I bài tập TĨNH điện 1

Điện tích các bản là S... Môi trường điện môi không đồng nhất -Belarus Phần 1... FCác ion hiện đang ở một bẫy Penning như trên.. Tìm các phương trình vi phân xt và yt cho

Trang 1

I.TĨNH ĐIỆN Bài 1 Hình vẽ cho thấy một vật dẫn hình cầu A có bán kính a (quả cầu A) được bao quanh

bởi một vỏ cầu B các điện trung hòa có bán kính b (b>a) Ban đầu

các khóa S1,S2 và S3 đều hở và quả cầu A mang điện tích Q Đầu

tiên, khóa S1 được đóng để kết nối với vỏ cầu B với mặt đất đủ lâu

và sau đó mở ra Tiếp theo đóng khóa S2 để quả cầu A được nối đất

đủ lâu và sau đó mở Cuối cùng, đóng khóa S3 để kết nối hai quả

cầu A và B Tìm nhiệt lượng được sinh ra sau khi đóng khóa S3

Vận dụng với a=2cm, b=4cm và Q=8mC

Bài 2 (Điện môi không đồng nhất) Hai bản tụ điện phẳng có điện tích  q Khoảng giữa hai

bản chứa đầy một chất mà hằng số điện môi của nó biến thiên theo phương vuông góc vơí mặt bản theo quy luật ( ) 1

1 1 + −

=  x / d

 Trong đó x là khoảng cách đến bản tích điện dương, d

là khoảng cách giữa hai bản Tìm mật độ điện tích khối như là hàm số của x Điện tích các bản là S

Đáp số Mật độ điện tích khối:

1

q Sd





=

Bài 3 Điện tích điểm bên trong vỏ cầu dẫn (US)

Một điện tích dương q được đặt bên trong một vỏ cầu rỗng dẫn điện và trung hòa về điện Vỏ cầu có bán kính trong là a và bán kính ngoài b; độ dày b-a là đáng kể (hình 3.1a) Tâm quả cầu đặt tại gốc tọa độ

1 Điện tích q đặt tại tâm quả cầu

1a Hãy xác định cường độ điện trường bên ngoài vỏ cầu tại x = b

1b Vẽ đồ thị biểu diễn độ lớn điện trường dọc theo trục x trên hệ

trục tọa độ ở hình 3.1b

1c Xác định điện thế tại x = a

1d Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện thế dọc theo trục x

trên hệ trục tọa độ ở hình 3.1c

2 Giả sử bây giờ điện tích điểm q đặt trên trục x tại điểm x =

2a/3

2a Hãy xác định độ lớn điện trường tại một điểm x = b bên ngoài

vỏ cầu

2b Vẽ đồ thị biểu diễn độ lớn điện trường dọc theo trục x trên hệ trục tọa độ ở hình 3.1b 2c Xác định điện thế tại x = a

2d Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện thế dọc theo trục x trên hệ trục tọa độ ở hình 3.1c

Trang 2

2e Vẽ các đường sức điện (nếu có) bên trong vỏ cầu, ở giữa hai mặt cầu và bên ngoài vỏ cầu trên hình 3.1a Trong mỗi vùng nêu trên, cần vẽ ít nhất 8 đường sức nếu điện trường ở đó khác

0

Bài 4 Phương trình của một đường sức trường cho một tập hợp các điện tích

Có N điện tích q1, ,q N được phân bố trên trục Oz

Chứng tỏ rằng phương trình của một đường sức

trường có dạng:

1

q cos

N

i

cte



=

 , trong đó các góc i được xác định

trên sơ đồ bên

Lưu ý:

Kinh nghiệm về bài toán tìm phương trình đường sức, căn cứ vào tính chất sau:

+E luôn tiếp tuyến với đường sức tại mỗi điểm, nên E / / d r

+ Từ đó suy ra ( E  d r ) = 0

Bài 5 (Môi trường điện môi không đồng nhất -Belarus)

Phần 1 Hằng số điện môi thay đổi

1a Một tụ điện phẳng được làm từ hai bản kim loại phẳng diện tích S, đặt cách nhau một khoảng h Khoảng không gian giữa hai bản tụ được lấp đầy bằng hai lớp điện môi có chiều dày giống nhau với các hằng số điện môi là 1 và 2(hình 3.6a) Tìm điện dung của tụ điện

này

Người ta đặt vào hai bản tụ một hiệu điện thế không đổi U0 Hãy tìm mật độ điện mặt trên các

bản tụ 0 và trên mặt phân cách hai lớp điện môi  '

1b Một tụ điện phẳng được làm từ hai bản kim loại phẳng diện tích S, đặt cách nhau một khoảng h Khoảng không gian giữa hai bản tụ được lấp đầy bằng hai lớp điện môi có chiều dày giống nhau với các hằng số điện môi là 1 ở rìa trái và bằng 2 ở rìa phải Hằng số điện môi thay đổi theo quy luật sau: ε(x) = 1

(ax b+ )− (hình 3.6b)

i)Biểu diễn các thông số của quy luật này qua 1và 2

ii)Tìm điện dung của tụ điện

Trang 3

iii)Người ta đặt vào hai bản tụ một hiệu điện thế không đổi U0 Bên trong lòng điện môi

sẽ xuất hiện các điện tích khối phân cực Hãy tìm mật độ điện tích khối như một hàm của tọa độ  (x)

Phần 2 Độ dẫn thay đổi

2a Một điện trở cấu tạo từ hai bản kim loại diện tích S đặt song song và cách nhau một khoảng

h Khoảng không gian giữa hai bản được lấp đầy bằng hai lớp dày bằng nhau và được làm từ các chất dẫn điện kém có điện trở suất 1 và 2 (hình 3.6c) Tìm giá trị của điện trở

Người ta đặt vào hai bản kim loại một hiệu điện thế không đổi U0 Tìm mật độ điện mặt  'ở trên mặt phân cách hai lớp điện môi Bỏ qua các điện tích phân cực

2b Một điện trở cấu tạo từ hai bản kim loại diện tích S đặt song song và cách nhau một khoảng

h Khoảng không gian giữa hai bản tụ được lấp đầy bằng chất có điện trở suất thay đổi tuyến tính sao cho ở rìa trái giá trị của nó bằng 1, còn ở rìa phải bằng 2 (hình 3.6d)

i)Viết biểu thức mô tả sự thay đổi của điện trở suất

ii)Tìm giá trị của điện trở

iii)Người ta đặt vào hai bản kim loại một hiệu điện thế không đổi U0 Bên trong vật chất

sẽ xuất hiện các điện tích khối Hãy tìm mật độ điện tích khối này như một hàm của tọa độ  (x)

Đáp số

2 S

C

h

  

=

+

1b.i)

1 2

1 ( )

x

x h

+ ; ii)

2 S

C

h

  

= +

2

S

0

h

−

=

+

2b.i) Vì điện trở suất thay đổi tuyến tính theo tọa độ: 2 1

1

h

Trang 4

ii) Điệntích khối 0 0 2 1

2

( )

k

U x

h



−

=

+ iii) Giống như phần trên, mật độ điện khối bằng hằng số

Bài 6 Các mặt đẳng thế của một đường hai dây

Hai sợi dây thẳng dài vô hạn, song song với trục Oz và có phương trình Descartes lần lượt là

x = +a và x = -a, có mật độ điện dài đều dây thứ nhất + và dây thứ hai − (  > 0) Ký hiệu

1

A và A2 lần lượt là giao điểm của chúng với mặt phẳng xOy

Một điểm M có vị trí xác định bởi các tọa độ trụ (r, θ, z) và ký hiệu r1 và r2 là khoảng cách,

một là giữa M và dây thứ nhất, một là giữa M và dây thứ hai Ta sẽ chọn gốc của các thế là gốc tọa độ O Hãy nêu đặc tính của mặt đẳng thế, trong tọa độ trụ của phân bố này Hãy biểu diễn một cách định tính các đường sức trường và vết của các mặt đẳng thế trong mặt phẳng xOy

Bài 7 Đường lưỡng cực

Ta hãy xét một đường hai dây được cấu tạo bởi hai sợi dây thẳng dài vô hạn, song song với

trục Oz, có phương trình Descartes x=  và có mật độ điện dài đều a  (  > 0)

Đường lưỡng cực được coi là giới hạn của phân bố này khi a tiến tới 0, nhưng giữ cho tích

(2a)  không đổi Khi đó, ta ký hiệu

0

a



= là hằng số đặc trưng cho đường này

Một điểm M có vị trí xác định bởi các tọa độ trụ (r, θ, z) Để thu được đặc tính giới hạn của đường lưỡng cực, sau đây, ta sẽ coi khoảng cách r từ điểm M đến trục Oz là rất lớn trước a và

ta sẽ bằng lòng với các biểu thức thu được của điện thế và điện trường của đường lưỡng cực bằng các chỉ giữ lại bậc thấp nhất không tầm thường của khai triển của chúng theo lũy thừa của tỷ số a

r

a.Trong những điều kiện đó, hãy tìm biểu thức của điện thế tạo ra bởi một đường lưỡng cực b.Từ đó suy ra điện trường của đường lưỡng cực

c.Tìm phương trình của các mặt đẳng thế và các đường sức điện trường của đường lưỡng cực Hãy biểu diễn chúng một cách định tính

Lưu ý: ln(1+x) = x -

4 3 2

+

− +x x

x

(-1<x 1)

Đáp số

2

1

r

k

r

2

+

Tọa độ tâm đối xứng nằm trên trục hoành có hoành độ

2 2

1

a k k

+

− và bán kính mặt trụ

2

1

ak

R

k

→ =

−

Trang 5

Các trụ có thế V và -V thì đối xứng nhau qua mặt phẳng (yOz) Khi đi từ trụ này sang trụ khi

ta thay k bằng (1/k)

+Khi k →  tức mặt trụ tiến đến dây thứ hai (+ )

+Khi k →0 tức mặt trụ tiến đến dây thứ nhất (− )

Bài 8 ĐÁM MÂY ELECTRON VÀ NĂNG LƯỢNG ION HÓA

Một hệ điện tích tạo ra thế có tính đối xứng cầu:

0

2

4



Hãy tính Q (r), điện tích nằm trong quả cầu bán kính r Nêu tính chất của phân bố điện tích tương ứng với thế trên Hãy định nghĩa, sau đó tìm biểu thức của năng lượng liên kết này

Bài 9 HIỆU ỨNG MÀN CHẮN TRONG MỘT PLASMA

Xét một môi trường về toàn bộ trung hòa điện, ở trong trạng thái ion hóa, được cấu tạo

từ các điện tích +q và –q, có mật độ trung bình đồng nhất bằng n0 Tính trung hòa điện chỉ

được đảm bảo ở thang đo lớn, bởi vì ở lân cận một điện tích q đặt tại O thì các điện tích trái dấu được ưu tiên tiến lại gần Bài tập này nêu ra một sự tiếp cận đã được đơn giản hóa về hiệu ứng cục bộ này Ta tự cho một điện tích q tại điểm O, điện tích này làm thay đổi sự phân bố cục bộ của các điện tích + và -, khi đó, mật độ của các điện tích này bằng lần lượt n r+( ) và ( )

n r− , với:

0 ( ) n exp qV

n r

kT

+

  và n r( ) n exp0 qV

kT

−

(Định luật Boltzmann về cân bằng nhiệt động của hệ ở nhiệt độ T)

Bằng cách áp dụng định lý Gauss giữa hai quả cầu đồng tâm gần nhau bán kính r và r +

dr, hãy thiết lập phương trình vi phân cho thế V(r) Hãy tuyến tính hóa phương trình này với

qV ≪ kT, và giải nó (ta có thể xác định, trước tiên, nghiệm F(r) = rV(r))

Hãy so sánh nghiệm V (r) tìm được với thế mà điện tích q tạo ra khi chỉ có một mình nó trong không gian Hãy biểu thị chiều dài Debye của Plasma, ký hiệu L D, đặc trưng cho hiệu ứng màn chắn của thế Coulomb của điện tích +q bởi các thực thế mang điện khác của môi trường ion hóa Hãy thực hiện sự áp dụng bằng số đối với một plasma mà 6

0 10

n = hạt trong một centimet khối, có nhiệt độ 5

10

T = K và bình luận

Đáp số ( ) D

r L

F r cte e

−

= , với

1 2 0 2 0

2

D

kT L

n q



Ở lân cận điện tích q, khi r tiến tới 0, thế phải tương đương với thế tạo ra bởi một điện tích điểm q tại O, điều này cố định giá trị của hằng số và cuối cùng ta thu được:

0

( ) 4

D

r L

q

r



−

=

Bài 10 Bẫy Penning

Trang 6

A) Xét một ion( khối lượng m và điện tích q) chuyển động với vận tốc đầu v trong mặt phẳng XOY trong một từ trường đồng nhất B hướng dọc trục OZ Tìm tần

số góc c của nó ( tần số Cyclotron), tính động năng theo c và bán kính quỹ

đạo r0

B) Xét một điện tích điểm q giữa hai tấm dẫn được nối đất và đặt vuông góc

với trục OX, cách nhau bởi một khoảng D Có thể chỉ ra được rằng điện tích

cảm ứng ở trên ác tấm 1 và 2 lần lượt là Q1 q x 1

D

  và 2

x

Q q

D

= − , trong đó x là

Khoảng cách giữa điện tích q và tấm 1 Theo hình vẽ, tìm dòng điện trong mạch nếu tâm của quỹ đạo của ion trong ý A) tại vị trí x=D/2 Để có được dòng điện lớn hơn, bán kính quỹ đạo nên lớn hơn hay nhỏ hơn?

C) Một điện trường xoay chiều E t ( ) = E0cos ctđược đặt vào tấm 1 và 2 Giả sử quỹ đạo của

ion vẫn gần là đường tròn sau mỗi vòng và năng lượng thu được từ điện trường xoay chiều trong mỗi vòng là nhỏ hơn nhiều so với động năng của các ion Các điện tích cảm ứng trên các tấm được gây ra bởi các ion có thể được bỏ qua Sau thời gian T đó là lớn hơn nhiều so với chu kì quỹ đạo, tìm bán kính quỹ đạo R

D)Điện trường xoay chiều trong ý C) sau đó bị tắt đi khi mà 2R vãn còn nhỏ hơn D Từ đó trở đi các ion được chuyển động tự do dọc theo hướng của trục OZ, có nghĩa là nó có thể thoát khỏi khu vực từ trường đều nếu nó có vận tốc ban đầu dọc theo trục OZ Để ngăn chặn điều đó, một trường thế năng điện có dạng 0 2 22 2

0

V r V

z

= , với V0>0, được tác dụng theo hướng trục OZ, do đó ion chỉ có thể dao động xung quanh điểm có tọa độ z=0 Tìm tần số dao động z

E) Đối với trường thế năng trong ý D) có giá trị trong miền không gian trống rỗng, tìm hằng số  trong ý D)

Như một sự kết hợp của điện trường và từ trường như vật gọi là một bẫy Penning

Nó là một thiết bị để bẫy một ion trong một thời gian dài với tần số cyclotronccủa ion, và

do đó tỷ số q

mcủa ion có thể được đo với độ chính xác rất cao Sử dụng cvà zlà các đại

lượng đã biết để trả lời các câu hỏi còn lại

F)Các ion hiện đang ở một bẫy Penning như trên Tìm các phương trình vi phân x(t) và y(t) cho biết vị trí của accs ion trong mặt phẳng XOY

G).Đặt u(t)=x(t)+iy(t), với i = − 1 Tìm phương trình vi phân cho u(t)

H) giả sử nghiệm có dạng u(t)= e i t

A − Hãy xác định hai tần số khả dĩ +và −, với +>−

Trang 7

I)Nghiệm tổng quát là u t ( ) A e−i t+ A e−i t−

= + Giả sử bẫy thế năng điện được bật lên sau khi từ

trường được bật lên một khoảng thời gian Khi bẫy được bật tại thời điểm t=0, các ion ở vị trí x=R trên trục OX và tâm của quỹ đạo của nó là gốc O của mặt phẳng XOY Xác định A A+, −

Lấy gần đúng c>>z

J) Để thấy quỹ đạo của các ion trông giống như trong ý I), chúng ta hãy đến một hệ quy chiếu quay với tần số góc  Sử dụng định nghĩa của u(t) trong ý G), tìm sự diễn tảu t ( )của

nó trong hệ quy chiếu quay

K)Áp dụng câu trả lời của bạn trong ý J) để câu trả lời trong ý I) và đặt  = − Vẽ sơ đồ của

quỹ đạo ion trong hệ quy chiếu quay trên mặt phẳng XOY

L)Vẽ sơ đồ quỹ đạo của ion trên mặt phẳng XOY trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm M) Cho ba hình dạng có thể có của quỹ đạo ion trên mặt phẳng XOY trong một hệ quy chiếu quay với tần số góc '

2

c



 = nếu các điều kiện ban đầu là thích hợp

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	388,4 KB