(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

Chủ đềquan trọng được đề cập là khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặtphẳng song song với

3 Nội dung báo cáo

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Sự phát triển kinh tế - xã hội, khoa học công nghệ đã đặt ra yêu cầu cần phải đổi

mới nội dung, phương pháp dạy học Bộ GD và ĐT có định hướng: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, sự say mê học tập và ý chí vươn lên” cho học sinh Thực hiện theo mục

tiêu của Bộ GD - ĐT đề ra, trường học đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương phápdạy và học hướng tới đào tạo các thế hệ học sinh thành những con người lao động tíchcực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu

Hình học không gian là bộ môn toán học nghiên cứu các tính chất của các hìnhtrong không gian, đặc điểm của hình học không gian là môn học trừu tượng Chủ đềquan trọng được đề cập là khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặtphẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữahai đường thẳng chéo nhau Vì vậy bài tập khoảng cách trong không gian rất đa dạng vàphong phú Đặc trưng trừu tượng, đa dạng, phong phú là tiềm năng lớn để phát triển tưduy cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách

Tính tích cực của học sinh trong quá trình học tập là yếu tố cơ bản, có tính quyếtđịnh đến chất lượng và hiệu quả học tập Mục tiêu của mọi sự đổi mới phương pháp dạyhọc, xét đến cùng phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh.Vấn đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm của quá trình dạy học Trong quá trìnhdạy học người thầy biết sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học một cách hiệu quảnhằm phát huy cao độ vai trò nội lực của học sinh Phương pháp dạy học nêu vấn đề,phương pháp thực hành, phương pháp làm việc theo nhóm, phương pháp tình

2download by : skknchat@gmail.com

huống nếu được chuẩn bị tốt sẽ thực sự kích thích tính chủ động tích cực của học sinh.Tuy nhiên, theo tôi một thành tố cũng quan trọng không kém đó là tạo được tâm lý tốtcho học sinh, giúp các em tự tin vào khả năng của mình, khả năng giải quyết thành côngbài toán.

Qua tìm hiểu tôi thấy đã có rất nhiều chuyên đề của các thầy cô đồng nghiệp nghiêncứu về hình học không gian, trong đó đã đưa ra tương đối đầy đủ các phương pháp giảitoán Tuy nhiên, còn ít thầy cô đề cập đến định hướng tư duy cho các em trong giải bàitập, dẫn đến học sinh khó tiếp cận được với lời giải bài toán, tư duy hình học ít được pháttriển

Qua chuyên đề này tôi muốn giúp các em có một lối mòn trong định hướng giải quyết một bài tập hình không gian, đó là tư duy đưa lạ về quen, luyện tập tốt bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, từ đó đưa các bài toán khoảng cách khác về bài toán trên Đối với nhiều bài toán thì đây không phải là cách giải hay nhưng đây là một hướng giải quen, có tư duy mạch lạc

2 Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình

học không gian

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Đức Thịnh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn

- Số điện thoại: 0984490608 E_mail:

nguyenducthinhgv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Đây là chuyên đề được tôi tổng hợp, xây dựng

lại theo suy nghĩ của tôi, có tham khảo bài viết của một số đồng nghiệp qua mạngInternet Chuyên đề được tôi sử dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy chuyên đề ônthi đại học

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán lớp

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm học 2017 –

2018, tôi được giao nhiệm vụ dạy học môn toán lớp 11A1,11A4 và 12A2 Chuyên đề này đã được tôi dạy thử nghiệm trong các tiết học chuyên đề 11A1 tháng 4/2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào một cách tiếp cận bài toán khoảng cách trongkhông gian theo hướng lôgic, hệ thống và gần gũi hơn Đề tài tập trung khai thác bài toánkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, sau đó đưa các dạng bài toán khoảng cáchkhác về bài toán trên

7.1 Các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian

7.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  Kí

Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể: Xác định hình chiếu

H của O trên  và tính OH.

-7.1.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng 

và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kí hiệu

* Nhận xét

Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () song song với nóđược quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì củamặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu

* Nhận xét

Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7.1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông

góc chung  cắt a tại M và cắt b tại N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

+ Sử dụng phương pháp tọa độ

* Đặc biệt

- Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của

AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

7.2 Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH   ( ) Khi đó Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từđỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến củahai mặt bên này

6download by : skknchat@gmail.com

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao

là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

, có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải Hạ

Trong (SOK) kẻ

Trong tam giác vuông OBC có:

Trong tam giác vuông SOK có:

Vậy

Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có

đáy ABC là tam giác vuông tại A, ,

là tam giác đều cạnh a,

Tính

D

B

Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung

điểm của BC, CD và AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

+ Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ

Mặt khác, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: hay

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay

AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặtphẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB)

Lời giải:

8download by : skknchat@gmail.com

N M

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO  (ABCD)

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên

Vậy:

Vậy

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông

góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của Atrên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)

C A

D

B

S

H K

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt

phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên

ta tính được diện tích của nó

Lời giải.

Cách 1:

Trong đó:

;

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên

Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm

của HK nên AG  HK và

10

I G

J

download by : skknchat@gmail.com

Tứ diện ASBD vuông tại A nên:

Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

Cách 2: Ta chứng minh

Ta có:

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; )

Áp dụng công thức

Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC.

* AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC

Tương tự AK  SC Vậy SC  (AHK)

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC

 OJ  (AHK)

SA = AC =  SAC cân tại A  I là trung điểm của SC.

Vậy

7.2.3 Phương pháp trượt điểm

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt điểm O trên một đường thẳng

đến một vị trí thuận lợi , ta quy việc tính về việc tính Ta thường

sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì , nếu I là trung điểm của MN thì

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a;

mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a, ^SBC=300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a

B

C H A

S

K

download by : skknchat@gmail.com

 HI = \f(AB.CH,AC = \f(3a,5

 d(H;(SAC)) = HK = 3√147 a2

Mà d (H ;(SAC )) d (B ;(SAC ))= 4  d(B;(SAC)) = 6√77 a2

Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối B năm 2011)

Cho lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật

Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC

và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích của khối

lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

I

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,

và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)

Phân tích: Do , nên thay vì việc tính ta đi tính

, tương tự như vậy ta có thể quy việc tính thông qua việc tính hay

Lời giải.

14download by : skknchat@gmail.com

a) Ta có: nên:

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:

Trong tam giác vuông SAB có:

b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB

Ta có:

Câu 4 (Đề HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 - 2018) Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh và tam giác là tam giác cân tại đỉnh Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng , góc giữa mặt phẳng vàmặt phẳng đáy bằng Tính khoảng cách từ đến

O

F E

D

C B

A S

Lời giải:

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt đáy, là trung điểm

cân tại nên và kết hợp với suy ra

Vậy là trung trực của , cắt tại là trung điểm của

Nên theo giả thiết ta được:

+

+

Trong tam giác ta có:

Từ đó tính được:

7.2.4 Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

1 Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh

đó đều là góc vuông

2 Tính chất Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đóđường cao OH được tính bằng công thức

16download by : skknchat@gmail.com

Chứng minh.

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra Trong các tam giác

vuông OAD và OBC ta có

Vì vậy

Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , SA=2a,

O

D

C B

A S

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

a) Tính ( ,(d D SBC))

b) Tính ( ,(d A SBC))

Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là

giao điểm của hai đường thẳng AD và BC

Từ (1) và (2) suy ra: hay

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình

học

Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng cáccông thức sau:

với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương

với là đường thẳng đi qua và có vtcp

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng Tính khoảng

cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Phương trình mặt phẳng (SCD):

Ví dụ 2 ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);

AC= AD=4 cm ; AB=3 cm ; BC=5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(BCD)

D

C B

A

download by : skknchat@gmail.com

Ví dụ 3 ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

SA vuông góc với đáy và Gọi H là hình chiếu của A trên SB Chứng minhtam giác SCD vuông và tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB

Phương trình tham số của SB : ( )

(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ làm pháp vectơ

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các

hệ thức vecto theo hệ vecto gốc

Bước 3: Chuyển các kết luận “vecto” sang các kết quả hình học tương ứng.

Ví dụ 1 (Đề thi đại học khối D năm 2007).

N E H

K

M

D

C B

A S

download by : skknchat@gmail.com

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Ta có:

Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.

Phân tích Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt

phẳng (SCD) là khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việctính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Lời giải

Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM Ta có:

Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM

Từ đó ta có:

Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:

Vậy

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ vecto gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài

toán bằng phương pháp vecto Nói chung việc lựa chọn hệ vecto gốc phải thoả mãn haiyêu cầu:

+ Hệ vecto gốc phải là ba vecto không đồng phẳng

24

a 3

a E

C

A

D B

S

download by : skknchat@gmail.com

+ Hệ vecto gốc nên là hệ vecto mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toánthành ngôn ngữ vecto một cách đơn giản nhất.

Ví dụ 2 (Đề thi ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh là điểmđối xứng của qua trung điểm của lần lượt là trung điểm của và Tínhkhoảng cách giữa và

Giải:

c

b a P

N

M E

O

S

D

C B

Cách 2:

Ta có: ; nên tứ giác là hình bình hành

Do hình chóp SABCD đều

7.3 Giải các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian bằng cách đưa

về dạng bài tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7.3.1 Giải bài toán tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Ví dụ 1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc