Tài liệu Toán Ứng dụng - Chương 2: Định thức ppt

I – Định nghĩa định thức và ví dụ.II – Tính chất của định thức III – Khai triển Laplace... n n ij    Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngthứ i và cột thứ j của ma

I – Định nghĩa định thức và ví dụ.

II – Tính chất của định thức

III – Khai triển Laplace

n n

ij 





)(

Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngthứ i và cột thứ j của ma trận A;

Bù đại số của phần tử aij là đại lượng

Định nghĩa bù đại số của phần tử aij

11 12 13

23

3

2)

1()3

(43

0

2)

1(

24

2

0

3)

1(

1  11    12     13



A

1115

3

03

2

32

1

A

Ví dụ

Giải

Tính định thức det (A), với

4

22

5

31

2

3

1)

1(40

04

22

5

313

)1(40

04

22

5

313

1 3 1

Tính định thức det (A), với

Khai triển theo cột thứ hai

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm

trên đường chéo

1201

45)3(2

10

00

0

94

00

0

82

50

0

17

630

40

31

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức

1.Nếu h i h i thì

2.Nếu Ah i h i  h j B thì | B | | A|

3 Nếu Ah ih j B thì | B |  | A|

1 2

2 6

2 3

0 5

3 2

1 2

1 1

A

15 0

4

1 0

1

2 1

3 0

1 0

1 0

2 1

1 0

1 2

1 1

1 2

2 6

2 3

0 5

3 2

1 2

1 1

3

1 0

1

2 1

1 )

1 (

4

1

1 )

1 (

Bước 1 Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;

Bước 2 Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)

ở bước 1 Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác

Bước 3 Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn

Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp

1 4

2 4

1 3

0 2

3 2

1 1

2 3

A

0 5

5

0 8

5

2 3

1

2 5

3

2 3

2 )

1 (

1 1

0 2

5 3

0 2

3 2

1 1

2 3







1 3

1 4

2 4

1 3

0 2

3 2

1 1

2 3

5

8

5 )

1 ( ) 2

det (AT) = det (A)

det(AB) = det(A) det(B)

Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0

Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0

Chú ý: det(A+B)  det(A) + det(B).

Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn Khi đó tồn tại matrận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I Suy ra

n A

1 1

1

j j

j

j j

j

a a

a

a a

a B

1

1 1

1

i i

i

j j

j

a a

a

a a

a A





n A

132

11

Khẳng định nào sau đây đúng?

2 3

Giải phương trình, với a, b, c là các số thực.

Giải phương trình trong C

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch

Tìm tất cả các giá trị thực của m để ma trận sau khả nghịch.

Cho A  M R B3[ ];  M R3[ ];det( ) A  2;det( ) B   3.

1) Tính det (4AB)-1.2) Tính det (PAB)

Cho k là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n; i1, i2, …, ik và j1, j2,

…, jk là những số tự nhiên thỏa

1  i  i   ik  n ;1  j  j   jk  n

Định thức con cấp k, ký hiệu bởi , là định thức thu được từ

A bởi những phần tử giao của k hàng i1, i2, …, ik và k cột j1, j2, …, jk

.

1 1

, , , ,

k k

i i

j j

a

Định nghĩa định thức con cấp k

Định lý (Khai triển Laplace)

Định thức của ma trận vuông A bằng tổng tất cả các tích của địnhthức con cấp k rút ra từ k hàng (hoặc k cột) nào đó với bù đại số

của chúng

1

1 1

, , ,

A       

được gọi là bù đại số cấp k của 1

1

, , , ,

k k

i i

j ja

Tính định thức bằng khai triển Laplace.

chọn Tổng cộng có Cn k định thức con cấp k.

con cấp k ở bước 2.

thức con cấp k với bù đại số của chúng

Tính det(A) sử dụng khai triển Laplace

Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán.

Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán

trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000

năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán)

Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính

det (A).

Các phép biến đổi sơ cấp cần (n 3 +2n-3)/3 phép nhân và

chia Bất kể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25

trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán