Các em học sinh thường nhầm lẫn giữa kí hiệu và khái niệm được định nghĩa.Các em học sinh chưa có cái nhìn bao quát về toán tổ hợp xác suất để giải được bàitập sách giáo khoa đồng thời n
Trang 1Các em học sinh thường nhầm lẫn giữa kí hiệu và khái niệm được định nghĩa.
Các em học sinh chưa có cái nhìn bao quát về toán tổ hợp xác suất để giải được bàitập sách giáo khoa đồng thời nâng cao một số bài tập mới đáp ứng chương trình thi tốtnghiệp THPT Quốc gia sau này
- Về nguyên nhân thực trạng:
Trang 2Các kí hiệu, khái niệm và công thức trong chương này hoàn toàn mới so với họcsinh Các khái niệm được trình bày dưới dạng mô tả làm cho các em khó hình dung, khóphân biệt và khó nhớ.
Các em học sinh chưa nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kĩ năng
Đề bài tập phần lớn cho dưới dạng mô tả, cách thức suy luận khác với đại số từtrước đến nay làm cho học sinh dễ nhầm lẫn trong khâu đọc đề và phân tích bài toán
- Giới hạn nghiên cứu của đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức cơ bản
về tổ hợp và xác suất trong chương trình SGK lớp 11 cơ bản ở trường THPT
3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp:
Giúp học sinh:
+Nắm vững các kí hiệu, khái niệm, công thức tổ hợp xác suất đồng thời hệ thống lạinội dung chương trình nhằm giải quyết tốt các bài toán SGK cũng như hướng tới kì thi tốtnghiệp THPT Quốc gia
+Giải được các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp các em linh hoạthơn trong việc lựa chọn phương pháp tối ưu
+Chỉ ra các sai lầm thường mắc phải giúp các em hiểu rõ vấn đề hơn, triển khai ýbài toán không sai lệch
- Nội dung giải pháp:
Trang 3
PHẦN 1: Trước hết cần tóm tắt nội dung chính của chương Tổ hợp – Xác suất:
* Quy tắc đếm:
+ Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động.
Nếu hành động này có cách thực hiện, hành động kia có cách thực hiện không trùngvới bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có cách thực hiện
Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
+ Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu
hành động thứ nhất có cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có cách thực hiệnhành động thứ hai thì có cách hoàn thành công việc
Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Trang 4
+ Chỉnh hợp: Cho tập hợp gồm n phần tử ( )
Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếpchúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đãcho
Kí hiệu số chỉnh hợp chập của phần tử là , ta có công thức:
* Phép thử và biến cố:
+ Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó
Trang 5
+ Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi
là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là
+ Biến cố: là một tập con của không gian mẫu.
+ Biến cố đối: Tập được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là
+ Biến cố xung khắc: Hai biến cố và được gọi là xung khắc nếu
* Xác suất của biến cố:
+ Xác suất của biến cố: Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử với
không gian mẫu chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện
Xác suất của biến cố kí hiệu là và
+ Tính chất của xác suất: Giả sử và là các biến cố Ta có:
Nếu là hai biến cố bất kì thì
+ Biến cố độc lập: độc lập ( công thức nhân xác suất )
PHẦN 2:
Sau đây là một số biện pháp tôi thường dùng khi giảng dạy chương này
* Hoạt động hình thành kiến thức dựa vào hình ảnh trực quan, bài toán thực tế.
Ví dụ 1: Hoạt động hình thành khái niệm Tổ hợp:
Cho mỗi học sinh trả lời bằng phiếu học tập
Trang 6Mai có năm hoa hồng được đánh số từ 1 đến 5, ba hoa cúc được đánh số từ 6 đến 8, nămhoa tulíp được đánh số từ 9 đến 13.
Nhân ngày 8 – 3, Mai định làm một bó hoa gồm 3 bông hoa bất kì để tặng mẹ
- Các em hãy chỉ ra ba cách chọn giúp Mai làm thành một bó hoa
- Trong mỗi cách chọn, nếu chúng ta thay đổi vị trí của các bông hoa thì có tạothành một bó hoa mới không?
