(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT quốc gia

Lời giới thiệu Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn, tích phân có

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần

Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn, tích phân có lien quan đến phương trình vi phân…

Bài toán tích phân của hàm số khá phong phú và đa dạng Các em học sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ Do đó, các em phải biết chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán

Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia” Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các

phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho giáo viên và các em học sinh trong việc dạy - học, ôn tập để kiểm tra đánh giá và thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao

1.2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Cập nhật kiến thức, dạng toán mới trong đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây

Tìm hiểu các phương pháp tính tích phân, xây dựng theo hệ thống kiến thức, bài tập cóphân theo các mức độ phù hợp từng đối tượng học sinh

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

*Đối tượng nghiên cứu:

Một số phương pháp tính tích phân: Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa, đổi biến số, tích phân từng phần, phương pháp tính tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dành cho học sinh lớp 12 và ôn thi THPT Quốc Gia

*Phạm vi nghiên cứu:

Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thông, có sự mở rộng phù hợp với nội dung chương trình thi trung học phổ thông quốc gia năm 2020

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu

Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài toán

Thực nghiệm sư phạm qua công tác ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia của cá nhân tôi trong thời gian từ tháng 1 năm 2019 đến tháng 1 năm 2020

2 Tên sáng kiến

“ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia”

3 Tác giả sáng kiến

Họ và tên: Trần Thị Hương

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên tỉnh Vĩnh Phúc

Lạc-Số điện thoại: 0974 361 811 Emai: tranthihuong.c3dongdau@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

Họ và tên: Trần Thị Hương

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên tỉnh Vĩnh Phúc

Lạc-Số điện thoại: 0974 361 811 Emai: tranthihuong.c3dongdau@vinhphuc.edu.vn

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Lĩnh vực: Phương pháp tính tích phân

Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Một số phương pháp tính tích phân dành cho Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

6 Ngày sáng kiến được áp dụng

Chuyên đề : “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia” được dạy thực nghiệm tháng 1 /2017 tại trường THPT Đồng Đậu

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Cơ sở lý luận

7.1.1 Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm:

(Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) cơ bản mở rộng là từ HSSC cơ bản ta thay biến x bởi ax + b)

Nguyên hàm của

HSSC thường gặp

Nguyên hàm của HSSC mở rộng thường gặp

∫ cos xdx=sin x+C ∫cos(ax +b)dx=1

a sin( ax+b)+C ∫ cosudu=sin u+C

∫ sin xdx=−cos x+C ∫sin( ax+b)dx=−1

a cos(ax+b)+C ∫ sin udu=−cosu+C

Người ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Như vậy Nếu là một

b) Với hàm số liên tục và số thực dương , ta có hai tính chất sau đây:

- Nếu là hàm số lẻ trên đoạn thì

- Nếu là hàm số chẵn trên đoạn thì

7.1.3 Các công thức tính tích phân.

7.1.3.1 Định nghĩa: Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kỳ thuộc Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân

của từ đến và kí hiệu là Trong trường hợp , ta gọi là tích phân của trên đoạn

Người ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Như vậy, Nếu là một

7.1.3.2 Công thức đổi biến số:

Trong đó: là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số liên tục và

sao cho hàm số hợp xác định trên K và a, b thuộc K

7.1 3.3 Công thức tích phân từng phần

Nếu và là các hàm số liên tục có đạo hàm trên thì

7.2 Thực trạng

Một số em khi giải bài toán tích phân còn gặp khó khăn trong việc biến đổi cũng như còn sai sót trong quá trình giải và còn lúng túng không biết cách giải bài toán tích phânhàm ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân Xuất phát từ tình hình thực

tế đó, tôi cảm thấy cần thiết hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải để cho học sinhnắm vững là điều rất quan trọng Cho nên đề tài này cần được nghiên cứu và phát triểncho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia

7.3 Các biện pháp tiến hành

Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân có trong đề thi THPT QG thì cần phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ bản như sau:

Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản

Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp

Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết

được dạng tích phân thì sẽ dễ dàng biết cách tính Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thành thói quen tự đặt cho mình lần lượt những câu hỏi về hàm số dưới dấutích phân theo thứ tự như sau:

1. Có phải dạng cơ bản không Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản

2.

Có phân tích, biến đổi đại số, biến

đổi lượng giác,… đưa về dạng cơ

số của biến số không?

Dùng phương pháp đổi biến số

4.

Có thừa số nào hoặc biểu thức nào

là đạo hàm đúng hoặc gần đúng

(chỉ sai khác hệ số) của biểu thức

khác trong hàm số dưới dấu tích

phân không?

Dùng phương pháp đổi biến số

5. Có thuộc loại tích phân hữu tỷ

không?

Dùng phương pháp tích phân các hàm hữu tỷ

đã học

6. Có thuộc loại tích phân hàm số

lượng giác không?

Dùng phương pháp tích phân các hàm lượng giác đã học

7. Có thuộc loại tích phân các hàm vô

tỷ không?

