II HUONG dẫn GIẢI CHUYỂN ĐỘNG LIÊN kết QUA RÒNG rọc

- Vật m chịu tác dụng của hai lực: Trọng lực và lực căng dây... Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào bàn như hình vẽ.. • Phương trình chuyển động của vật m:... Gắn hệ vật với hệ trục tọa độ Ox,

II.3 CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT QUA RÒNG RỌC Bài 1

1a Gọi T là lực căng dây

Gia tốc vật 2:

Gia tốc vật 1:

Với ròng rọc động:

Kết quả:

tốc cực đại ở độ cao này: (1)

Sau đó, vật chuyển động chậm dần với gia tốc g từ độ cao 2h đến hmax:

(2)

Từ (1) và (2) ta có , Thay số:

Bài 2 a Gia tốc của mỗi vật:

- Vật m chịu tác dụng của 4 lực:

2

2 2

m

P T

=

2 2 1

1 1

m

T 2 P m

T 2 P a



−



=

−

=

1

2 2 a

a =

g 4

4 2 a 2

+



−



=

=

2

2 8 m / s

1 4 m / s

a =

h a 2

v2max = 2

) h h

.(

g

.

2

v2max = max −

4 h 6

hmax

+





2

1

2

h

Trọng lực , Phản lực của m ,

Lực ma sát với m , Lực căng dây

- Vật m chịu tác dụng của hai lực:

Trọng lực và lực căng dây

* Theo phương thẳng đứng, các lực tác

dụng vào m là cân bằng P = Q

* Theo phương nằm ngang, phương trình động lực học viết cho m là:

T - F = m a

T – 0,2.0,5.10 = 0,5 a

T – 1 = 0,5 a (1)

* Theo phương nằm ngang m không di chuyển

* Theo phương thẳng đứng, phương trình động lực học viết cho m là:

P - T = m a

0,25.10 - T = 0,25 a

2,5 - T = 0,25 a (2)

Vì dây nối các vật không giãn nên: a = a = a và a = a = a

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được a = 2 m/s

- Vật m chịu tác dụng của 6 lực:

Trọng lực , Lực ma sát với bàn , Lực ma sát do m tác dụng , Áp lực từ m (có giá trị bằng P ), Lực căng dây , Phản lực của mặt bàn

- Vật m chịu tác dụng của 2 lực:

Trọng lực , Lực căng dây

* Theo phương thẳng đứng, các lực tác dụng vào m là cân bằng: Q = P + P

2

P

2

Q

3

3 F 32

T

1

1

P

T

2

32 2 2

2 2

1

1

1 1

/

2

3

3

P

F

2 F 23

2 N 2 2

/

T

3

Q

4

4

T

* Phương trình động lực học viết cho m là:

T - F - F = m a

T - 0,2(0,5 + 0,5).10 – 0,2.0,5.10 = 0,5a

T - 3 = 0,5a (3)

* Phương trình động lực học viết cho m là:

P - T = m a

0,5.10 - T = 0,5 a

5 - T = 0,5 a (4)

Giải hệ phương trình (3) và (4) ta được a = 2 m/s

** Trong đó a và a ngược hướng với nhau

b Thời gian để m đi qua m

Lưu ý: Các gia tốc đã tính trên đều là gia tốc đối với bàn Nếu chọn chiều dương của gia tốc là chiều chuyển động của m thì ta có: a = 2 m/s ; a = - 2 m/s

Gia tốc của m so với m là: a = a - a = 4 m/s

Ta có: S = t = 0,5 s

Bài 3 Khối m đứng cân bằng dưới tác dụng của các lực:

- Trọng lực

- Phản lực của mặt phẳng nghiêng

- Lực căng (T = P )

- Lực căng (T = P )

Ta có:

+ + + = 0 (1)

3

/

32 3

/

4 4

/

4

/

/

2

b

, 3

2

2 3 2 , 3 2 ,b 3 ,b

2

2 3 , 2 2

1

t

1 1

P

1

N

2

3

1

Lần lượt chiếu hệ thức véc tơ (1) lên phương song song với mặt nghiêng và phương nằm ngang, ta có:

- Chiếu lên phương song song với mặt phẳng nghiêng

(chiếu (+) đã chọn như hình vẽ):

