f(x) liên tục trên R và

Kết quả sát hạch lớp 10C,10H trước khi áp dụng sáng kiến

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành kiểm tra, sáthạch lại, kết quả đạt được rất khả quan Cụ thể như sau:

Lớp Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB % HS yếu %HS kém

PHẦN IV: THÔNG TIN BẢO MẬT: Không có thông tin bảo mật

PHẦN VII:CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến đã được áp dụng giảng dạy tại các lớp 10c,10h,10l,tại trường THPT YÊN LẠC.Ngoài ra sáng kiến còn có thể áp dụng được cho tất cả các trường THPT trong cả nước.

PHẦN VIII: ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

Sáng kiến đem lại hứng thú cho học sinh đối với phần toán véc tơ,đem lại niềm yêu thích đối với phần hình học khó này.Do đó đem lại hiệu quả cao trong giảngdạy ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG

PHẦN IX:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ

Qua chuyên đề này,tôi đã giúp cho học sinh tìm hiểu sâu hơn ,chi tiết hơn về ứng dụng của véc tơ trong giải toán,đồng thời tôi cũng phân loại chi tiết các ứng dụng của véc tơ trong giải các loại toán cụ thể,học sinh rất hứng thú với các phân loại như thế này.Sáng kiến đem lại sự tích cực trong việc học toán và dễ dàng tiếp thu phần kiến thức về véc tơ

PHẦN X:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC

CÁ NHÂN

+Nhà trường nhất trí và ủng hộ cho việc triển khai đề tài

+Tổ chuyên môn đánh giá cao và áp dụng làm tư liệu dạy học

PHẦN XI:DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi lĩnh vực áp dụng sáng kiến

YÊN LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020

Hiệu trưởng (kí tên, đóng dấu)

YÊN LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020

Tác giả sáng kiến (kí ,ghi rõ họ tên)

Đường Thị Yến