(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

MỤC LỤC2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy 62.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn.. Lời giới thiệu Bài toán

MỤC LỤC

2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy 62.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử

dụng tính đơn điệu và bị chặn

13

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 27

10 Đánh giá lợi ích thu được (kết quả thực hiện) 27

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng

kiến lần đầu.

28

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Bài toán tìm giới hạn dãy số là một trong các bài toán có trong cấu trúc đềthi trong các kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 của Tỉnh qua các năm và trong cấu trúc

đề thi THPT Quốc Gia qua các năm kể từ khi Bộ GD&ĐT chuyển sang thi trắcnghiệm Trong đó xác định giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ, lượng giáchóa, sử dụng tính đơn điệu của dãy và giới hạn của dãy tổng được khai thác chủyếu Trong năm học tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán ở lớp đầu cao, dạy bồidưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu bài toán tìm giới hạn dãy số làbắt buộc Khi dạy phần giới hạn dãy số tôi thấy một số vấn đề sau cần giải quyết Một là: Theo quan điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trìnhdạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể Tuy nhiên việcgiảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì đó làyêu cầu tối thiểu Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả, học sinhhọc lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo khoa học sinhthấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài tập còn lại đềutương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm bài theo cách rấtmáy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi một chút là học sinh sẽcảm thấy khó khăn, chán ngán

Hai là: Các vấn đề về dãy số ít xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đạihọc nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tài liệu tham khảo vềdãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy sốhoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốntài liệu dễ đọc

Từ thực trạng của vấn đề trên, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú

và giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan đến giới hạn dãy số

2 Tên sáng kiến:

“ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Đào Xuân Tiến

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc –

tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0986968630 Email:daoxuantien101186@gmail.com.

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc – tỉnh VĩnhPhúc.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” được áp

dụng bồi dưỡng HSG khối 11 và ôn thi THPT Quốc Gia

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về giới hạn dãy sốtheo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phântích các bài tập về giới hạn dãy số một cách logic từ khó đến rất khó

Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về giới hạn dãy số ta sẽ thấy nó làcác phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạptổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích

Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán

về giới hạn dãy số chánh sự gượng ép máy móc

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Ngày 28/02/2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung sáng kiến

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Phương pháp quy nạp toán học

1 (

2 1

2 2

3 3

3 1

2 2

1 2 1

n

n 2

1

2

1

10 Cho số thực x  1 Chứng minh rằng : ( 1 x)n  1 nx , nN*

11 Với mọi số tự nhiên n 3, ta có : 2n  n2  1

12 Với mọi số tự nhiên n 2, ta có :

1 1

1

3

1 2

1 1

c

13 Cho số thực x  k2,k Z ,nN*, ta luôn có :

a

2 sin

2

) 1 ( sin 2

sin

sin

2 sin

x n nx nx

x x

2 cos 2

) 1 ( sin

cos

2 cos cos

1

x

nx x

n nx

x x

1.2.2 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

* Dãy số gọi là dãy số tăng nếu

* Dãy số gọi là dãy số giảm nếu

Nếu suy ra là dãy số giảm

* Nếu tồn tại số sao cho thì bị chặn trên

* Nếu tồn tại số sao cho thì bị chặn dưới

* Nếu dãy số bị chặn trên và bị chặn dưới thì gọi là dãy só bị chặn

1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt

* Nếu dãy số là cấp số nhân thì

* Nếu dãy số là cấp số nhân vơi

thì tổng

PHẦN II GIỚI HẠN DÃY SỐ

2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy

* Kiến thức sử dụng:

- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc

- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân

642

)12(

531

2 2

2 2

2 2

2 2

)14(6

)12)(

1(.4

6

)14)(

12(2)2(

642

)2(

321

2 2

2 2

n n

n n

n n

Bài 2.1.4 Cho dãy số thỏa mãn Hãy tìm

u n

Bài 2 Cho dãy số với

Tìm giới hạn dãy số?

11)2

11(

n

HD:

Bài 5 Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số?

a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.

b)Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn

- Nếu dãy số thỏa mãn điều kiện và tồn tại giới hạn

thì ; nếu dãy số thỏa mãn điều kiện và tồn tại giớihạn thì

- Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn thì

Áp dụng tính chất trên ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi hệthức truy hồi Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp tỉnh, các đềthi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế

Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toàn tìm giới hạn của dãy

số cho bởi hệ thức truy hồi Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa

* Bài tập vận dụng

Bài 2.2.1 Cho dãy số xác định bởi

Chứng minh dãy số là dãy số giảm, bị chặn dưới Tính

Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên

Chứng minh dãy tăng bằng quy nạp, tức là

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 Do đó dãy số có giới hạn hữu hạn, giả sử

thì .Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim Hay

Vì nên a = 2 limun = 2.

