(LUẬN văn THẠC sĩ) một số vấn đề về bất đẳng thức trung bình số học hình học và áp dụng

Bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học AM-GM là một hệthức cơ bản của toán học.. Euclid – “Vị cha đẻ của hình học” đã sử dụng ý tưởng từphương pháp hình học để chứng minh b

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC

Bình Định - 2020

Mở đầu 2

1 Trung bình số học - Trung bình hình học 4 1.1 Các giá trị trung bình cơ bản 4

1.1.1 Giá trị trung bình thông thường 4

1.1.2 Giá trị trung bình trọng số 6

1.2 Một số khái niệm cơ bản về hàm lồi 7

1.3 Bất đẳng thức AM- GM và các bài toán liên quan 8

1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 8

1.3.2 Ý nghĩa hình học của AM-GM 10

1.3.3 Sử dụng AM-GM để chứng minh các bất đẳng thức cơ bản 11 1.4 Một số kết quả làm chặt bất đẳng thức AM-GM 14

2 Một số áp dụng của bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học 18 2.1 Một số kĩ thuật trong sử dụng AM-GM 18

2.1.1 Kỹ thuật cân bằng hệ số 18

2.1.2 Kỹ thuật AM-GM ngược dấu 39

2.2 Áp dụng vào tìm Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 47

2.3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM để giải phương trình, hệ phương trình 58

2.4 Bất đẳng thức AM-GM trong các bài toán đa thức 66

2.5 Bất đẳng thức AM-GM trong các bài toán hình học, lượng giác 70

2.6 Áp dụng của bất đẳng thức AM-GM vào giải quyết các bài toán thực tế 79

KẾT LUẬN 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

Bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học (AM-GM) là một hệthức cơ bản của toán học Nó được sử dụng cho việc giải nhiều bài toán và tạo ranhiều hệ thức khác quan trọng trong toán học.

Bất đẳng thức AM-GM được coi là bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bấtđẳng thức tam giác Euclid – “Vị cha đẻ của hình học” đã sử dụng ý tưởng từphương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM-GM tổng quát với n =

2 Vào thời kì cận đại, Cauchy được xem như người đầu tiên phát hiện và đưa raphép chứng minh hay và độc đáo cho bất đẳng thức AM-GM tổng quát dựa trênphép quy nạp Toán học Nhưng có lẽ một điều ít người biết là thực tế trước đóvào năm 1729, C Maclaurin (1698-1746), nhà toán học người Scotland đã chứngminh được bất đẳng thức này, tuy nhiên ông không chú trọng về việc đặt têncác bất đẳng thức tổng quát mà mình chứng minh được nên thế giới nhắc đếnCauchy nhiều hơn khi nói tới bất đẳng thức AM-GM

Tại các trường phổ thông ở Việt Nam, mặc dù bất đẳng thức này đã được đưavào giảng dạy từ rất sớm với tên gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) nhưng thờilượng cho các dạng bất đẳng thức không nhiều, thầy cô không chú trọng tới việccho học sinh nắm các kĩ thuật giải cơ bản, không đưa ra các dạng bài và cách giảitổng quát mà lại dành phần lớn thời gian cho việc làm các bài tập cụ thể Vì vậyphần đông học sinh trong đó có nhiều em khá giỏi vẫn cảm thấy lo lắng mỗi khiđối mặt với các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức AM-GM vì trước đó các

em chưa từng giải bài tập giống vậy Trong các kì thi tuyển sinh 10, tuyển học sinhgiỏi, các kì thi Olympic thì việc giải đa phần các bài toán bất đẳng thức, bài toán

về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, sẽ rất khó khăn nếu không có công cụ mạnh

mẽ là bất đẳng thức AM-GM Thậm chí trong cuộc sống cũng có rất nhiều ứngdụng của bất đẳng thức này, ví dụ như việc xây một ngôi nhà sao cho diện tíchnền là lớn nhất, không gian rộng nhất, Từ những lý do trên nên tôi đã chọn đềtài “Một số vấn đề về bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học và ápdụng” cho luận văn của mình

Luận văn này tìm hiểu và nghiên cứu về bất đẳng thức trung bình số học –trung bình hình học từ đó định hình phương án dạy và học theo định hướng

sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu quả quátrình dạy và học Luận văn trình bày trong 87 trang, gồm: Lời nói đầu, 2 chương,Kết luận và Tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn được trình bày tronghai chương.

