Thuật toán Goertzel trượt học viện bưu chính viễn thông

Thuật toán Goertzel trượt Tóm tắt Các thuật toán Goertzel là kỹ thuật điều chế tín hiệu kỹ thuật số DSP- Digital SignalProcessing để xác định các thành phần tần số của tín hiệu, được xuấ

Thuật toán Goertzel trượt

Tóm tắt

Các thuật toán Goertzel là kỹ thuật điều chế tín hiệu kỹ thuật số (DSP- Digital SignalProcessing) để xác định các thành phần tần số của tín hiệu, được xuất bản bởi GeraldGoertzel vào năm 1958 Trong khi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT- Fast Fouriertransform ) tính đồng đều trên băng thông của tín hiệu đến, các thuật toán Goertzel chỉ xemxét cụ thể, tần số được xác định trước, và có thể nhanh hơn nếu số lượng tần số thấp

Một ứng dụng thực tế của thuật toán này là sự xác định của các âm DTMF được tạo rakhi bấm vào một bàn phím điện thoại

Nó cũng có thể được sử dụng "ngược lại" như là một chức năng tổng hợp đường hìnhsin, chỉ cần 1 phép nhân và 1 phép trừ cho mỗi mẫu được tạo ra

Bài viết này trình bày thuật toán Goertzel trượt dùng để ước tính chính xác các hệ sốFourier của (MF-Multi frequenz) tín hiệu hình sin đa tần số có nhiễu Thuật toán này đượcdựa trên bộ cộng hưởng kỹ thuật số bậc hai được điều chỉnh tại tần số mong muốn Phươngpháp cung cấp những ưu điểm sau khi so sánh với thuật toán Goertzel thông thường nhưsau:

 Thứ nhất, nó tính toán hệ số Fourier ít hơn trong một khoảng thời gian tín hiệu Vìvậy, đạt được thời gian dò tìm nhanh hơn, đặc biệt là khi ước chung lớn nhất (GCD)của tần số đầu vào là nhỏ

 Thứ hai, nó là ít bị các vấn đề tràn số trong việc thực hiện số học điểm cố định

 Thứ ba, thuật toán là khá phù hợp với thời gian khác nhau của tín hiệu hình Sin Mộtphân tích được thực hiện để cung cấp cái nhìn sâu sắc vào các vấn đề của thời gianvới lại yêu cầu so với độ chính xác mong muốn cho các thuật toán đề xuất Mở rộngkiểm tra mô phỏng cũng được bao gồm để chứng minh hiệu quả của nó

1 Giới thiệu

Trong nhiều ứng dụng như đa âm (multifrequency) như tín hiệu đa tần (DTMF), máythu kỹ thuật số đa tần (MF) và khẩu độ rất nhỏ của hệ thống thông tin vệ tinh (VSAT), đó làcác mong muốn để phát hiện các thành phần tần số một cách đơn giản và hiệu quả Trongcác trường hợp trên, đòi hỏi số lượng hệ số Fourier thường là nhỏ, vì thế mà Biến đổiFourier rời rạc trực tiếp (DFT) là hiệu quả hơn biến đổi các thuật toán Fourier nhanh (FFT) Chức năng thứ hai của các bộ lọc Goertzel cũng được ưa chuộng hơn các DFT trực tiếp bởi

vì kết quả của nó giảm được gánh nặng tính toán, chức năng biến đổi của các bộ lọc được sửdụng trong các thuật toán Goertzel được định nghĩa như sau:

(1)

Với ω k = 2nk /N Đồ thị tín hiệu sau đây thể hiện chức năng của biến đổi Z được

đưa ra bởi phương trình (1) và được thể hiện trong (hình 1) Lưu ý rằng các bộ lọc Goertzelbao gồm: một phần đệ quy (Recursive Part) (phía bên trái của các yếu tố trễ) và một phần

không đệ quy (NonRecursive Part) (phía bên phải của các yếu tố trễ) Các hệ số DFT có

được như đầu ra của hệ thống sau khi lặp đi lặp lại N lần Phần đệ quy là chức năng thứ

hai (second-order) kỹ thuật số cộng hưởng

Hình 1 Bộ lọc thực hiện các thuật toán Goertzel

Tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng được thiết lập tại các điểm tần số cách đều

nhau với ω k = 2π k/N Trong thực tế chúng tôi chỉ tính toán đệ quy một phần của bộ lọc tại

tất cả các mẫu và một phần không đệ quy được tính toán ngay lập tức sau khi lần thứ N thờigian các hệ số Fourier được xác định

Bộ lọc Goertzel thông thường bị hạn chế trong ý nghĩa rằng các hệ số Fourier của tínhiệu đầu vào được đưa ra tại các điểm cách đều nhau trong miền tần số Đây là một bất lợilớn của kỹ thuật Goertzel đặc biệt là khi các tín hiệu hình sin (sinusoids) đầu vào được tự ý

đặt Nói cách khác, thuật toán Goertzel thông thường chỉ tìm các hệ số của một N điểm

DFT Hệ số chính xác hình sin là thu được (obtained) nếu tồn tại một giá trị k như vậy mà

các tần số đầu vào chuẩn hóa chính xác bằng 2 nk/N Nếu không, ước tính sẽ bị sai

số do vấn đề rò rỉ nổi Do đó, N phải lớn khi tần số đầu vào rất gần nhau hoặc tần số của họ

là yếu tố nguyên tố Độ phân giải có thể được cải thiện bằng cách sử dụng biến đổi thuậttoán Goertzel Trong các thuật toán sửa đổi Goertzel, Phương trình (1) được đánh giá ở tần

số chính xác của điều đó có nghĩa là cộng hưởng được thiết lập tùy ý ở tần số góc đầu vào Việc thay đổi kết quả trong thời gian thu nhanh hơn cho các ước tính trao đổi biên độ của tínhiệu hình sin đầu vào Các thuật toán Goertzelified, tuy nhiên, đòi hỏi thời gian thu tương

tự như thuật toán Goertzel thông thường để ước tính cả pha và biên độ Trong thực tế, thuậttoán Goertzel thông thường sản lượng ước tính chính xác của các thông số hình sin được

cung cấp rằng tần số đầu vào rơi chính xác ở các (resonant-cộng hưởng) tần số cộng hưởngcủa bộ cộng hưởng Trong trường hợp cả hai được sửa đổi, thuật toán Goertzel thôngthường là tương đương

Khi sử dụng các thuật toán Goertzel thông thường và Goertzel sửa đổi, chính xác pha

và dự đoán biên độ của các thành phần hình sin thu được ở phần cuối của một chu kỳ của tínhiệu Đối với trường hợp mà ước số chung lớn nhất (GCD- greatest common divisor) củatần số đầu vào là 1 Hz, thời gian của tín hiệu bằng 1 s Do đó, một số lượng lớn các mẫuđược yêu cầu làm tăng thời gian thu cũng như khả năng tràn tại đầu ra của bộ lọc Goertzel

để thực hiện số học điểm cố định

Biến đổi Fourier Notch (NFT) cũng đề xuất một phương pháp hiệu quả để tính toán

các hệ số Fourier tùy ý Giả sử rằng các tín hiệu bao gồm m thành phần hình sin với tần số

đã biết, sử dụng phương pháp NFT cho (m - 1) chuỗi kết nối bậc hai để đáp ứng xung hữu

hạn (FIR) bộ lọc notch chỉ để cho một thành phần vượt qua Cách tiếp cận này cung cấpmột lợi thế đáng kể tính toán và phát hiện thời gian nhanh hơn khi so sánh với phương phápDFT Tuy nhiên, hiệu quả của nó xuống cấp nghiêm trọng khi các thành phần được đặttrong nhiễu