Dùng phương pháp tích phân các hàm vô tỷ đãhọc

8. Ngoài các loại trên?

Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, nếu không được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp tích phân từng phần

Giáo viên tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải, cho ví dụ minh hoạ để học sinh tham khảo Sau mỗi dạng toán có phần bài tập tự luyện tổng hợp để học sinh làm

Đối với dạng toán về tính tích phân, tôi chia ra thành các dạng như sau :

7.3.1 Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa

7.3.1.1 Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa

a, Phương pháp: Biến đổi hàm số trong dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm

số có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy ra giá trị của tích phân

b, Các ví dụ minh họa:

nửa đường tròn như hình vẽ Tính giá trị

A B C D

Lời giải: Chọn đáp án B

Ta có:

Ví dụ 3 ( Đề thi minh họa THPT QG 2018-2019-BGD )

Cho với , , là các số hữu tỷ Giá trị của bằng

7.3.1.2 Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

a, Phương pháp: Để tính thì thực hiện:

- Xét dấu trên

- Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân trên đoạn

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Biết Giá trị của là

Ví dụ 2: Biết Khi đó bằng

Lời giải: Chọn đáp án A

Khi đó

7.3.1.3 Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn

a, Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, các tính chất tích phân

(trong đó là một nguyên hàm của )

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số lẻ và liên tục trên đoạn Tích phân

Nhận xét: Từ giả thiết có , biểu thức vế trái có dạng

Lời giải: Chọn đáp án D

Ta có

Do nên ta có

(Vì không âm trên ) Khi đó

Giá trị của bằng?

Nhận xét : Từ giả thiết ta có , biểu thức vế trái có dạng

Lời giải: Chọn đáp án C

Nhận xét: Từ giả thiết thay bằng xác định biểu thức quan hệ của

rồi kết hợp với giả thiết xác định hàm số

Từ giả thiết, thay bằng ta được

Ta có

Thay vào ta được

Vậy

Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R

và có đồ thị của hàm số như hình vẽ, Biết

và

Tích phân bằng

Lời giải: Chọn đáp án C

7.3.1.4 Bài tập tự giải: Tính tích phân bằng định nghĩa.

A m =4 B m =3 C m =2 D m =1

Câu 3 Tích phân

6 2 0

x I

A

2ln3

I =

14

I =

3ln3

Câu 15 Biết

4 2 3

a x

Câu 27 Biết rằng

3 2 2

A

12

21

a x

81

C 0 D 16

Câu 37: Cho hàm số liên tục trên đoạn

và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một

bằng

7.3.2 Phương pháp đổi biến số.

7.3.2.1 Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến

Phương pháp này thường dùng cho tích phân chứa hàm số bậc 2 trong căn bậc 2

Nếu hàm có

đặt 4

Nếu hàm có

chứa thì

đặt

b, Phương pháp:

+ Đặt sao cho là hàm số có đạo hàm liên tục trên được xác định trên với

+ Biến đổi

+ Tìm nguyên hàm suy ra

c, Các dạng thường gặp:

Hàm số có chứa thì đặt hoặc acost

Hàm số có chứa thì đặt hoặc acott

Hàm số có chứa thì đặt hoặc

d, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 : Khi đổi biến , tích phân trở thành tích phân nào?

7.3 2.2 Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến

a, Dấu hiệu chung:

Nếu hàm số chứa căn đặt căn

Nếu hàm số chứa mẫu đặt mẫu

Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao đặt biểu thức dưới số lũy thừa bậc cao

b, Dấu hiệu cụ thể:

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

d, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018)

Lời giải:: Chọn đáp án D

Ví dụ 3: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018)

Cho với , , là các số nguyên Giá trị của

bằng

Lời giải: Chọn đáp án A

I =ò x x - x

bằng cách đặt u=x2- 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 2 Nếu đặt t = +x x2+16 thì tích phân

3

2 0

d16

x I

d

x x J

J =

14

J =

Câu 4 Tích phân

3 2 2

d1

K =

D

1 8ln

I =

B I =1. C I =9. D I =3.

I =

14

I =

14

d

I =òt t

3 3

a b e

+

= ++

A

1.3

A Bài giải đúng B Sai ở bước III.

C Sai từ bước II D Sai từ bước I

Câu 20 Cho tích phân ( )

3

1 2

x I

3d161

m

x

=+

ò

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

73;

2

mÎ çæ öçç ÷÷÷÷

30;

mÎ çæ öçç ÷÷÷÷

7

;52

I =

D I =1

Câu 23 Tìm a để 0

3

21

x

e x

I =

12

1 sin

dsin

x x x p

với mọi x >0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tùy theo bậc của có thể thực hiện nhiều lần.