P cos60 - T cos60 - T = 0 (2)

- Chiếu lên phương nằm ngang (chiếu (+) đã chọn như

hình vẽ):

N cos60 - T cos30 = 0 (3)

Từ (2) T =

Với T = P , T = P ta có:

m = = = 1 kg

vật m có khối lượng 1 kg

Từ (3) N = = = 10 (N)

Bài 4 Xét hệ thống trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất:

Giả sử tìm được gia tốc F thoả mãn bài toán

• Xét vật m2:

P T N m a

2 2

2 + ' + =

chiếu lên oy:

1

0

2

0

3

1

0

3

0

2

P−P

3

1 2 2

m −m 3 1

2

−

3

0 3

0

cos 30 cos 60

m g 1.10. 3

2 1 2

3

P2 −T' = 0 T' =T =m2g.

• Xét vật m1:

P N T m a

1 1

1 + + =

chiếu lên ox:

T =m1a g

m

m m

T a

1 2 1

=

=



Ba vật đứng yên tương đối với nhau ta có thể xem chúng như một vật duy nhất

có khối lượng (M+m1+m2) chuyển động với gia tốc a Do vậy lực F cần phải đặt vào

M sẽ là :

F = (M +m1 +m2)a 2

1 2

1

(M m m )m g

m

và a2

Phương trình động lực học cho m:

F +P2 +N =m a2

chiếu lên ox:

Fcos −Nsin =ma 2 x (1)

chiếu lên oy:

Fsin  +Nsin  −mg =ma 2 y ( 2 )

Nêm chịu tác dụng của P1,N1,

hai lực F

và F '

đè lên ròng rọc và lực nén N '

có độ lớn bằng N

Phương trình chuyển động của M:

P1 N1 N' F F' M a1

= + + + +

Chiếu lên ox:

Nsin  +F −Fcos  =Ma1 ( 3 )

Gọi a 21

là gia tốc của m đối với nêm M

Theo công thức cộng gia tốc:

a2 a21 a1

+

= (4) Chiếu (4) lên 0x: a2x =a1−a21cos 

0y: a2y =a21sin 

Từ đó suy ra:

a2y = (a2x −a1) tan  ( 5 )

Từ (1), (2), (3) và(5) suy ra:

a1 = (1 cos ) 2sin cos

sin

M m



+ (6)

) sin (

cos sin )

cos sin

(

2 2









m M m

Mmg M

m F

a x

+

− +

=

) sin (

tan cos sin ) (

) cos 1 ( cos

2











m M m

m M mg m

M F

a y

+

+

−

− +

Để m dịch chuyển lên trên nêm thì:











) ( 0

) ( 0

2

II N

I

a y

• Giải (I):

a 2 y  0  Fcos M +m( 1 − cos  )−mg(M +m) sin  cos   0

( 7 )

) cos 1 (

sin ) (





− +

+





m M

m M mg F

• Giải (II):

Thay (6) vào (3) rút ra N và từ điều kiện N > 0 ta suy ra:

( 8 )

sin ) cos 1 (

cos







−

F

Từ (7) và (8) ta suy ra để m leo lên được mặt nêm M thì lực F phải thoả mãn điều

kiện

( ) sin cos

(1 cos ) (1 cos ) sin

F

+

 

Lúc đó gia tốc của nêm đối với mặt đất là a1 ở (6) Gia tốc của vật đối với mặt đất

sẽ là :

2 2

2 2x 2y

a = a +a

Bài 6 Chọn chiều dương như hình vẽ

Phương trình định luật II Newton cho vật:

m0 : T+P0 +N =m0a0

m1 : T1 P1 m1a 1

= +

m2 : T2 +P2 =m2a 2

Chiếu các phương trình đó lên chiều dương ta được:

) 3 (

) 2 (

) 1 (

2

2 2 2 2

2 2 2

1

1 1 1 1

1 1 1

0 0 0

0

m

T P a a

m T P

m

T P a a

m T P

m

T a a

m T

−

=



=

−

−

=



=

−

=



=

Giả sử ròng rọc quay ngược chiều kim đồng hồ

Gọi S0, S1, S2 là độ dời của m0, m1, m2 so với ròng rọc A

S’ là độ dời của m1, m2 so với ròng rọc B

0 2

0 1

2 2

'