Nhận xét:

*Với ví dụ này ta có thể tìm được CTTQ của dãy là

tuy nhiên việc xác định CTTQ của không phải là đơn giản và mất nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài toánđược giải quyết gọn nhẹ

* Tổng quát hóa bài toán :

Cho dãy số xác định bởi .Với là số thực dương

cho trước Hãy tìm

Bài 2.2.3 Cho dãy số xác định bởi Tính limun

Nên dãy số (un) là dãy số dương tăng

Hơn nữa, ta thấy

Do đó dãy số có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, khi đó

Từ hệ thức truy hồi suy ra limun+1 = lim

Bài 2.2.4 Cho dãy số xác định bởi

Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó

Lời giải:

Trước hết ta nhận xét rằng , với mọi n

Thật vậy, ta có = 2010 > 0 Giả sử , ta chứng minh

Từ hệ thức truy hồi suy ra

Theo bất đẳng thức Cosi, ta có:

a) CMR dãy là dãy số tăng

Do đó , nên bị chặn dướibởi

Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn Giả sử , khi đó

Từ hệ thức truy hồi suy ra:

2

2 2

n

n n

u u u

u

u u

Mặt khác: u n2u n 1+

4

32

14

32

11

2 2

3 2

1 2

Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn Suy ra limu n = 0

Bài 2 Cho dãy số u1= 2020 và Tìm giới hạn dãy số ?

Bài 3 Cho dãy số u1= 2020 và 2 61

2 1

u

u

u Tìm giới hạn dãy số ?Cho dãy số với Tìm giới hạn dãy số ?

Bài 4 Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số?

13

)1(

u u u

Xét hiệu 0

1 3

2 2

n

u

u u u

u Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn Suy ra

Bài 5 Cho dãy số

n n

1 Tìm giới hạn dãy số ?

Bài 6 Cho dãy số và u n1 u n2 (12a)u n a2 Xác định a, b để dãy số có

giới hạn và tìm giới hạn dãy số ?

n n

n

2

2

21

22

1



n n

u  

Vậy

Bài 2.3.2 Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số ?

4

1   



n n

n n

u u

a a

u u u

3

cos2



n n

222

2

222

1

n n

u

u u

31

2.4 Giới hạn dãy tổng các số hạng của một dãy cho trước.

* Kiến thức sử dụng:

Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng

tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa x n , sau đó tìm limx n

Vì theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra

Bài 2.4.2: Cho dãy (n = 1, 2, …) được xác định như sau:

n n

Ta có thể chứng minh limx n =  với cách khác:

Dễ thấy (x n ) là dãy tăng, giả sử limx n = a (a1)

Nên ta có a  a a( 1)(a2)(a 3) 1

Suy ra a 2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a 4 + 6a 3 + 10a 2 + 6a +1 = 0

Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a1 Vậy limx n = 

Bài 2.4.3 Cho dãy số xác định bởi

Theo đề bài

Giả sử (giả thiết quy nạp)

Ta sẽ chứng minh (*)

(theo giả thiết quy nạp)

Vậy dãy số tăng

Ta lại chứng minh không bị chặn trên

4

( 2,3, ) 2

x   x  x  > 0  n 2

Do đó dãy tăng Giả sử = a thì a > 0 và

2 42

Bài 2.4.5 Cho dãy số (u n) xác định như sau:

u u

Vậy

Lời giải:

u u

, với mọi.

32 1

1

n u

u u

u

n n n

Bài 4 Cho dãy số xác định bởi:

Tính

a) Chứng minh: un ≥ n + 2019

b) Đặt Tìm lim xn.

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến được áp dụng bồi dưỡng cho học sinh ôn thi HSG tỉnh Vĩnh

Phúc khối 11

Ngoài ra sáng kiến còn áp dụng để giảng dạy cho khối 12 ôn thi THPTQuốc Gia

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến được áp dụng cho học sinh có lực học khá và giỏi.

10 Đánh giá lợi ích thu được ( kết quả thực hiện)

Trên đây là một số bài tập về tính dãy số cơ bản và nâng cao nhằm củng cố, hướng dẫn học sinh khá, giỏi và đặc biệt là các em học sinh ôn HSG khối 11 Trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn học sinh trong lớptôi và các em trong đội tuyển các dạng bài tập trên

Qua kiểm tra đánh giá lớp 11A1 đạt kết quả tỉ lệ: Giỏi 25%, Khá: 44%, Trung bình: 31%

Qua đó các em học sinh trong đội tuyển dự thi HSG khối 11 của Tỉnh có 70% các em làm tốt câu này

Một số kiến nghị:

+ Trên đây chỉ là một số bài tập dạng bài tập cơ bản và nâng cao về tìm giới hạn của dãy số Các dạng bài tập này chưa dùng ứng dụng của đạo hàm về tính giới hạn dãy số

+ Mặc dù tôi đã có cố gắng song do còn hạn chế về trình độ chuyên môn, kinh nghiệm giảng dạy nên tài liệu này vẫn còn nhiều thiếu sót Rất mong các thầy,

cô giáo đóng góp ý kiến cho tôi để tôi có thể hoàn thiện tài liệu tốt hơn

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụngsáng kiến lần đầu

,ngày tháng năm

Tác giả sáng kiến

Đào Xuân Tiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 (Chương trình nâng cao).-Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

- Đề thi HSG các tỉnh, thi HSG Quốc Gia

-Nguồn internet