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)

Biết (với là số thực, , là các số nguyên dương và là phân

số tối giản) Tính giá trị của

Vậy

7.3.3.2 Dạng 2: Tích phân dạng

a, Phương pháp: Đặt

Tùy theo bậc của P(x) có thể thực hiện nhiều lần

b, Các ví dụ minh họa:

Vậy

7.3.3.3 Dạng 3: Tích phân hoặc

a, Phương pháp: Đặt

Tùy theo bậc của P(x) có thể thực hiện nhiều lần

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Biết (với là các số nguyên dương) thì

Ví dụ 2: Cho ( với là các số tự nhiên ; là phân số tối

giản) thì giá trị biểu thức bằng

Lời giải

Chọn đáp án B

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giá trị của là

Lời giải

Chọn đáp án C

Đặt

Ví dụ 3: Biết có kết quả ( Với là số nguyên dương;

là phân số tối giản) Khi đó là

Ví dụ 4: ( THPT QG 2019- MĐ 104) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên

A

3 16

-B

3 12

p

-Câu 2 Tích phân

2 0

2

B

12

K =

C K =3ln2 D

12ln2

S =

38

S =

Câu 16 Tính tích phân

1 2 0

I =

D I =1.MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

x x

2

x x

7.3.4 Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân

7.3.4.1 Dạng 1 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :

a, Phương pháp:

Từ phương trình vi phân

Trong đó:

b, Các ví dụ minh họa:

A B C D

Nhận xét: Từ giả thiết ta có , vế trái là biểu thức có dạng

Ngược lại mọi biểu thức có dạng ta có thể biến đổi đưa về dạng

Khi đó ta có bài toán tổng quát cho như sau:

(**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**)

Trong đó được chọn sao cho:

(với là một nguyên hàm của ) từ đây ta sẽ chọn được biểu thức

Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và

Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức Ta có

nên ta chọn , khi đó ta có lời giải như sau:

Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn

A B C D

Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức Ta có

Ví dụ 4: Cho hàm số thỏa mãn , và

Nhận xét: Từ giả thiết ta có , vế trái là biểu thức có dạng

Biết Giá trị là

Ví dụ 2: Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn ,

và Khi đó giá trị là

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn điều kiện

Vậy

Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn điều kiện

Nhận xét: Từ giả thiêt có , biểu thức vế trái có dạng

Lời giải Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , và

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nhận xét: Từ giả thiêt có , biểu thức vế trái có dạng

Lời giải Chọn đáp án D

Ta có

7.3.4.4 Dạng 4 Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân

a, Phương pháp:

Nhân hai vế với ta được

b, Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn:

Biết rằng Tích phân bằng

7.3.4.5 Bài tập tự giải: Tính tích phân có liên quan đến phương trình vi phân

Câu 1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

với mọi Giá trị nhỏ nhất của tích phân

bằng

Câu 2 Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng

Câu 4 Cho hàm số nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên thỏa

bằng

Giá trị của bằng

Câu 6 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn

Câu 8 Giả sử hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng

đây đúng ?

Câu 9 Cho hàm số liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng thỏa

Câu 11 Cho hàm số và có đạo hàm liên tục trên khoảng

Câu 14 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng thỏa

Câu 15 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và

với mọi Tích phân bằng

Câu 16 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

Câu 19 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của tích phân bằng

Câu 20 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa

Câu 23. Cho hàm số liên tục và đồng biến trên đoạn , và

, Đặt Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 24 Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và

.Tính tích phân

Câu 25 Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn

Câu 5: Cho hàm số liên tục trên và Tích phân

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

- Đối với lãnh đạo cấp cơ sở: Cần quan tâm, sát sao trước những vấn đề đổi mới của ngành giáo dục; trang bị đầy đủ các phương tiện, thiết bị, đồ dùng dạy học…để giáo viên tích cực lĩnh hội và áp dụng những đổi mới cả về hình thức và nội dung dạy học.

- Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên cần phải nắm vững nội dung chương trình; các đơn vị kiến thức toán cơ bản, nâng cao và phần liên hệ thực tế, liên môn Chủ động tìm hiểu và lĩnh hội những vấn đề mới nhằm đáp ứng yêu cầu về giáo dục trong tình hình mới của đất nước Đồng thời để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thụ động, giáo viên phải có trình

độ tìm hiểu tài liệu nhất định

- Giáo viên cần có thời gian để xây dựng nội dung chuyên đề và định hướng các hoạt động

- Đối với học sinh: Trong quá trình học tập, học sinh phải tham gia vào các hoạt động

mà giáo viên tổ chức, đồng thời tự lực thực hiện các nhiệm vụ mà giáo viên đưa ra thể hiện tính sáng tạo và năng lực tư duy của bản thân Ngoài ra học sinh cần có sự kết hợp giữa nắm vững kiến thức lí thuyết với việc thực hành, liên hệ thực tế để có thể vậndụng kiến thức vào thực tiễn

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có)

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả.

Sau khi học xong bài học, tôi cũng phát phiếu học tập và cho học sinh trả lời nhanh vào phiếu, thu được kết quả như sau:

BẢNG THỂ HIỆN LÀN ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA GV VỀ HỌC SINH