'

a a a S S S S S S

S S S

= +



= +









+

=

−

=

(*)

Thế (1), (2) và (3) vào (*) và chú ý T = 2T1 = 2T2

Rút ra:

g

m m m

2

1 2

1 2 2

2 1 0

+ +

=

1 1

1 1

1 1 1

2

2

m

T g m

T g m m

T g m

a = − = − = −



Hay :

) 1 1 4 ( 2

2 1 0 1 1

m m m m

g g

a

+ +

−

=

a1 =

1

2

4 1 1

g m

m m m

1 2 0 1 2

1 2 0 1 2

4 4

m m m m m

g

m m m m m

* Biện luận:

- Nếu m0 = 0 thì a1 = g, a2 = g: m1 và m2 đều rơi tự do

- Nếu m1 = 0 thì a1 = -g, vật m2 rơi tự do, m1 đi lên a =1 g

- Nếu m2 = 0 thì a1= g, vật m1 rơi tự do

Bài 7

Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào bàn như hình vẽ Trong hệ quy chiếu oxy:

• Phương trình chuyển động của vật M

T + F qt −F ms =Ma0

Hay:

T +Ma− N1 =Ma0 ( 1 ),

trong đó:

a0 là gia tốc của M đối với bàn

a là gia tốc của bàn đối với đất

• Phương trình chuyển động của vật m:











=

− +

=

=

=

) 3 ( cos

sin

) 2 (

0 2

2 2

ma T mg

F

g

a mg

ma P

F tg

qt

qt







Từ (3) suy ra:

masin  +mgcos  −T = ma0 (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

1 sin cos ( 5 )

0

M m

mg ma

N Ma a

+

+ +

−

Từ (2) suy ra:

1 1

sin

2 2 2

2 2

g a a

g a g a

tg

tg

+

= +

= +

=







1

1 1

1 cos

2 2 2

2 2

g a g

g

a

tg + = + = +

=





Và N =1 Mg ( 8 )

Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:

M m

g a m Mg Ma

a

+

+ +

−

=

2 2 0



Gia tốc của M đối với đất:

aM a a

+

= 0

M m

g a m Mg Ma

a a

+

+ +

−

=

−

=



2 2 0



a M =

M m

mg Mg g

a m

+

−

−

2

Bài 8

Gắn hệ vật với hệ trục

tọa độ Ox, Oy như hình vẽ

Gốc tọa độ O gắn với

sàn

Vật m chịu tác dụng của

2 lực : Trọng lực và lực căng

của dây

Khi hệ vật chuyển động,

m vừa bị tụt xuống vừa bị kéo

theo phương nằm ngang, vì thế dây treo bị lệch về phía sau một góc

Phương trình động lực học viết cho vật m :

T.sin = m a

T.sin = 0,4.a (1)

T.cos - P = - m a

T.cos = 4 - 0,4.a (2)

Vật m chịu tác dụng của bốn lực : Lực căng của dây, Lực ma sát với m , Trọng lực , Phản lực của m

Theo phương Oy các lực và cân bằng nhau

Theo phương Ox, phương trình động lực học viết cho vật m

T - F = m a

T - .m g = m a

1 1

P

T

1



1

F

3 2

P

2

Q

3

2

P

2

Q

2

2 2

T = .m g + m a = 0,3.1.10 + 1.a

T = 3 + a (3)

Vật m chịu tác dụng của năm lực : Trọng lực , Lực tương tác do m tác dụng khi m trượt trên m ( F = F ), Áp lực do m tác dụng, Áp lực do giá treo ròng rọc tác dụng, Phản lực của sàn

Theo phương Oy, các lực tác dụng vào m cân bằng nhau:

Q = P + N + N

Theo phương Ox, phương trình động lực học viết cho vật m :

F = m a

m g = m a

0,3.1.10 = 1.a a = 3 (m/s )

Xét giản đồ véctơ gia tốc vẽ chom vật m :

= +

a = a - a sin

a = 3 - a sin (4)

Thay (3), (4), (5) vào các phương trình (1),

(2) ta được :

Phương trình (1) (3 + a ).sin = 0,4.(3 - a sin )

