(SKKN mới NHẤT) SKKN một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 1... Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm nay, với mon

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 1

BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:

“Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y

sè cho bëi hÖ thøc truy håi”

I LỜI GIỚI THIỆU:

Bài toán tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính toán Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế Các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tôi đã nghiên cứu và

hoàn thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy

số cho bởi hệ thức truy hồi”

II TÊN SÁNG KIẾN:

Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:

- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan

- Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái

- Số điện thoại: 0978 205 898

- Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn

IV CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 3

V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi: Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi - Đại số & giải tích 11

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:

 GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY

SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:

A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định CTSHTQ của dãy số

B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp

C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử

tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass

A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:

1 Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQ un của dãy số

2 Phương pháp:

Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các

số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ un

Bước 2: Tính giới hạn của dãy số   un bằng cách tính limu n ?

download by : skknchat@gmail.com

* Chứng minh u n  n8 (HS tự chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

* Tính giới hạn của dãy số  u n : Ta có: lim un= lim n  8

* Tính giới hạn của dãy số  u n : Ta có: limu = n lim 3 n4 

Tính giới hạn của dãy số  u n cho bởi: 1

1

13; 1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 5

Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)

Phân tích:

- Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm limu thì bài toán trở nên rất n

khó và lạ đối với học sinh

- Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định CTSHTQ của dãy số  u n nhờ vào việc tìm CTSHTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để tính limu n

- Vấn đề đặt ra là nếu không có câu a thì làm sao ta có thể tìm ra cách đặt:

101

3, 15

- Ngoài ra, có thể đặt v n 5 n u n, n 1, khi đó ta có 1

 , với , ,A B C nên áp dụng phân tích trong Ví dụ 3 thì HS

có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng

Tính giới hạn của dãy số  u n xác định bởi: 1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 7

- Có: u n12u n1 (1), ta cần tìm số b để u n1 b 2(u n b)u n1 2u n b (2) Từ (1) và (2) suy ra: b1 Vậy ta sẽ đặt v n u n 1 để giải quyết bài toán trên

limu n lim v n 1 lim 2n   1

Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007)

n

n v

2

n n

Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy  u n bằng phép đổi biến: v n 2 n u n, n 1

Cho dãy số  u n xác định bởi: 1

u u



    

 , trái với giả thiết quy nạp Vậy u n    4, n 1

b) Từ câu a) suy ra v luôn xác định với mọi n  n 1 Ta có:

1

1

1

41

1 6 2( 1) 2

,4

1 2

4 5

u v u

1

4, 16

n n n

u u

u v u





 là một CSN Tính limu n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 9

Suy ra 2

5

n n

    nên

2

4 15215

215

1

1, 1( 1)

 , với A B C, ,  nên ta không thể áp dụng các ví dụ trên để

giải quyết bài toán này

11.2 2

1 1 12.3 2 3

1 1 13.4 3 4

1

1, 1( 1)

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 11

Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

Cho dãy số  u n xác định bởi công thức: u n  2 2   2

(n dấu căn ; n1 ) Tính lim 1 2

2

n n

(ĐS: lim 2 2

2 3

n n

Tính giới hạn của dãy số  u n , xác định bởi: 1

1

; 1

1, 12

6, 13

1 Mục đích:

Tìm giới hạn của dãy số   Vn bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa

Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tích

Cho dãy số  u n xác định bởi công thức: u n 2 2n  2   2

(n dấu căn ; n1 ) Tính limu n

(ĐS: limu n )

(ĐS: lim 2 2

2 3

n n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 13

2 Phương pháp:

Bước 1: Chứng minh:vn u n w ,n  n n n n0; , 0 bằng phương pháp quy nạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét.Bước 2: Chỉ ra : limv n limw n a, kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới hạn của dãy số   vn cho bởi hệ thức truy hồi

Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007)

Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy  u n sẽ gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được giải quyết rất đơn giản

Lời giải:

a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0u n,n

* Chứng minh 1

,4

14

, 12

n n

u

n u

   Tính limu n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 15

4 4

n

 

  , nên theo nguyên lí kẹp thì limu n 0

Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007)

  nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0

Cho dãy số (un) xác định bởi 1

1

10, 1

, 11

n n

n n

u

n u

b) Tính limu n

download by : skknchat@gmail.com

Hướng dẫn:

Dễ ràng chứng minh được u n  1; n bằng phương pháp quy nạp toán học

Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có 1 1 1

n n

 ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1

Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007)

Do đó dãy (u là dãy giảm n)   1 u n u n1     u1 a 0, n 1

Cho dãy số (un) xác định bởi :

1

1 2

1

1, 11

n n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 17

1

1

n n

Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)

Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)

Cho dãy số  u n , xác định bởi: 2

1

1, 12

b) Tính limun (ĐS: limu n= 1)

download by : skknchat@gmail.com

Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)

C – KĨ THUẬT 3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS

1 Mục đích:

Tìm giới hạn của dãy số   un bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass

Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang 154/NXBGD2007) :

“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”

2 Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới

Bước 2: Tính giới hạn của dãy số

Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêu chuẩn (định lí) Weierstass còn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau:

- Nếu dãy số (un ) thõa mãn điều kiện u n M,n và tồn tại giới hạn lim un

thì lim un  M ; nếu dãy số (un ) thõa mãn điều kiện un  m ,  n và tồn tại giới hạn

lim un thì lim un  m

Cho dãy số  u n xác định bởi

0

2 1

121, 0, 1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 19

- Giả sử dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn thì lim lim 1

 n   n

3 Một số ví dụ:

Ví dụ 1: (Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN)

Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là 2cos 1, 1

C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này

Lời giải:

* Chứng minh dãy số (un) tăng bằng phương pháp quy nạp CM u: n1 u n, n 1

Với n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 Đúng

Giả sử uk1 uk, khi đó uk2  2  uk1  2  uk  uk1

Vậy un1>u n, n 1 nên dãy số (un) tăng và bị chặn dưới bởi u1 2

* Chứng minh dãy (un) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp :

Khi n = 1 ta có u1  22

Giả sử u k   2, k 1, khi đó uk1 2  uk  2   2 2

Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn

* Tìm giới hạn của dãy số (un) :

Giả sử limun = a, thì 2 a 2 Ta có limu n1 lim 2u n

Cho dãy số (un) xác định bởi 1

* HS chứng minh u n  0, n bằng phương pháp quy nạp

* Xét tính tăng – giảm của dãy số   un :

* Tìm giới hạn của dãy số   un :

Giả sử lim un  a, chuyển qua giới hạn của hệ thức 1 2

1

n n

n

u u

n n

hạn đó?

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 21

Ta thấy u1u2 1, u3   1 1 2 u2; u4  u3  u2  2 1 u3

Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng

Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp, tức là u n1u n, n 2

Rõ ràng u n   0, n 1 Khi n = 2 ta có u3  2 u2 1

Giả sử u k1 u k, k 2 Ta có u k2  u k1  u k  u k  u k1 u k1, k 2

Nên dãy (un) là dãy số dương tăng u n   u1 1, n 1

Hơn nữa, ta thấy  n 3,u n  u n1 u n2  u n  u n 2 u n

Hay u n2 4u n u n 4(do u n 0) Nên (un) bị chặn trên bởi 4

Do đó dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử limun = a, khi đó a  1 Chuyển qua giới hạn của hệ thức hệ thức truy hồi

Do a  1> 0 nên a = 4 Vậy limu n 4

Nhận xét: Ta có thể gặp những bài toán có dạng tương tự, ví dụ như trong quyển Bài tập giải tích - W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK có bài toán sau:

CMR dãy số (un ) xác định bởi

1 2

12

, 2

u u

Ví dụ 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011 )

Cho dãy số (un) xác định bởi 1

Lời giải:

Trước hết ta nhận thấy: u1 = 2010 > 0 Giả sử u k   0, k 1, ta chứng minh u k10

Từ hệ thức truy hồi suy ra

2 2

2011 1 2011 2011

2011, 1 2011

Cauchy n

Vậy dãy số (un) giảm và bị chặn dưới bởi 2011 nên dãy (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử limun = a, khi đó 0 a 2010, chuyển qua hệ thức truy hồi

2 1

20112

n n

n

u u

Từ (*) suy ra

2 1

1

, 12010

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 23

u

Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a

Vì u n     1, n 1 a 1 Chuyển qua hệ thức truy hồi

2 1

         nên (un) là dãy giảm

Cho dãy số (un) xác định bởi

1 1

01( ), 12

Vậy dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun= L, khi đó L > 0 Chuyển qua hệ

Đáp số: Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khi n  và limun = 2011

2  a , chuyển qua hệ thức truy hồi u n1 3u n12 ta được

Cho dãy số (un) xác định bởi 1

1 1

32

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 25

12

4

, 12

n n

Cho dãy số (un) xác định bởi

1

2 1

31

2, 12

n n

k u k

1

1lim 1

n n

CMR dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?

(ĐS: 0u n  3, n, dãy tăng, limu n 3)

(ĐS: x3)

download by : skknchat@gmail.com

Bài 4: (Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Bài 5: (Các bài toán về dãy số - PHAN HUY KHẢI)

Với số ít bài tập nhỏ này, hy vọng các bạn sẽ có một tài liệu hữu ích để có thể áp dụng vào bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi Đặc biệt, khi đọc phần C – Kĩ thuật 3 chắc chắn sẽ có nhiều bạn thắc mắc rằng làm sao tác giả lại tìm được giá trị bị chặn của mỗi dãy số? Câu trả lời của tôi như sau:

- Bước 1: Căn cứ vào đề bài để tôi có thể suy đoán dãy đã cho tăng hay giảm

(thử một vài giá trị đầu của dãy là biết ngay)

- Bước 2: Nên giải phương trình chuyển qua giới hạn trước các bạn nhé,

việc này vô cùng quan trọng vì đó là căn cứ quyết định giúp chúng ta suy đoán ra giá trị bị chặn của dãy số cho bởi công thức truy hồi đó ạ

- Lưu ý rằng: Một dãy số tăng luôn bị chặn dưới bởi u nên 1 limu nu1, và dãy số giảm luôn bị chặn trên bởi u nên 1 limu n u1

 KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN:

- Các em học sinh khá, giỏi

- Các em học sinh Ôn thi ĐH-CĐ cũng có thể ôn tập thông qua sáng kiến này

Cho dãy số (un) xác định bởi

1 1

11, 13

CMR dãy số   un có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó?

(ĐS: Dãy số   un giảm và bị chặn dưới, 3 5

1, 1

u u

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 27

- Các giáo viên và bạn đọc yêu thích Toán học có thể tham khảo sáng kiến này

- Nguồn tư liệu phong phú:

VIII NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƢỢC BẢO MẬT (Nếu có):

IX CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Giáo án điện tử, phòng học máy chiếu và đối tượng học sinh phù hợp

X ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN:

- Với sáng kiến này Tôi đã giảng dạy cho đội tuyển học sinh khá, giỏi lớp 11 Trường THPT Triệu Thái, và thấy rằng các em hiểu một bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi nên áp dụng kĩ thuật nào vào tìm giới hạn là hợp

lí với nó

- Các em có tri thức, có kỹ năng và rất tích cực, hào hứng giải quyết với loại toán khó này Thực tế đã nhiều em đã giải quyết tốt dạng toán này ở các đề thi ĐH-CĐ và thậm chí là khó hơn

download by : skknchat@gmail.com

Từ những vấn đề đã trình bày, tác giả có thể rút ra một số kết luận và kiến nghị sau:

1 Một điều chắc chắn là không phải mọi bài toán tìm giới hạn của dãy số cho

bởi công thức truy hồi nào cũng có thể áp dụng được ngay một trong ba kĩ thuật cơ bản trên để giải quyết, có những bài ta phải vận dụng thêm kiến thức của phần HÀM

SỐ mới có thể chứng minh được tính đơn điệu của dãy số đó

2 Bản SKKN của Tôi đã tổng kết và xây dựng được một số kĩ thuật tính giới

hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi tương đối rõ ràng và có hệ thống

3.Với sự thay đổi mang tính chất tích cực của ngành giáo dục, Tôi đề xuất các Thầy cô nên rèn luyện kỹ năng cho học sinh nhiều hơn để các thế hệ học sinh có thể thành thạo trong việc giải toán nói chung, và tìm giới hạn của dãy số cho bởi công

thức truy hồi nói riêng

4 Hy vọng bản SKKN này sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những học sinh,

và thầy (cô) giáo và các bạn đọc quan tâm đến việc dạy học, bồi dưỡng môn Toán ở bậc THPT

Do mặt hạn chế về thời gian nên SKKN của Tôi vẫn còn nhiều thiếu sót, mong các quí thầy cô cũng như ai đang quan tâm tới SKKN này chân thành đóng góp ý kiến với tôi Tôi xin chân thành cảm ơn sự đóng góp nhiệt tình của bạn đọc!