(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp giải toán cực trị hình học ở bậc THCS

Lí do chọn đề tài: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay còn gọi là các bài toáncực trị là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắnnhất, dài

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( hay còn gọi là các bài toáncực trị ) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắnnhất, dài nhất … để dần dần hình thành cho học sinh có thói quen đi tìm mộtgiải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể nào đó trong thực tiễn sau này.Toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế, có nhiều ứng dụng trongthực tế Điều này chứng tỏ là toán học và thực tiễn không hề tách rời nhau, ví

dụ như: Hai ngôi làng cách nhau một con sông Tìm vị trí ở bờ sông để bắcmột cây cầu sao cho quãng đường đi lại giữa hai ngôi làng này là ngắn nhất…Trong chương trình THCS, các bài toán cực trị là các bài toán hay và cũngtương đối khó, loại này rất phong phú và đa dạng đòi hỏi phải vận dụng kiếnthức một các hợp lý, nhiều khi độc đáo và bất ngờ Ở bậc học này, học sinhmới thực sự làm quen với loại toán cực trị từ năm lớp 7, kiến thức về loại toánnày được nâng dần ở lớp 8 và lớp 9 Các bài toán cực trị thường được đưa vàocác chủ đề nâng cao và mở rộng đối đối tượng học sinh khá và giỏi Toán cựctrị được nhắc đến nhiều trong các loại sách nâng cao hoặc trong các tài liệutham khảo, do đó giáo viên toán thường vất vả trong việc sưu tầm, tuyển chọnmới gây được hứng thú học tập, lòng say mê học toán của học sinh

Trong chủ đề toán cực trị, các bài toán về cực trị trong hình học rất đadạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ởbậc học THCS Để giải quyết các bài tập toán về cực trị hình học, người thầyphải hướng dẫn học sinh tìm được các cách giải thông minh nhất, tìm ra cácbiện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS

Việc dạy - học các bài toán cực trị hình học THCS có tầm quan trọngtrong việc củng cố, khắc sâu và mở rộng các kiến thức toán học trong chươngtrình, rèn luyện phương pháp suy luận lô- gic, chặt chẽ và góp phần quantrọng trong việc gắn kết toán học và thực tiễn Tuy vậy, trong sách giáo khoahiện nay lại không hướng dẫn phương pháp giải dạng toán này một cách cụthể, vì vậy giáo viện, học sinh thường lúng túng khi gặp dạng toán này

Với mong muốn có được một tài liệu hệ thống về toán cực trị hình học

để dạy cho học sinh ở trung học cơ sở, tôi đã sưu tầm, tuyển chọn một sốphương pháp giải toán cực trị hình học và một số bài toán cực trị hình học

thông dụng ở bậc THCS để viết thành đề tài “Một số phương pháp giải toán

cực trị hình học ở bậc THCS” để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy,

học tập bộ môn toán nói chung và góp phần nâng cao hiệu quả công tác bồidưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS

1.2 Điểm mới của đề tài:

Tôi đã tìm hiểu và đọc nhiều chuyên đề của các tác giả khác nhau vềtooán cực trị hình học Tuy nhiên, đa số các chuyên đề đó chỉ đưa ra các bàitập và hướng dẫn cho những bài cụ thể Trong phạm vi của đề tài này, tôi đã

hệ thống lại phân loại các bài tập về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên cơ sở hệthống các kiến thức liên quan, xây dựng mô hình, giải pháp chung cho từngloại Khi áp dụng đề tài, tôi đã thực hiện một số biện pháp đat hiệu quả caonhư xây dựng cho các em hệ thống kiến thức, các em hiểu thật sâu các kiếnthức và cách vận dụng các kiến thức đó để giải quyết những bài toán nào, xâydựng phương pháp giải cho từng loại và có các ví dụ minh họa

1.3 Phạm vi áp dụng của đề tài:

* Đối tượng nghiên cứu:

Trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thểsau:

- Giáo viên dạy toán THCS, đặc biệt là giáo viên làm công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi;

- Học sinh khá, giỏi THCS, chủ yếu ở lớp 8 và lớp 9

* Phạm vi nghiên cứu:

- Toán cực trị hình học ở bậc THCS

* Phạm vi áp dụng: Đề tài này áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS

(chủ yếu là lớp 8 và lớp 9) và giáo viên dạy Toán THCS nơi bản thân đangcông tác

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu:

Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THCS tôi nhận thấy dạng toán cực trịhình học là một dạng toán hấp dẫn và lôi cuốn Trong chương trình hình họcTHCS, có nhiều bài tập về yếu tố cực trị hình học Tuy nhiên trong sách giáokhoa không có hướng dẫn phương pháp giải toán một cách cụ thể ,vì vậy họcsinh thường lúng túng khi gặp dạng toán này

Trong quá trình giảng dạy toán nâng cao và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,bản thân tôi đã tìm hiểu nhiều tài liệu và nhận thấy đây là dạng toán tương đốikhó , tuy nhiên phần nhiều các tài liệu chỉ đưa ra bài tập và bài giải chứ ít đềcập đến lý thuyết vì vậy học sinh ít giải được dạng toán này do không hiểu đề,không tìm ra lời giải hoặc có khi chỉ đơn giản là không trình bày bài giảiđược Khi gặp dạng toán này, rất nhiều em học sinh có nhu cầu và mongmuốn giải quyết, khám phá Tuy nhiên, vì phương pháp giải chưa được địnhhình và hệ thống nên các em còn nhiều khó khăn, lúng túng Từ đó sự hứngthú với dạng toán này của các em bị giảm sút và các em trở nên có tâm lí engại khi gặp những bài toán có dạng này

Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS nơi tôi công tác, trước khi áp

dụng đề tài “Một số phương pháp giải toán cực trị hình học ở bậc THCS”, tôi

đã tiến hành khảo sát với 30 em học sinh khá giỏi lớp 8 và 30 em khá giỏi lớp

9 ( với hai bộ đề khác nhau về chủ đề các bài toán cực trị hình học ), kết quảthu được như sau:

9 30 01 3,3 06 20,0 18 60,0 05 16,7

Trước thực tế đó, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Một số phương pháp

giải toán cực trị hình học ở bậc THCS” với mong muốn có thể giúp được

học sinh THCS cảm thấy hứng thú hơn, tự tin hơn và giải quyết tốt hơn khigặp các bài toán về cực trị hình học

y1, y2 là các giá trị cố định không đổi của y

- Giải bài toán cực trị hình học là phải chỉ rõ vị trí hình học của y để yđạt giá trị nhỏ nhất y = y1 hay y = y2

2.2.1.2- Các ph ươ ng pháp giải bài toán cực trị hình học.

Ta có thể giải bài toán cực trị hình học bằng một trong các phương phápsau đây:

* Phương pháp 1.

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay cácđiều kiện của đại lượng đó bằng các đại lượng tương đương Người ta thườngdùng cách này khi đầu bài toán được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đóthoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán.”

Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào

có chu vi nhỏ nhất

Giải :

Qua A kẻ đường thẳng xy // BC (BC

không đổi)

Vì diện tích ABC không đổi nên đường cao AH của ABC cũng khôngđổi Do đó các đỉnh của các tam giác thoả mãn điều kiện của đầu bài phải nằmtrên đường thẳng xy.

Ta có PABC = AB + AC + BC = AB + AC + a

PABC nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua xy, B’C cắt xy tại A’ Xét tam giácAB’C có AB’ + AC = AB + AC  B’C

Ta có: AB’ + AC  A’B’ + A’C

Dấu bằng xảy ra khi A  A’

Khi đó A’B’ = A’B = A’C Nên A’BC cân tại A’

Và PABC  PA’BC hay minPABC = PA’BC

Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích thì tam giác cân cóchu vi nhỏ nhất

* Phương pháp 2.

Đưa ra một hình theo yêu cầu của đầu bài, sau đó chứng minh mọi hìnhkhác có chứa yếu tố mà ta phải tìm cực trị đều lớn hơn hoặc bé hơn yếu tốtương ứng trong hình đã đưa ra

Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình khiđạt cực trị đã được khẳng định rõ trong đầu bài

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện

tích thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất

Để giải bài toán này trước hết ta vẽ tam giác cân ABC (cân ở A) Ta phảichứng minh rằng mọi tam giác A’BC nào đó có khoảng cách từ A’ đến BCbằng khoảng cách từ A đến BC thì chu vi tam giác A’BC lớn hơn chu vi tamgiác ABC

Thật vậy:

* Ta sẽ có A’  xy, xy qua A và song song với BC (A’  A)

Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua xy

Chứng minh được B, A, C’ thẳng hàng

Khi đó PABC = BC’ + BC

PA’BC = A’B + A’C + BC

= A’B + A’C’ + BCXét A’BC’

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

A’B + A’C’ > BC’

Do đó PA’BC > PABC

* Nếu xét trường hợp A’

khác phía A so với đường thẳng

BC thì ta cũng có được một tam

giác đối xứng với ABC qua BC

để so sánh với tam giác A’BC

* Phương pháp 3.