Chương 1: Trung bình số học - Trung bình hình học Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày một số kết quả về Bất đẳng thức AM-GM là một số kết quả

liên quan Các kết quả trong chương này được trình bày dựa vào [7], [9], [8],

Chương 2: Áp dụng của bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học.

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kĩ thuật quan trọng trong việc sửdụng AM-GM: Kỹ thuật cân bằng hệ số, Kỹ thuật AM-GM ngược dấu; và cùng với

đó là việc vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào giải các bài toán đại số, hình học,

số học, tổ hợp, Các kết quả chương này được trình bày dựa vào [10], [8], [11] Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy PGS.TS.Đinh Thanh Đức Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy

đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thànhluận văn

Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn,các Phòng chức năng, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê đã tạođiều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này Và tôi cũng xin chân thànhcảm ơn quý thầy cô đã tham gia giảng dạy các bạn học viên cao học Toán khóa21

Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnhnhững kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế vàthiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quýthầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Ngày 29 tháng 7 năm 2020 Học viên thực hiện

Trương Minh Nhật

Trung bình số học - Trung bình hình học

Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày một số kết quả về: Các dạng

trung bình cơ bản, một số khái niệm cơ bản và tính chất về hàm lồi, Bất đẳng thức AM-GM và sử dụng AM-GM như một công cụ để chứng minh một số bất

đẳng thức cơ bản Các kết quả trong chương này được trình bày dựa vào [7],[9],[8],

1.1 Các giá trị trung bình cơ bản

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm trung bình cơ bản Các kếtquả trong chương này được trình bày dựa vào [3], [5], [8]

1.1.1 Giá trị trung bình thông thường

Trong mục này, chúng ta tập trung xem xét các khái niệm trung bình của haihoặc nhiều số không âm Với hai số không âm a, b ta kí hiệu

A = a+b

2 ; G =

√ab; Q =

s

a2+b22

lần lượt là trung bình số học1, trung bình hình học2, trung bình toàn phương của

hai số không âm a, b Nếu thêm giả thiết a, b là các số thực dương, ta kí hiệu

1

a +

1b

là trung bình điều hòa của hai số dương a, b

Tổng quát, với n số thực dương cho trước a1, a2, , an, ta định nghĩa trung bình số học, trung bình hình học, trung bình toàn phương,trung bình điều hòa

1Trong các tài liệu Việt Nam, người ta thường quen gọi " The Arithmetic Mean" là trung bình cộng;

2Trong các tài liệu Việt Nam, người ta thường quen gọi " The Geometric Mean" là trung bình nhân.

của n số thực dương a1, a2, , anlần lượt được định nghĩa như sau

4 Tính thuần nhất An(λa) = λAn(a).

5 Tính nội bộ min a ≤ An(a) ≤ max a, trong đó min a = min{a1, , an} và

max a = max{a1, , an} Dấu bằng xảy ra khi a là hằng số.

6 Tính đơn điệu a ≤ b ⇒ An(a) ≤ An(b) Dẫu đẳng thức xảy ra khi a = b.

7 Tính phản xạ Nếu a là hằng số, có nghĩa là ai = α với mọi i ∈ {1, 2, , n}, khi

1 Tính liên tục lim

h → 0 + An(a+h) = An(a).

3 Tính thuần nhất An(λa) = λAn(a).

4 Tính nội bộ min a ≤ An(a) ≤ max a, trong đó min a = min{a1, , an} và

max a = max{a1, , an} Dấu bằng xảy ra khi a là hằng số.

5 Tính đơn điệu a ≤ b ⇒ An(a) ≤ An(b) Dẫu đẳng thức xảy ra khi a = b.

6 Tính phản xạ Nếu a là hằng số, có nghĩa là ai = α với mọi i ∈ {1, 2, , n}, khi

đó An(a) = α.

7 Tính đối xứng An(a1, , an) không đổi nếu hoán vị thứ tự vị trí các phần tử của a.

Kết quả dưới đây, cho ta mối quan hệ giữa các đại lượng trung bình

Định lý 1.1 Cho n số thực dương a1, a2, , an với n≥ 2 Ta có

(a) Kí hiệu b−1 =b1−1, , bn−1 Khi đó,

Gn(ab; w) = Gn(a; w) ·Gn(b; w)

Gn(a; w)
r

= Gn ar; w
,∀r ∈ R.