Ví dụ 2: Hoạt động hình thành khái niệm Xác suất của biến cố:
Cho học sinh hoạt động nhóm 2 em
Bài toán: Cha của An mua vé số tỉnh Hậu Giang có 6 chữ số.
Trang 7
Cơ cấu giải thưởng như sau:
Hỏi: - Khả năng cha An trúng giải đặc biệt là bao nhiêu?
- Khả năng cha An trúng giải tám là bao nhiêu?
* Hoạt động luyện tập phải phân biệt rõ các khái niệm cũng như phán đoán tổng quát bằng các câu hỏi trắc nghiệm:
Ví dụ 1: Một số hoạt động luyện tập khi học khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp –
Tổ hợp:
Sau khi học khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp phải giúp cho học sinh phânbiệt:
Trang 8
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp có phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu có
các dấu hiệu sau:
+ Chọn hết các phần tử của
+ Sắp thứ tự các phần tử
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp có phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu
có các dấu hiệu sau:
+ Sắp thứ tự các phần tử đã chọn
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp có phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có
các dấu hiệu sau:
Trang 9
Câu 3: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số
đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ sốhàng chục lớn hơn hàng đơn vị
Lời gi ải:
Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A Nghĩa là không
có hoán vị hay mỗi kết quả là một tổ hợp chập 4 của 10
Vậy có số tự nhiên cần tìm
Câu 4: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam Hỏi giáo viên chủ
nhiệm có bao nhiêu cách chọn ba học sinh làm ban các sự lớp?
Lời gi ải:
Số cách chọn ban cán sự:
Câu 5: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam Hỏi giáo viên chủ
nhiệm có bao nhiêu cách chọn ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư?
Số cách chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó và bí thư là
Câu 6: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1
nữ Hỏi có bao nhiêu cách?
Lời gi ải:
Số cách chọn 3 người bất kì là:
Số cách chọn 3 người đều là nam là:
Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là:
cách
Trang 10
Câu 7: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS
khối 11 và 5 HS khối10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có
Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán:
Câu 8: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó ,10
câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi
đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó, dễ,trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2?
Vậy có: đề kiểm tra
Câu 9: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10
học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 họcsinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
Trang 11
* TH2: Tổ 2 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được cách chia
* TH3: Tổ 3 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được cách chia
Câu 10: Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh
văn và các cuốn sách đôi một khác nhau Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 họcsinh Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại?
Lời gi ải:
Tặng hai thể loại Toán, Văn có : cách
Tặng hai thể loại Toán, Anh Văn có : cách
Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có : cách
Số cách tặng:
Ví dụ 2: Một số hoạt động luyện tập khi học khái niệm Xác suất:
Sau khi học khái niệm Xác suất phải giúp cho học sinh phân biệt:
- Phép thử xác định được số phần tử của không gian mẫu ta tính xác suất theo công
Câu 2: Gieo một con súc sắc hai lần Gọi biến cố A:“ số chấm xuất hiện ở cả hai lần
gieo giống nhau” Số phần tử của biến cố A là:
Trang 12Câu 4: Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài Tìm xác
suất của biến cố A: “Rút ra được tứ quý K”
Câu 5: Trong một chiếc hộp có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng Các viên bi đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tìm xác suất củabiến cố A: “ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
Lời gi ải:
Gọi biến cố A :“ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: nên ta có:
Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là
Trang 13
Câu 6: Trong một chiếc hộp có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng Các viên bi đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tìm xác suất củabiến cố B: “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”
Lời gi ải:
Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: nên ta có:
Gọi B : “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”
Ta có:
Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu:
Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu
Câu 7: Một bình đựng 7 viên bi trắng , 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ Các viên bi đôi
một khác nhau Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất của các biến cố C: “ Lấy cả baviên bi không có bi đỏ”
Lời gi ải:
Ta có:
Câu 8: Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu Một học sinh học
thuộc 80 câu Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu họcthuộc
Lời giải :
Chọn 5 câu làm một đề
Trang 14Gọi A: “Chọn được đề thi có 4 câu học thuộc”.