Thay việc tìm cực trị của một đại lượng này bằng việc tìm cực trị củamột đại lượng khác và ngược lại

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét hình thang có 4 đỉnh ở trên

4 cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường thẳng chứa đườngchéo của hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tíchlớn nhất ấy

Ta thấy EFGH là hình thang cân

Gọi S là hiệu của diện tích hình vuông ABCD

và diện tích hình thang EFGH

Nên S = SAEH + SEBF + SFCG + SDHG

S = SAEH + 2SEBF + SDHG

S =

Biến đổi được S =

S =

Để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị lớn nhất thì S phải đạt giá trịnhỏ nhất

Mà S  , dấu bằng xảy ra khi x + y = a

Vậy maxSEFGH = a2 –  x + y = a Hay x = a – y

2.2.2 Giải pháp 2: Phân loại các dạng toán cực trị thường gặp và phương pháp giải.

2.2.2.1- Dạng 1: Sử dụng bất đ ẳng thức tam giác.

- Với 3 điểm A, B, C bất kỳ luôn có

AB + AC  BC

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A nằm giữa B, C

- Trong tam giác ABC ta có

ABC  ACB  AC  AB

Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt

phẳng có bờ là xy

a, Tìm 1 điểm M  xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất

b, Tìm điểm N  xy sao cho lớn nhất

Do đó không tìm được điểm N thoả mãn đầu bài

* Nếu AB không song song với xy

Gọi No là giao điểm của đường thẳng AB và xy

Ta sẽ có max

No là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Hai xóm A, B cách nhau một con sông Tìm địa điểm để bắc

một cây cầu qua sông sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn nhất

Bài toán coi: Hai bờ sông là hai đường thẳng song song, cầu bắc vuông gócvới bờ sông để tiết kiệm nguyên vật liệu

Giải:

Biểu thị hai xóm A, B bên bờ sông là hai

điểm A, B

Hai bờ sông là hai đường thẳng d1, d2 song

song với nhau Ta phải tìm địa điểm cây cầu CD

sao cho:

Tổng AC + CD + DB là ngắn nhất

Ta thấy độ dài CD không đổi nên ta cần tìm vị trí điểm C, D sao cho AC+ BD ngắn nhất

Qua A ta dựng một đường thẳng xy vuông góc với d1, d2  xy // CD

Từ D kẻ đường thẳng song song với CA cắt xy tại A’

Như vậy ACDA’ là hình bình hành

Do đó AC = A’D

Khi đó DB + AC = DB + A’D  BA’

Dấu bằng xảy ra khi B, D, A’ thẳng hàng

Tức là D  Do (Do là giao điểm của A’B với d2)

Vậy địa điểm bắc cầu là CoDo

Ví dụ 3: Cho ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Hãy tìmđiểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MO là nhỏ nhất

Bài giải

Ta xét hai trường hợp:

a, Tam giác ABC là tam giác nhọn

Nên tâm O nằm trong ABC

Xét hình ( I ) Giả sử O là một điểm bất kỳ trong ABC, theo bất đẳngthức tam giác ta chứng minh được: OB + OC < AB + AC

Xét hình ( II ) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử điểm O 

Do vậy min(MA + MB + MC + MO) = 3R  M  O

b, Nếu tam giác ABC là tam giác tù  O nằm ngoài tam giác ABC

3 Cho góc vuông xOy Điểm A thuộc miền trong của góc Các điểm M

và N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho MAN = 90o Xácđịnh vị trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất

4 Cho tam giác ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp Hãy tìm điểm Msao cho tổng MA + MB + MC + MO là nhỏ nhất

2.2.2.2 - Dạng 2: Dùng tính chất của đư ờng vuông góc và đư ờng xiên.

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đếnmột điểm nằm trên đường thẳng đó, đoạn vuông góc với đường thẳng đó làđoạn ngắn nhất

Suy ra: trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đếnđường thẳng đó, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng songsong, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏnhất

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC Qua trọng tâm O của tam giác hãy

dựng đường thẳng sao cho tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác đếnđường thẳng đó là lớn nhất

Giải:

Gọi d là đường thẳng bất kỳ qua O, H là

trung điểm BC nên O  AH

Kẻ AA’, BB’, CC’, HH’ vuông góc với d

Tứ giác BB’C’C là hình thang nhận HH’ là đường trung bình

Do đó max(AA’ + BB’ + CC’) = 2.OA  OA = AA’

 d // BC (hoặc d // AB, d // AC)

Như vậy: Qua O dựng đường thẳng song song với một trong ba cạnh củatam giác đều ABC thì tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác đến đườngthẳng đó là lớn nhất

Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC M là một điểm bất kỳ nằm trên cạnh

BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC Tìm vị trí của điểm

Mà IE =

Do đó IE nhỏ nhất  AM nhỏ nhất

 AM  BCVậy khi M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC thì EF có độdài nhỏ nhất

Bài tập áp dụng:

1 Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc miền trong của góc Các điểm M,

N lần lượt chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho góc MAN bằng 90o Xácđịnh vị trí của điểm M, N để tổng AM + AN có độ dài:

4 Cho (O; R) có AB là dây cung cố định không đi qua tâm O C là điểm

di động trên cung lớn AB (C không trùng với A, B) Gọi d là tiếp tuyến tại Ccủa đường tròn (O; R), M và N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ

Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó Tìm điểm B

thuộc Ox, C thuộc Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Thật vậy:

Giả sử B và C là hai điểm bất kỳ trên Ox, Oy Ta phải tìm vị trí của B, Csao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

Gọi A’, A” lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox, Oy Do đó A’, A”

cố định và ta có: AB = A’B

AC = A”CNên PABC = AB + AC + BC = A’B + A”C + BC  A’A”

Do đó minPABC = A’A”  B  Bo, C  Co

Bo và Co là giao điểm của A’A” với Ox, Oy

Như vậy ta cần dựng A’, A” lần lượt đối xứng với A qua Ox, Oy, sau đónối A’A” cắt Ox, Oy tại Bo, Co và vị trí Bo, Co là vị trí của B, C cần tìm

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh

thuộc bốn cạnh của hình vuông (Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông) Tìmđiểu kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất

Gọi P là chu vi của hình tứ giác MNPQ

I, J, K lần lượt là trung điểm của PQ, QN, MN

Như vậy PQ = 2DI

Gọi M là một điểm ở trong tam giác ABC

Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 60o ngược chiều kim đồng hồ.Khi đó: M  M’

C  C’

AMM’ và ACC’ là các tam giác đều.

Chứng minh rằng AA’ là khoảng cách ngắn nhất, BB’ là khoảng cáchlớn nhất trong tất cả các khoảng cách nối hai điểm bất kỳ của hai đường trònđó

2 Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnhcủa hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ nhất

3 Tam giác DEF gọi là nội tiếp tam giác ABC nếu ba đỉnh của tam giácDEF nằm trên ba cạnh của tam giác ABC

Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC cho trước sao cho nó cóchu vi nhỏ nhất

2.2.2.4- Dạng 4: Sử dụng các bất đ ẳng thức trong đư ờng tròn.

- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

- Trong hai dây không bằng nhau của một đường tròn, dây lớn hơn khi

và chỉ khi gần tâm hơn

Trong chương trình Trung Học Cơ Sở các bài toán về đường tròn chỉđược sử dụng với học sinh lớp 9 Các bài tập loại này tương đối phong phú,nhưng khi giải ta chỉ cần sử dụng tốt các kiến thức được học trực tiếp trongsách giáo khoa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm trong đường tròn (M

Nên chỉ cần dựng một dây A’B’ qua M, O

Thì A’B’ chính là day cần phải dựng

A’B’ là dây qua M có độ dài lớn nhất

b, Giả sử AB là một dây bất kỳ qua M

Hạ OH  AB Gọi AoBo là dây qua M sao cho AoBo  OM

Xét tam giác vuông MOH

Có: OM  OH  AB  AoBo

Dấu bằng xảy ra khi H  M

Như vậy dây AB có độ dài nhỏ nhất thì AB  AoBo Hay A  Ao, B  Bo

2 Giả sử PQ là một dây bất kỳ trên đường tròn

Tam giác cân OPQ có hai cạnh bên không đổi

Nên để góc OPM đạt giá trị lớn nhất