1.2 Một số khái niệm cơ bản về hàm lồi

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản của hàm lồi Các kếtquả trong phần này được trình bày dựa vào

Để thuận lợi trong việc diễn giải, chúng ta quy ước rằng, kí hiệu I = I(a, b)làmột trong bốn tập hợp sau(a, b),[a, b],(a, b],[a, b)

Định nghĩa 1.1 [8][Hàm lồi] Hàm số f : I −→ R được gọi là hàm lồi trong I nếu

với mọi cặp số thực dương α, β thỏa mãn α+β= 1, ta luôn có

f αx+βy

≤α f(x) +β f(y),với mọi x, y thuộc I Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =y

Ví dụ 1.2.1.

• Hàm số y = xr, với r ≥1, là hàm lồi trên(0;+∞);

• Hàm số y =ex là hàm lồi trênR.

Định nghĩa 1.2 [8][Hàm lõm] Hàm số f : I −→ R được gọi là hàm lõm trong I

nếu với mọi cặp số thực dương α, β thỏa mãn α+β =1, ta luôn có

f αx+βy

≥α f(x) +β f(y),với mọi x, y thuộc I Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =y

Ví dụ 1.2.2.

• Hàm số y = xr, với r ∈ (0; 1), là hàm lõm trên(0;+∞);

• Hàm số y =logax, với a∈ (0;+∞) \ {1}, là hàm lõm trên(0;+∞)

Từ định nghĩa hàm lồi, lõm ta có các kết quả sau

Mệnh đề 1.5 [8] Nếu hàm số f(x)khả vi trên I thì f(x)là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f0(x)là hàm đơn điệu tăng trên I.

Kết quả dưới đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ đề hàm số lồi (lõm, tươngứng)

Định lý 1.2 [8] Nếu hàm số f(x)khả vi trên I thì f(x)là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f00(x) ≥ 0 (tương ứng f00(x) ≤ 0)trên I.

1.3 Bất đẳng thức AM- GM và các bài toán liên quan

Dấu bằng xảy ra khi a = b

Chứng minh bất đẳng thức này khá đơn giản, thông qua việc bình phương hai

vế của (1.4), ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(a+b)2 ≥4ab

Rõ ràng, bất đẳng thức (1.5) đúng với mọi a, b ≥ 0 Do đó, (1.4) đúng Dấu bằngxảy ra khi a = b Một cách tổng quát, chúng ta có kết quả sau, thường được biết

đến với tên gọi Bất đẳng thức AM-GM hoặc Bất đẳng thức Cauchy.

Định lý 1.3 [7][Bất đẳng thức AM-GM] Với n số thực dương a1, a2, , an ta luôn có

a1+a2 + · · · +an ≥ n√n

a1a2· · ·an (1.6)

Có nhiều các để chứng minh bất đẳng thức trên, khoảng hơn 50 cách Ở đây,

chúng tôi trình bày cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy.

Để hoàn thành chứng minh bằng quy nạp kiểu Cauchy, chúng ta cần thực hiệncác bước sau

• Bước cơ sở, kiểm tra P2đúng

• a3+b3+c3−3abc = (a+b+c)a2 +b2+c2−ab−bc−ca;

• a2+b2+c2−ab−bc−ca = 1

2

(a−b)2+ (b−c)2 + (c−a)2.Giả sử Pn đúng với n ≥3 nào đó, tức là

a1+a2 + · · · +an ≥ n√n

a1a2· · ·an.Chứng minh P2n đúng Xét 2n số thực không âm a1, a2, , a2n, do Pn với n ≥ 2đúng nên ta có

Chứng minh Pn−1 đúng Xét n−1 số thực không âm a1, a2, , an−1 Ta sẽ bộ n sốthực không âm, a1, a2, , an−1, an = n −√1

Như vậy Pnđúng với mọi n ∈ N∗

Định lý 1.4 [10][Bất đẳng thức AM-GM có trọng số] Cho n số thực không âm

a1, a2, , an và x1, x2, , xn là các số thực dương thỏa x1 + x2 + · · · + xn = 1 Khi đó

x1a1+x2a2+ · · · +xnan ≥ ax1

1 ·ax2

2 · · ·axn

n

1.3.2 Ý nghĩa hình học của AM-GM

Giả sử ta có một tập các hình chữ nhật có độ dài các cạnh là x, y Vì chu vi vàdiện tích của hình chữ nhật lần lượt được xác định bởi

S = x·y; p =2 x+y
,nên ta có các kết quả sau

Mệnh đề 1.6 (a) Trong số tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là

hình có diện tích lớn nhất.

(b) Trong số tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông là hình có chu

vi nhỏ nhất.