Câu 9: Hai cầu thủ sút phạt đền Mỗi người đá 1 lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7 Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn.
Lời giải :
Gọi A là biến cố “cầu thủ thứ nhất làm bàn”
B là biến cố “cầu thủ thứ hai làm bàn”
X là biến cố “ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn”
Ta có:
Câu 10: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 Tìm xác suất sao cho 3
lần sinh có ít nhất 1 con trai
*Hệ thống một số dạng bài tập cơ bản của tổ hợp xác suất:
Trước tiên học sinh phải nhận được dạng của bài toán
DẠNG 1: Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân:
Phương pháp:
Nếu công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động thì ta dùng quy tắccộng Nếu công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp thì ta dùng quy tắcnhân
Trang 15Vậy: Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn vào và ra chợ là cách.
b) Tương tự: Số cách chọn vào và ra chợ bằng 2 cổng khác nhau là: cách
Nhận xét: Học sinh phải phân biệt được hai hành động hoàn thành công việc có
liên tiếp không để áp dụng đúng quy tắc đếm
BÀI 2: Cho tập hợp Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ sốphân biệt thuộc tập hợp A:
Trang 16Vậy, áp dụng quy tắc cộng, số các số tự nhiên cần tìm là số
b) Tương tự câu a, ta xét hoặc hoặc , số các số tự nhiên cần tìm là
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp có phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu có
các dấu hiệu sau:
+ Chọn hết các phần tử của
+ Sắp thứ tự các phần tử
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp có phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu
có các dấu hiệu sau:
+ Sắp thứ tự các phần tử đã chọn
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp có phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có
các dấu hiệu sau:
Trang 17
+ Không sắp thứ tự các phần tử đã chọn
BÀI 1: Trong không gian cho tập hợp X gồm 10 điểm phân biệt được kí hiệu A, B,
C, D, E, F, G, H, I, J trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các điểm này lên môt đường thẳng?
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các điểm này lên môt đường tròn?
c) Hỏi có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành?
d) Hỏi có bao nhiêu véctơ được tạo thành?
e) Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Giải:
a) Mỗi cách sắp xếp các điểm này lên môt đường thẳng là một hoán vị của 10 phần
b) Cố định một điểm bất kì trên đường tròn Mỗi cách sắp xếp các điểm còn lại lên
một đường tròn là một hoán vị của 9 phần tử Số cách sắp xếp là: cách c) Mỗi đường thẳng được tạo thành là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử Số cách
Trang 18b) Có bao nhiêu cách chọn sao cho 1 nam làm tổ trưởng, 1 nữ làm tổ phó và 3 tổviên nam?
Vậy: số cách chọn theo yêu cầu đề bài là cách
Nhận xét: Học sinh ngoài việc phân biệt đúng yếu tố được dùng là tổ hợp còn phải
xác định đúng các bước chọn trong bài
DẠNG 3: Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhị thức
Phương pháp:
- Đưa khai triển nhị thức về dạng
- Xác định k bằng cách giải phương trình
- Tính hệ số theo yêu cầu đề bài
a) Tìm hệ số của trong khai triển trên
b) Tìm số hạng không chứa trong khai triển trên
Giải:
Trang 19Theo yêu cầu đề bài
Vậy: số hạng không chứa là
Nhận xét: Học sinh phải nắm bắt được công thức số hạng tổng quát ,nhận diện được Đồng thời giúp học sinh nhớ lại một số công thức về lũy thừa
DẠNG 4: Tính tổng bằng khai triển Niu-tơn và cho một giá trị thích hợp Phương pháp:
- Khai triển
- Dựa vào yêu cầu của đề bài cho nhận một hay hai giá trị thích hợp.
BÀI 1: Cho là số nguyên dương chẵn Hãy tính:
Trang 20- Tính xác suất của biến cố theo công thức
BÀI 1: Cha của An mua vé số tỉnh Hậu Giang có 6 chữ số Biết điều lệ giải thưởng như
Trang 21a) Giải đặc biệt.
b) Giải phụ đặc biệt
c) Giải khuyến khích
Giải:
Số phần tử của không gian mẫu:
a) Gọi A: “Cha An trúng giải đặc biệt”
Nhận xét: Ngoài việc nhớ công thức tính xác suất của biến cố học sinh phải nắm
vững quy tắc đếm; việc sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp hợp lí để xác định chính xác
số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố Đặc biệt phải nhấn mạnh cáckết quả đồng khả năng xuất hiện
DẠNG 6: Tính xác suất của biến cố theo tính chất
Trang 22- Tính xác suất của biến cố theo tính chất trên.
BÀI 1: Xác suất để một học sinh thi đỗ đại học lần đầu là 0,4 Nếu thi trượt thì học sinh
đó thi lại và xác suất thi đỗ của lần thi thứ hai là 0,75 Chọn ngẫu nhiên một học sinh.Tính xác suất để học sinh đó:
a) Không thi đỗ lần đầu
b) Thi đỗ
Giải:
a) Gọi A: “Học sinh đó thi đỗ lần đầu”
: “Học sinh đó không thi đỗ lần đầu”
b) Gọi B: “Học sinh đó thi đỗ lần thứ hai”
C: “Học sinh đó thi đỗ”
Nhận xét: Nắm kĩ và xác định đúng tính chất của biến cố: khi nào thì hai biến cố
xung khắc, đối nhau hay là độc lập Phân tích cho học sinh thấy được sự giống nhau vàkhác nhau giữa hai biến cố đối nhau và hai biến cố xung khắc
*Phân tích sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp - xác suất
Bài 1: Một nhóm học sinh học tiếng Anh gồm 18 nam và 4 nữ Cần chọn ra 5 em
để khảo sát chất lượng Tính xác suất sao cho có ít nhất 1 nữ?
Giải:
Cách 1: Số phần tử của không gian mẫu:
Trang 23Gọi A: “Chọn ra 5 em có it nhất 1 nữ”
Cách giải sai thường gặp:
Số phần tử của không gian mẫu:
Gọi A: “Chọn ra 5 em có it nhất 1 nữ”
Nhận xét: Việc chọn 1 nữ A từ 4 bạn nữ và 4 bạn B, C, d, e từ 21 bạn còn lại so với cách
chọn 1 nữ B từ 4 bạn nữ và 4 bạn A, C, d, e từ 21 bạn còn lại chỉ cho một kết quả gồm{A, B, C, d, e} Với cách làm trên dẫn đến lặp lại kết quả nên tính xác suất không chínhxác
Bài 2: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên
6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu (Đề thi HK1 tại Trường năm học 2017 - 2018)
Trang 24Giải:
Cách 1: Số phần tử không gian mẫu
Gọi là biến cố 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu
● Trường hợp 1: Chọn 6 viên bi chỉ có 1 màu
Do đó trường hợp này có cách
● Trường hợp 2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có cách
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có cách
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có cách
Vậy xác suất cần tính
Cách 2: Số phần tử không gian mẫu
Gọi là biến cố 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu
Cách giải sai thường gặp:
Số phần tử không gian mẫu
Gọi là biến cố 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu
● Trường hợp 1: Chọn 6 viên bi chỉ có 1 màu
Do đó trường hợp này có cách
● Trường hợp 2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có cách
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có cách
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có cách
Do đó trường hợp này có cách
Vậy xác suất cần tính
Nhận xét: Sai sót thường gặp của học sinh là phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn
đến lặp lại kết quả Việc chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng hay việc chọn 6 viên