Trong bài báo này, một tín hiệu hình Sin đầu vào được áp dụng cho bộ cộng hưởng

số bậc hai có tần số cộng hưởng được điều chỉnh chính xác với tần số đầu vào Hệ quả chothấy tần suất được điều chỉnh chính xác với tần số đầu vào Các đặc tính của tín hiệu ở đầu

ra của bộ cộng hưởng có nguồn gốc trong miền thời gian bằng kết quả của một phươngpháp chuyển đổi-z Sau đó thành lập một thuật toán tương tự như Goertzel thuật toán thực

sự có giá trị ước tính pha và biên độ của tín hiệu hình sin đầu vào cho các giá trị kế tiếp của

n Do đó, thuật toán đề xuất được gọi là một thuật toán trượt (SG) Goertzel Phương pháp

mới này cung cấp các tính năng sau khi so sánh với các thuật toán Goertzel thông thường vàsửa đổi Goertzel Thứ nhất, nó tính toán hệ số Fourier của tín hiệu hình SIN trong ít hơnmột thời gian tín hiệu, do đó dẫn đến thời gian thu nhanh hơn Điều này là do thực tế cáctín hiệu hình sin đơn lẻ được tách ra và tăng cường thông qua các cộng hưởng rất nhanh Nói cách khác, ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố khác đặt trong các thành phần ở đầu racủa bộ cộng hưởng sẽ không đáng kể sau một thời gian ngắn Thứ hai, kể từ khi các ướctính hệ số Fourier được cập nhật tại tất cả các thời gian mẫu sau đó các thuật toán được đềxuất là có khả năng theo dõi các thay đổi nhanh chóng trong các tham số tín hiệu (pha vàbiên độ) Cuối cùng, số lượng mẫu cần được giảm đáng kể điều đó có nghĩa là khả năngtràn số giảm khi phương pháp đề nghị được thực hiện trong phần cứng với cố định điểm sốhọc Việc đạt được điều chế (PG) yếu tố được định nghĩa như là tỷ lệ SNR đầu ra với SNRđầu vào đã được phân tích thu được cho các thuật toán được đề xuất Yếu tố này được sửdụng để hình thành mối quan hệ giữa độ chính xác mong muốn và thời gian lấy lại cho cácthuật toán được đề xuất

Bài báo cáo này được tổ chức như sau:

 Phần 2: Báo cáo vấn đề được đưa ra.

 Phần 3: Trình bày thuật toán Goertzel như là một giải pháp được đề xuất.

 Phần 4:Kiểm tra mô phỏng được.

 Phần 5:Cuối cùng, Phần kết luận

2 Đặt vấn đề

Một vấn đề liên quan với các kỹ thuật DFT và Goertzel là họ có thể không chính xáctính toán hệ số Fourier cho đến khi kết thúc của một khối dữ liệu hoàn chỉnh Điều này cónghĩa rằng để ước tính chính xác pha và biên độ của các thành phần hình sin của một tínhiệu MF, số lượng mẫu cần phải được thực hiện trên toàn bộ thời gian của chuỗi đầu vào

Rõ ràng, thời gian của một tín hiệu MF phụ thuộc vào tần số đầu vào cấu thành Trongtrường hợp mà các tần số đầu vào là nguyên tố hoặc rất gần nhau, một số lượng lớn các mẫu

sẽ được yêu cầu mà kết quả trong một gia tăng không mong muốn trong thời gian lấy lại Trong những trường hợp này, độ phân giải cao hơn là cần thiết để ước tính chính xácsinusoids Độ phân giải có thể được tăng lên bằng cách tăng chiều dài khối đầu vào, do đókết quả trong một thời gian lấy lại tăng Trong trường hợp với GCD của tần số đầu vào làbằng ΔƒHz, số lượng tối thiểu của các mẫu (Amin) đó là cần thiết để tính toán chính xác hệ

số sin được cho bởi (xem Phụ lục A)

(2)

trong đó f s là tần số lấy mẫu (f s được giả định là một yếu tố số nguyên Δƒ) Rõ ràng là

Nmin là tỉ lệ nghịch với Δƒ, có nghĩa là, một giá trị nhỏ Δƒ một số lượng lớn các mẫu đượcyêu cầu Lưu ý rằng khi sử dụng các DFT và thuật toán Goertzel thì pha và biên độ phảiđược cố định trong mỗi khối dữ liệu Nếu các tham số tín hiệu đầu vào khác nhau trong mỗikhung hình của dữ liệu, các ước tính xuống cấp trầm trọng Điều này có nghĩa là số lượnglớn các yêu cầu của các mẫu được đưa ra bởi phương trình (2) cũng làm giảm khả năng theodõi của kỹ thuật Goertzel khi các thông số hình sin có thời gian khác nhau

3 Thuật toán Goetzel trượt.

Phần này trình bày một thuật toán Goertzel trượt mà nó sẽ cập nhật các hệ số Fourier

ở mọi thời gian lấy mẫu Phương pháp được đề xuất cung cấp thời gian thu nhanh hơn khi

so sánh với thuật toán Goertzel thông thường và do đó phù hợp với các tình huống khi cácthông số của tín hiệu hình Sin thay đổi tương đối nhanh Hãy xem xét một tín hiệu có giá trịthực sự bao gồm tần số tùy ý thể hiện như sau:

(3)Trong đó s là số lượng các thành phần và v(n) là thành phần nhiễu Nhiệm vụ là để tínhtoán hệ số (ak, và bk) cho các thành phần hình sin được xác định bởi x(n) Hãy để chúng tôi

bắt đầu bằng cách kiểm tra các trường hợp tín hiệu đầu vào bao gồm một thành phần nhưsau:

(4)

Áp dụng x k(n) để cộng hưởng, trong các điều kiện của biến đổi Z, đầu ra, Y k(z - 1 ) được cho

bởi

(5)

Với X k (z - 1 )là:

(6)

đổi của phương trình (5), nó có thể được hiển thị đầu ra, y k (n), được cho bởi (xem Phụ

có thể được bỏ qua Do đó sau khi một số tác đơn giản,các biểu thức sau đây (đối vớiước tính ak, và bk) thu được:

(10) Thuật toán này có một tham số giá trị thực sự tương tự như các thuật toánGoertzel thông thường được trình bày trong hình thức trượt Thuật toán Goertzel thôngthường phía bên tay trái của phương trình (10) chỉ được đánh giá ở thời điểm khi mẫuthứ N và bộ cộng hưởng được điều chỉnh tại các điểm tần số cách đều nhau, đó là ω k = 2πk/N Kỹ thuật Goertzel đề xuất và sửa đổi tương tự trong ý nghĩa rằng cả hai sử dụng

bộ cộng hưởng điều chỉnh chính xác ở tần số đầu vào Tuy nhiên, thuật toán Goertzelbiến đổi takes/li và B k như ước tính của một a k và b k , tương ứng Trong thuật toán đề

xuất, cân bằng trên phía bên tay phải của công thức (10) cung cấp một phương tiện thích

hợp có thể để cập nhật cả hai pha và biên độ trong từng thời điểm mẫu Nói cách khác,bằng cách giải các phương trình tuyến tính (được xác định bởi phương trình (10)), thuậttoán trượt cho hệ số Fourier thu được như sau:

(13)

Đối với trường hợp với các tín hiệu đầu vào bao gồm của tín hiệu sin có nhiễu,cộng hưởng được yêu cầu trong đó mỗi cộng hưởng được điều chỉnh ở một tần số đầuvào hình sin

Tại thời điểm này, điều quan trọng là để xem xét vấn đề của thời gian thu tacq Lưu

ý rằng mặc dù thuật toán cung cấp các hệ số thành phần hình sin tại mỗithời điểm lấymẫu, người ta không cần phải đánh giá công thức (10) và (11) ở tất cả các thời gian mẫunhưng chỉ sau khi thời gian thoáng qua và đầu ra của bộ cộng hưởng đã được giải quyết.Nói cách khác, ước tính chính xác của các hệ số Fourier có sẵn sau khi một số lấy mẫu cụthể (như là Nacq) khi đóng góp của các thành phần nhiễu trở nên không đáng kể tại đầu racủa bộ cộng hưởng Do đó, chúng tôi có thể khẳng định:

(14)

3.1 Tiêu chí lựa chọn của N acq:

Đối với kỹ thuật được đề xuất, thời gian thu phụ thuộc vào sức mạnh của nhiễu và yêu cầu cần thiết Nói cách khác, khi các đường đầu vào quang phổ rất gần nhau hoặc tín hiệu đầu vào bị hỏng rất nhiều bởi nhiễu, một giá trị lớn của Nacq sẽ được yêu cầu Trong trường hợp với các tần số của hình sin đầu vào là khác nhau từ tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng, đầu ra được cho bởi (xem Phụ lục B)

(15)Với ωk là tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng trong khi ωi và Ci; là tần số vàbiên độ của hình sin đầu vào tương ứng Từ biểu thức (15), nó có thể được lưu ý rằngmức độ đầu ra tỷ lệ nghịch với yếu tố (cos ωk - cos ωi ) có nghĩa là sự đóng góp của cácthành phần không mong muốn sẽ là lớn nhất khi nó gần với thành phần mong muốn Tuynhiên, do bộ cộng hưởng được điều chỉnh chính xác tại tần số đầu vào, thành phần đầu raliên kết với hình sin đầu vào tương ứng trở nên lấn át rất nhanh chóng Lưu ý rằng độ lớn

của các thành phần đầu ra liên quan với mong muốn hình sin tăng tuyến tính với thời gian(xem phương trình (8)), trong khi các thành phần đầu ra do tần số không mong muốn làhằng số Nó cũng được dự kiến rằng các thuật toán cũng sẽ cung cấp hiệu suất tốt vớiđiều kiện SNR thấp Điều này do thực tế là bộ cộng hưởng có thể được coi như là một bộlọc phù hợp lý tưởng cho tín hiệu hình sin có nhiễu.

Sự đóng góp của tín hiệu sin thứ i (i # k) trên ước tính biên độ thứ k tại thời điểm lấy mẫu lần thứ jVacq thu được bằng cách thay thế phương trình (15) vào phương trình (10) Sau một số thao tác, nó có thể được hiển thị:

(16)

Công thức (16) sẽ được sử dụng để xác định lượng đóng góp từ các xoang khác trên cáctần số mong muốn Để có được nhiễu điện đầu ra tại thời điểm lấy mẫu Nacq, cách tiếpcận đề xuất có thể được coi là tương tự như các công ước thuật toán Goertzel thực tế vớihình sin đầu vào được giả định là bằng tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng Nói cáchkhác, công suất nhiễu đầu ra tại thời gian mẫu Nacq là tương đương với nhiễu điện tíchlũy ở mỗi bin của một Nacq điểm DFT Do đó, nhiễu đầu ra được viết như sau:

(17)trong đó v(n) được giả định là 0 có nghĩa là nhiễu Gaussian trắng liên tục với một côngsuất σ2

v Từ công thức (17) là một biến đổi tuyến tính sau đó nhiễu đầu ra cũng được dựkiến sẽ được trình tự một số không có nghĩa là Gaussian được cho bởi:

(18)

Từ công thức (16) và (18), SNR tại đầu ra của bộ cộng hưởng có thể được thể hiện như:

(19)

Điều kiện trong mẫu số của phương trình thứ nhất và thứ hai của biểu thức.(19) là nhiễu

và công suất hình sin không mong muốn, tương ứng.Từ biểu thức (3) SNR đầu vào mỗihình sin được cho bởi:

(20)

Việc đạt được điều chế (PG) được định nghĩa về tỷ lệ SNR đầu ra với SNR đầu vào do

đó được đưa ra bởi:

(21)

Công thức (21) cung cấp một phương tiện thích hợp cho việc lựa chọn các giá trịcủa Nacq về độ chính xác mong muốn.Hơn nữa, phương trình.(21) cho thấy rõ ràng rằngcác tiêu chí lựa chọn; Nacq phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu và tín hiệu điều kiện.Đốivới trường hợp của một hình sin đặt trong nhiễu trắng công thức(21) giảm xuống:

Kể từ khi ước tính cho pha và biên độ của hình sin có sẵn tại tất cả các thời gianmẫu, giá trị của Nacq có thể được lựa chọ lớn tùy ý để có được kết quả chính xác hơn.Đây không phải là trường hợp cho các thuật toán Goertzel thông thường Các công thứcthuật toán được tóm tắt trong Bảng 1 Để so sánh, các thuật toán Goertzel thông thườngcũng được đưa ra trong Bảng 2.Lưu đồ thuật toán được thể hiện trong:

Bảng 1: Các đề xuất mới thuật toán trượt Goertzel:

Với: k =1,2,….,m

Bước 1: Bộ cộng hưởng bậc hai được thiết lập một cách chính xác ở tần số đầu

vào thứ k Nacq thu được theo lợi xử lý mong muốn bằng cách sử dụng phương trình.(21)

Bước 2: Tất cả các điều kiện trạng thái được thiết lập về không

Bước 3: Các tín hiệu đầu vào được áp dụng cộng hưởng, và đồng thời lấy mẫu tạithời gian lấy mẫu thứ Nacq, các phương trình sau đây được tính toán:

(1)

(2)

Bước 4: Ước tính cho hệ số sin được tính:

Bảng 2: Thuật toán Goertzel thông thường:

Với k= 1,2… m

Bước 1: Bô cộng hưởng bậc hai được thiết lập tại tần số 2πk/N với k được chọn như là 2πk/N trở nên càng nhỏ càng tốt với tần số đầu vào chuẩn hóa Lưu ý rằng N phải tương

đương bằng ƒs/Δƒ nếu ước tính chính xác của hình sin là bắt buộc

Bước 2: Tất cả các điều kiện trạng thái được thiết lập về không

Bước 3: Các tín hiệu đầu vào được áp dụng cộng hưởng, và, ngay lập tức thời gian, hệ sốđược tính như sau:

Hình2.Tần số của mẫu trong hình 2 được đưa ra bởi:

Lưu ý rằng, thông thường sửa đổi và đề xuất các thuật toán Goertzel trượt chỉ cầnmột phép cộng và phép nhân một một mẫu đầu ra để thực hiện một phần đệ quy.Để thựchiện một phần không đệ quy, thuật toán Goertzel biến đổi thông thường yêu cầu hai phépnhân, bổ sung một trong khi các phương pháp tiếp cận đề xuất yêu cầu sáu phép nhân bổsung Kể từ khi một phần không đệ quy được thực hiện chỉ ngay thời gian thứ Nacq, phứctạp tính toán tổng thể đã được tăng nhẹ bởi bốn phép nhân nhiều hơn và hai bổ sungnhiều hơn mỗi tín hiệu hình sin đầu vào

4 Kết quả mô phỏng

Xét nghiệm mô phỏng đã được thực hiện để đánh giá hiệu suất của thuật toán đề xuất Hai trường hợp được xem xét Đầu tiên, thuật toán được sử dụng để phát hiện các tínhiệu DTMF.Các tín hiệu DTMF bao gồm hai tần số được lựa chọn từ mức thấp và mộtnhóm tần số cao Trong trường hợp này, GCD của hai thành phần là bằng 1 Hz Thứ hai,thuật toán cũng sẽ ước tính pha và biên độ của một hình sin duy nhất có các tham số thờigian khác nhau trong các chuỗi liên tiếp

Bảng 3 : Các thông số của tín hiệu DTMF

Thành phần tần số thấp Thành phần tần số cao Freq 941 Hz 1209 Hz

Biên độ 2 2

Giai đoạn 1 (rad) 1 (rad)

Ví dụ 1 Đề xuất thuật toán Goertzel được sử dụng cho các nhiệm vụ dự toán hệ số

Fourier của một tín hiệu DTMF Hãy xem xét tín hiệu DTMF sau đây:

(24) Với v(n) bằng không trong nhiễu trắng Gauss Các thông số của các tín hiệu được đưa