Giải quyết vấn đề1 Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 4 3 Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện 26 4 Kết quả áp dụng đề tài 27 Phần III..
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Một số phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
Lĩnh vực: Toán Cấp học: Trung học cơ sở
Năm học 2016-2017
MÃ SKKN
Trang 2Phần II Giải quyết vấn đề
1 Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử 4
3 Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện 26
4 Kết quả áp dụng đề tài 27
Phần III Kết luận và khuyến nghị 28
Phần IV Tài liệu tham khảo 29
Trang 3b Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Làmột môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếmlĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chươngtrình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra nhữngbiện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đangtrực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những họcsinh có năng khiếu về bộ môn Toán Giúp cho các em trở thành những học sinhgiỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyênmôn được ngành giáo dục hết sức chú trọng Các cuộc thi học sinh giỏi các cấpđược tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó
Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi, trong đó chuyên đề “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học
sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số Chẳng hạn,
để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đathức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khókhăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử,thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, nhiều nămcũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Chính vì
Trang 4vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử
là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm
c Cơ sở thực tiễn
Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồidưỡng học sinh Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạobồi dưỡng học sinh giỏi
Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “ Một số phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
2 Mục đích của đề tài
- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử
- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phươngpháp giải bài tập thích hợp cho từng bài
- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thứcthành nhân tử trong giảng dạy
- Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu
3 Giới hạn của đề tài
Đề tài này tôi áp dụng tại nhà trường đang dạy
4 Đối tượng nghiên cứu
Học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 của nhà trường
5 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận
b) Phương pháp khảo sát thực tiễn
c) Phương pháp quan sát
d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa
e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6 Kế hoạch nghiên cứu
-Từ tháng 8/2016 đến tháng 10/2016: Đọc tài liệu liên quan đến đề tài
-Từ tháng 11/2016 đến tháng 12/2016: Lập đề cương đề tài
-Từ tháng 1/2017 đến tháng 3/2017: Hoàn thiện đề tài
Trang 5
PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thànhtích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thựchành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩnăng “sơ cấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thườngdùng để phân tích một đa thức thành nhân tử
1 Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đốivới phép cộng (theo chiều ngược)
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
Trang 6= (5c + 2d)(ax – 4a2)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trang 7Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x6 + x4 + x2 + 1
Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trang 8Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số
Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc
Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)
Trang 9= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trang 10= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách
khác giải như sau :
Trang 11= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
* Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để
có thể phân tích đa thước thành nhân tử
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phảinhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tửchung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳngthức Cụ thể các ví dụ sau:
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tửchung, vậy làm gì để phân tích được Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân
tử chung Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên
P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhấtlàm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2 Sử dụng hằng đẳng thức
ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b)
Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy tatiếp tục đặt nhân tử chung
P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Trang 12Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
4 Phương pháp sử dụng phép chia đa thức:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x –a).g(x) ,g(x) là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phântích tiếp g(x)
Trang 13Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một
đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức
Trang 14này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùngphương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trang 16D = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân
tích đa thức sau thành nhân tử :
Trang 18Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5) Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) bằng phương pháp tách số hạng
ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = bBước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + px + q x + c
Trang 19Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trang 22Sau đây là một số ví dụ :
Trang 23Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
Trang 24Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
C = x4 – 8x + 63
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:
Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
8 Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt”thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh Trong phương phápnày ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến cácgiá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì A = y2(y – z) + y2(z – y) = 0
Như vậy A chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì A không đổi ( tanói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x y z x Do đó nếu A chứa thừa
số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy A có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì A có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còncác tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúngvới mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Trang 25Như vậy B chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức B có thể hoán vị vòng quanh x y z x Do đó nếu Bchứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy B có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác B là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia B cho
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
Trang 26Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :
Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)
Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì Q không thay đổi.
Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) =4abc
Trang 27II Thực trạng vấn đề: Từ năm học 2011-2012 cho đến nay tôi luôn được
nhà trường phân công dạy Toán hai lớp 8 và 9 Qua thực tế giảng dạy, qua dựgiờ thăm lớp của đồng nghiệp và qua các kỳ thi chất lượng, thi học sinh giỏi cáccấp, tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạngbài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn biểu thức,tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải các bài tập này cần phải có kỹ năngphân tích đa thức thành nhân tử Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết đề tài và ápdụng trực tiếp vào việc ôn luyện HSG lớp 8 và lớp 9
III Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiệnviệc bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giảipháp thực hiện như sau:
- Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cầnphải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải đượccác bài toán khó một cách thành thạo Cần phải có một phương pháp giảng dạyphù hợp kích thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh
- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng Chính vì vậy,giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bảnbao gồm tất cả các chuyên đề Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra nhữngbài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng củamình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại
- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đốitượng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng họcsinh Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quátrình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thờinhững sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực vàquyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên đề bồidưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa ra
- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho họcsinh những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi Điều này sẽ làm cho các em khótránh khỏi những thất bại khi tham dự những cuộc thi lớn Chính vì vậy, giáoviên cần luôn có những bài toán khó, những yêu cầu cao để các em thấy đượcquá trình học bồi dưỡng học sinh giỏi là một quá trình không thể diễn ra trongngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuynhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải được các bài
Trang 28toán khó sẽ gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng củamình.
II Hiệu quả áp dụng đề tài:
Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi mônToán lớp 8 và lớp 9 tại nhà trường đã thu được các kết quả khả quan
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên, đặc biệt là các em hứng thú họctoán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử đểlàm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt Đa sốcác em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thông thường mộtcách thành thạo, một số em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đathức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinhnghiệm Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với cácdạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số thủ thuậttrong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn Toán
Trang 29PHẦN III KẾT LUẬN
Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài,bền bỉ Bởi vì các em đã có cả một quá trình 9 năm học Toán Để có được nhữnghọc sinh giỏi, chúng ta cần phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ nămhọc lớp 6 Với 4 năm liên tục, cùng với sự nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắnchúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự về bộ môn Toán
Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quátrình bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong nhữngmạch kiến thức rất trọng tâm của chương trình Toán
Đề tài này tuy đã được áp dụng có hiệu quả song cũng không tránh khỏinhững hạn chế nhất định Bản thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ sung của cácbạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để đề tài của tôi có thể hoàn thiệnhơn
Tôi xin trân trọng cảm ơn!