3.sin + a sin = 1,2 - 0,4a sin 1,4.a sin = 1,2 - 3.sin (6) Phương trình (2) (3 + a ).cos = 4 - 0,4.a cos

2

F

2

/

2

N

3

Q

3

3

/

3 3

1 1

a

2

a

3

a

x

x

3.cos + a cos = 4 - 0,4.a cos 1,4.a cos = 4 - 3.cos (7) Chia từng vế phương trình (6) cho (7):

=

tg = 0,3 = 16 42

Trong khi chuyển động dây treo vật m bị lệch về phía sau một góc = 16 42 Thay vào (6), ta được : a = 0,84 (m/s )

Thay và a vào (4) và (5) ta được :

a = 2,76 (m/s )

a = 0,8 (m/s )

Gia tốc của vật m :

a = = = 2,87 (m/s )

Bài 9





cos

sin





cos 3 4

sin 3 2 , 1

−

−

x

1

2

y

2

1

1

2 1 2

1x a y

a + 2 , 762 + 0 , 82 2

Xe m3 chịu tác dụng của 5 lực : Trọng lực P3,lực ma sát trượt do m2tác dụng F23: áp lực do m2 tác dụng N2, lực ma sát giữa xe và mặt đường F, phản lực của mặt đường

Q3 Theo phương thẳng đứng xe m3 không dịch chuyển , phản lực của mặt đường cân bằng với hợp lực P3+N2: Q3 =P3+N2.Vì thế áp lực của xe xuống mặt đường là

3 3 2

N =P +N N3= 0,5.10+0,5.10 = 10 N( N2 =P2)

Phương trình động lực học viết cho xe m3 :

23 3 3

F − =F m a ( với m3 lực phát động là F23, lực cản là lực ma sát do mặt đường tác dụng )

0,2.0,5.10 -0,02.10 = 0,5 a3

Vậy gia tốc của xe là a3= 1,6 m/s2

( a3 cùng hướng với hướng vận tốc của m2 ) Xét m2, nó chịu tác dụng của 4 lực : trọng lực P2, lực căng của dây nối T, lực ma sát với sàn xe F32, phản lực của sàn xe Q2 Theo phương thẳng đứng , m2 không dịch chuyển , Q2cân bằng với P2 Phương trình động lực học viết cho m2 :

T−  1N2 =m a2 2(N2 =Q2)

T = 0,2.0,5.10 = 0,5 a2 (1)

Vật m1 chịu tác dụng của 2 lực : Trọng lực P1 va 2lực căng dây T Theo phương nằm ngang vật m1 không chịu tác dụng của lực nào nó không dịch chuyển theo

phuơng này Phương trình động lực học viết cho m1:

P1− =T m a a1 1( 1 =a2 =a vì dây nối không dãn)

0,25.10 – T = 0,25a2 ( 2 )

Giải hệ (1) và (2) ta được 2

1 2 2 /

a =a = m s

Các gia tốc vừa tính trên là gia tốc của các vật so với bàn

2 2

2b 2 / , 3b 1, 6 /

a = m s a = m s

Gia tốc của m2so với xe m3 được tính theo ;

a2,3 =a2b+a3b

(a 3= - 1,6 m/s2

)

a23= 2- 1,6 = 0,4 m/s2

Sau khi thả tay 0,1 s , vận tốc của m2so với xe m3 là

V = 0,4.0,1 = 0,04 m/s

Bài 10

1 Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a chiều (+) như hình

vẽ

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho cả hệ ta có:

(m1+m2+m3).a = P1-k(P2+P3)

Thay số được:

a=

2

2

3

) 10 10

(

2

,

0

20

m

m

+

+

−

=

2

2

3

2 18

m

m

+

−

(1) + Áp dụng định luật II Niutơn cho m1 được:

T = m1g –m1a = 20-2a (2)

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m2 được:

m2a = T – Fms  Fms= T- m2a (3)

+ Do m2 không trượt trên m3 nên:

Fms  ko.m2g  Fms  4m2 (4)

Thay (1); (2); (3) vào (4) rồi biến đổi ta có bất phương trình: m22 + 3m2-12 0 













+

−



−

−



) ( 2

57 3

) ( ) ( 2

57 3

2

2

kg m

Loai kg

m

Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a chiều (+) như hình

vẽ

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho cả hệ ta có:

(m1+m2+m3).a = P1-k(P2+P3)

Thay số được:

a=

2

2 3

) 10 10

(

2

,

0

20

m

m

+

+

−

=

2

2 3

2 18

m

m

+

−

(1) + Áp dụng định luật II Niutơn cho m1 được:

T = m1g –m1a = 20-2a (2)

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m2 được:

m2a = T – Fms  Fms= T- m2a (3)

+ Do m2 không trượt trên m3 nên:

Fms  ko.m2g  Fms  4m2 (4)

Thay (1); (2); (3) vào (4) rồi biến đổi ta có bất phương trình: m2 + 3m2-12 0 













+

−



−

−



) ( 2

57 3

) ( ) ( 2

57 3

2

2

kg m

Loai kg

m

Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a chiều (+) như hình

vẽ

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho cả hệ ta có:

(m1+m2+m3).a = P1-k(P2+P3)

Thay số được:

a=

2

2 3

) 10 10

(

2

,

0

20

m

m

+

+

−

=

2

2 3

2 18

m

m

+

−

(1) + Áp dụng định luật II Niutơn cho m1 được:

T = m1g –m1a = 20-2a (2)

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m2 được:

m2a = T – Fms  Fms= T- m2a (3)

+ Do m2 không trượt trên m3 nên:

Fms  ko.m2g  Fms  4m2 (4)

Thay (1); (2); (3) vào (4) rồi biến đổi ta có bất phương trình: m22 + 3m2-12 0













+

−



−

−



) ( 2

57 3

) ( ) ( 2

57 3

2

2

kg m

Loai kg

m

2 Gọi gia tốc của m1 và m2 là 2a thì gia tốc của m3 là a

Gọi lực ma sát giữa m3 với sàn là Fms’ Các lực tác dụng vào các vật như hình vẽ bên

Áp dụng định luật II Niutơn cho mỗi vật ta có các pt sau:

m1g – T = m1.2a (5)

T- Fms = m2.2a (6)

Fms-Fms’ = m3.a (7)

Với: Fms=kom2g và Fms’=kN3=k(m2+m3).g (8)

Thay (8) vào (6) và (7), rồi thay số ta giải được:

m22+2m2-7=0

m2 1,83 kg

a2=2a  3,31 (m/s2)

Bài 11 a.Vì sin

B

M  nên

A chuyển động đi xuống

Phương trình động lực học cho

A; B và ròng rọc















=

=

−

=

−

=

−

) 3 (

) 2 ( sin

) 1 (

R

Ia I R

T

T

a m P

T

a m

T

P

B

A

B B

B

A A

A



Từ (1), (2), (3)  a=0,5 m/s2; TA = 19N; TB = 16,5N

b Áp lực lên ròng rọc: Q TA' TB'

+

60 '

; ' B =

A T

T 

và T A' =T A T B' =T B

,

Q = T + T + 2T T cos60  30, 769 (N)

Bài 12

a Các vật chịu tác dụng của các lực như hình vẽ

Do dây nhẹ và bỏ qua ma sát ở ròng rọc nên ta có:

T1a = T1b , T2a = T2b = T2c = T

Do ròng rọc động có khối lượng không đáng kể nên:

T1a = T2a + T2b = T]

Chọn chiều dương như hình vẽ Theo định luật II Newton:



Do các đoạn dây có chiều dài không thay đổi nên ta có:

2 O2 O2 2 O2

2 2

A

y y y y const a a

a a

y y y y const



(2) Chú ý: yO1=const y; A =const

Từ (1) và (2) 4 2 2

T

mg T mg T mg

 − = − +  =

Thay vào (1) ta tìm được gia tốc của các vật:

2 1

1 10

/

a = g= m s

2

2 20

a = − a = − g= − m s

b Gia tốc tương đối của vật 1 so với vật 2:

2

a =a −a a = −a a = =g m s

Trong HQC gắn với thanh 2, viên bi 1 chuyển động thẳng nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng 0, suy ra thời gian viên bi 1 đi hết chiều dài thanh 2 là:

2

12

1

2

s= =l a t

12

10

l t

a