báo cáo bài tập lớn giải tích 1

Tốc độ tăng lợi nhuận  Đến năm nào thì tốc độ tăng lợi nhuận đối với đầu tư A vượt qua tốc độ tăng  Tính độ chênh lệch lợi nhuận của 2 đầu tư đến thời điểm tìm được ở câu trên.. khi ?

A Danh sách thành viên :

B Nội dung câu hỏi :

1) (2đ) Tìm hiểu về đường cong tham số trong phần 9.2, Soo T Tan Single variable - Calculus early transcendentals

2) (2đ) Làm các bài tập 40, 41, 42, 43 phần 9.2 nói trên

3) (2đ) A piston is attached to a crankshaft by means of a connecting rod of length , as shown in the figure If the disk is of radius , find the parametric

Page | 2

5) (2đ)Một nhà đầu tư cùng lúc đầu tư vào 2 lĩnh vực A và B Tốc độ tăng lợi nhuận

 Đến năm nào thì tốc độ tăng lợi nhuận đối với đầu tư A vượt qua tốc độ tăng

 Tính độ chênh lệch lợi nhuận của 2 đầu tư đến thời điểm tìm được ở câu trên

 Biều diễn bằng đồ thị độ chênh lệch này

NH ẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Page | 4

BÀI LÀM

Câu 1 : Đường cong phẳng và hàm tham số :

 Tại sao chúng ta cần sử dụng hàm tham số?



điểm lớn

Nếu (x,y) là một điểm trên đường cong thid trong mặt phẳng tọa độ xy, chúng ta viết

𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑔(𝑡)

điểm 𝑡 = 𝑎 thì hạt ở điểm ban đầu (𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)) trên đường cong hay quỹ đạo C khi 𝑡

tăng từ 𝑎 đến 𝑏, hạt này di chuyển theo đường cong theo một hướng cụ thể được gọi là

s ự định hướng của đường cong, cuối cùng hạt kết thúc chuyển động tại điểm

các công đoạn như kéo dài, uốn và xoắn để tạo ra một đường cong C hoàn chỉnh

 Phác thảo đường cong theo định nghĩa bởi phương trình tham số :

 Trước khi đọc các ví dụ, hãy định nghĩa các thuật ngữ sau đây:

phương trình tham số :

𝑥 = 𝑓(𝑡) và 𝑦 = 𝑔(𝑡)

Page | 6

−1 ≤ 𝑡 ≤ 2 :

Cách 1: Nối các điểm (x, y) được xác định bởi các giá trị t chọn sẵn ( bảng 1),

được:

𝑥 = (12𝑦)2 − 4 hay 𝑥 = 14𝑦2 − 4

đỉnh là điểm (−4 , 0) Lúc này, nhận thấy tại 𝑡 = −1 ta được điểm (−3, −2), là điểm

xác định của hàm số, rằng khoảng tham số của 𝑥 = 𝑓(𝑡)và 𝑦 = 𝑔(𝑡) sẽ bao gồm tất cả

HÌNH 3

cong C được nối từ điểm đầu

(−3, −2) đến điểm cuối (0,4)

 Ví dụ 2 : Phác thảo đường cong tham số cho bởi :

**

đường parabol Nhưng lưu ý rằng điều kiện của phương trình thứ nhất là 𝑡 ≥ 0

điểm (0,0) và đi dọc theo đường parabol nói trên

phương trình parabol có phần khác so với câu a trong trường hợp này, khoảng

HÌNH 4

Do t bắt đầu tăng từ 0,

nên đường cong bắt đầu

tại gốc tọa độ và đi dọc

theo toàn bộ nhánh

phảicủa đường parabol

Page | 8

nhiên Nhưng đối với các trường hợp khác yêu cầu biểu dienx sự khác nhau của các

 Ví d ụ 3 : Biểu diễn đường cong cho bởi phương trình tham số :

HÌNH 5

Vì t tăng từ −∞ lên ∞,

được vẽ ra, theo chiều

a) Nếu 𝜃 = 0, thì 𝑥 = 𝑎 và 𝑦 = 0, điểm (𝑎, 0) là điểm đầu của đường cong Do

𝜃 tăng từ 0 đến 𝜋 nên đường cong được vạch ra theo chiều ngược chiều kim

đồng hồ và kết thúc tại điểm (−𝑎, 0) (hình 6a)

b) Lúc này, đường cong là một vòng tròn hoàn chỉnh được vẽ ra theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu tại điểm (𝑎, 0) và kết thúc tại chính điểm đó

(hình 6b)

c) Đường cong ở đây là một đường tròn được vạch ra 2 lần, theo chiều ngược

Hình 6

HÌNH 6

các đường cong đều được vẽ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

y

= 1

đến 2, đường cong elip được vạch ra theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, kết thúc

 Ví dụ 5 : Một khoá đào tạo được đề xuất cho 1 du thuyền được thể hiện qua

a) Áp dụng công thức lượng giác: sin2t = 2 sint cost

{x = sin 𝑡 𝑦 = 2 sin 𝑡 cos 𝑡 = 2𝑥 cos 𝑡 (∗) (∗) ⇒ cos 𝑡 = 2𝑥𝑦

b) Từ kết quả của phần (a), chúng ta thấy rằng đường cong chúng ta cần mô tả

có tính đối xứng qua trục x, trục y và gốc tọa độ Do đó, chúng ta chỉ cần vẽ một

Page | 12

 Ví dụ 6 : Gọi P là một điểm cố định trên vành bánh xe Nếu bánh xe được lăn

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Giả sử bánh xe lăn theo chiều dương với điểm P ban đầu tại điểm gốc tọa độ

{x = d(O, M) − asinθ = a(θ − sinθ)y = R − acosθ = a(1 − cosθ)

 Cycloid ứng dụng cho hai bài toán nổi tiếng trong toán học:

1) Bài toán Brachistochrone: Tìm đường cong mà một chất điểm chuyển động

( dưới tác dụng của trong lực) sẽ trượt từ điểm A sang điểm B khác ( không

2) Bài toán Tautochrone: Tìm đường cong có thuộc tính là phải mất cùng thời

gian để một chất điểm trượt xuống đáy đường cong bất kể hạt đó được đặt ở đâu trên đường cong (Hình 11b.)

Page | 14

Bài toán Brachistochrone - bài toán tìm đường cong hạ xuống nhanh nhất đã

được tiến hành vào năm 1696 bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli Mặt

khác, người ta có thể xem rằng một đường cong như vậy là một đường thẳng, nếu ta xét hai điểm có khoảng cách rất ngắn Nhưng vận tốc trên đường thẳng sẽ tăng lên tương đối chậm, trong khi đó nếu chúng ta đi một đường cong gần A hơn, mặc dù đường đi trở nên dài hơn, chất điểm đi với tốc độ lớn hơn Bài toán này đã được giải

L’Hoopital Họ phát hiện ra rằng đường cong đi xuống nhanh nhất là một vòng cung

ngược của một cycloid (hình 11a) Hóa ra, chính đường cong này cũng là lời giải đáp cho bài toán Tautochrone

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Câu 2 : Bài t ập phương trình tham số :

đường cong mà P vạch ra khi đường tròn lăn không trượt dọc theo một đường

{𝑥 = 𝑟𝜃 − 𝑑 sin 𝜃𝑦 = 𝑟 − 𝑑 cos 𝜃

**

a) Chứng minh phường trình tham số của đường cong trochoid:

 {𝑥 = 𝑟𝜃 − 𝑎𝑦 = 𝑟 + 𝑏 (1)

 {𝑎 = 𝑑 sin(𝜋 − 𝜃)𝑏 = 𝑑 cos(𝜋 − 𝜃) ⇔ {𝑎 = 𝑑 sin 𝜃 𝑏 = −𝑑 cos 𝜃 (2)

Page | 16

{𝑥 = 𝑟𝜃 − 𝑑 sin 𝜃𝑦 = 𝑟 − 𝑑 cos 𝜃 (đpcm) b) Đường cong trochoid với:

 d<r :

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

 d>r :

Mà 𝑂𝐻 = 𝑂𝐼 cos (𝜋2 − 𝜃) = 𝑎 sin 𝜃

⇒ 𝑦 = 2𝑎 sin2𝜃 (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

{ 𝑥 = 2𝑎 cot 𝜃𝑦 = 2𝑎 sin2𝜃 (đpcm)

đây:

{𝑥 = 𝑎(cos 𝜃 + 𝜃 sin 𝜃)𝑦 = 𝑎(sin 𝜃 − 𝜃 cos 𝜃)

**

Từ (1) và (2) suy ra :

{𝑥 = 𝑎(cos 𝜃 + 𝜃 sin 𝜃)𝑦 = 𝑎(sin 𝜃 − 𝜃 cos 𝜃) (đpcm)

2 𝑡) (𝑡 ≥ 0)

**

* S ử dụng phần mềm vẽ đồ thị GeoGebra Graphing Calculator*

Page | 22

Câu 3 : Một pít-tông được gắn vào trục khuỷu bằng một thanh nối có chiều dài như hình vẽ Nếu đĩa tròn có bán kính R, tìm phương trình định vị trí điểm P với góc Ɵ là tham số

**

Câu 4 : Cho đường cong tham số (C) : x = 3t2,y = 3t − t3

**

1) Cơ sở lý thuyết:

 Tìm điểm tự cắt: Ta tìm ở dạng tham số t, cho x=x, y=y, suy ra t Thế t vào

phương trình tham số, ta được điểm tự cắt

 Tiếp tuyến hàm tham số tại điểm tự cắt:

𝒚′(𝒙) = 𝒚𝒙′′(𝒕)(𝒕)

- Điểm tự cắt A(x0;y0) Thế x0 vào x(t) => t => y’(x0)

 Tìm diện tích giới hạn bởi đường cong do phần tự cắt tạo ra:

https://ctec.tvu.edu.vn/ttkhai/TCC/33_Ung_dung_tich_phan.htm

2) Một số lệnh matlap dùng trong bài làm:

 Fprintf: Có thể truy xuất đến từng phần tử chuỗi

 Diff: đạo hàm

 Int: Nguyên hàm, tích phân

Page | 24

 Plot: vẽ đồ thị

 Subs: thay thế biến bởi một số hoặc một biểu thức khác

c) Bài làm : (Code Matlap_2017b)

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Page | 26

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Câu 5 : Một nhà đầu tư cùng lúc đầu tư vào 2 lĩnh vực A và B Tốc độ tăng lợi

Page | 28

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Page | 30

T ỔNG KẾT

I Nhận xét chung về Matlab :

 Ưu điểm :

- Tính toán cho kết quả chính xác cao

- Giúp hiểu thêm về việc ứng dụng matlab trong các bài toán kĩ thuật

 Nhược điểm :

- Đoạn code rườm rà

- Mất nhiều thời gian để thiết kế

- Dễ sai sót, nhầm lẫn mã code

II Kết luận :

- Hiểu được các thao tác giải toán trên Matlab

- Nâng cao sự hứng thú đối với môn học

- Trau dồi kĩ năng học tập và làm việc nhóm

-

END

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)