Chứng minh Gọi x, y lần lượt là độ dài các cạnh hình chữ nhật Khi đó, chu vi và

diện tích của hình chữ nhật lần lượt được xác định bởi

Dấu bằng xảy ra khi x = y = a

2 Điều này có nghĩa là, trong số tất cả các hìnhchữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất

(b) Khi hình chữ nhật có diện tích không đổi, có nghĩa là xy = S với S là hằng số.Khi đó, áp dụng AM-GM, ta có

2(x+y) ≥ 4√xy =4√S

Dấu bằng xảy ra khi x = y = √

S Điều này có nghĩa là, trong số tất cả cáchình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất

Dưới một góc nhìn khác, với hai số thực dương x, y, ta xét đường tròn tâm O cóđường kính AB = x+y Trên AB, ta lấy H sao cho H A = x, HB =y Gọi C ∈ (O)sao cho CH ⊥ AB Khi đó

x+y

2 =OC ≥CH =

√2

1.3.3 Sử dụng AM-GM để chứng minh các bất đẳng thức cơ bản

Trọng mục này, chúng tôi trình bày việc sử dụng AM-GM để chứng minh một

số bất đẳng thức cổ điển Các kết quả ở đây, được trình bày dựa vào [3], [10]

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho hai bộ số thực tùy ý a1, a2, , an

Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng vế theo vế, ta nhận được(1.7)

Ta hoàn toàn có thể mở rộng các tiếp cận bất đẳng thức Cauchy-Schawrz trêncho bất đẳng thức Holder

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Holder) Cho n bộ số dương

a1,1; a1,2; ; a1,n
, a2,1; a2,2; ; a2,n
, , am,1; am,2; ; am,n

Với w1, w2, , wn là các số thực dương thỏa mãn

w1+w2+ · · · +wn = 1,

Dấu00 =00xảy ra α =0 hoặc x =0.

Chứng minh a) Xét α ≥1 tùy ý Ta xem xét hai trường hợp

Trường hợp 1: α ∈ Q+ Trong trường hợp này, vì α ≥ 1 nên chúng ta chỉ có haikhả năng

• Nếu α = 1 thì(1.9)hiển nhiên đúng.

Trường hợp 2: α ∈ [1;+∞) \Q Khi đó vì Q là tập trù mật trong R nên tồn tại dãy

hay(1+x)α ≥1+αx Như vậy BĐT(1.9)được chứng minh trọn vẹn

Chứng minh b) Với 0 ≤α < 1 tùy ý Ta xem xét hai trường hợp

Trường hợp 1: α ∈ Q+ Trong trường hợp này, vì 0 ≤ α < 1 nên chúng ta chỉ cóhai khả năng

• Nếu α = 0 thì(1.10)hiển nhiên đúng

• Nếu α ∈ (0; 1)thì α = m

n với(m, n) = 1, n >m ≥ 1 Khi đó ta có

m(1+x) + (n−m) ≥ nn

q(1+x)m

Trường hợp 2: α ∈ [0; 1) \Q Khi đó vì Q là tập trù mật trong R nên tồn tại dãy số

Trong mục này, chúng tôi sẽ cố gắng làm chặt bất đẳng thức AM- GM Chúng

ta bắt đầu với ý tưởng đơn giản sau: Nếu chúng ta có A ≥ B thì chúng ta luôn có

(1−α) (A−B) ≥ 0,

với α ∈ [0, 1] Độ chặt của bất đẳng thức thu được tùy thuộc vào khoảng cách α và

1 Chúng ta bắt đầu bởi ví dụ sau

Ví dụ 1.4.1 Cho ba số thực a, b, c Với 0 ≤α , β, γ≤ 1, chứng minh rằng

(a−b)2;α

2

,

(b−c)2;β

2

,

(c−a)2;γ

2

tanhận được



1− α2

(a−b)2+



1− β2

(b−c)2 +



1− γ2

(c−a)2 ≥0

(a+b) ≥ 4−8α+4α(a+b)

x2+y2 ≥ 2

9 x+2y

2

.Thực vậy,

Chứng minh Do vai trò của các số hạng là như nhau, nên ta chỉ cần chứng minh

ak+1, g = k +√1

Gk Khi đó(k+1)Ak+1 = kAk+ak+1 = kAk+xk+1; Gk+1 = gk·x

Ta cũng có √ak−√ak+1 ≤ x−y Do vậy, Mệnh đề 1.8 sẽ được chứng minh khi

Vì h0(t) = n(2k−n)tn−1−t2k − n − 1 ≥ 0 với mọi t ≥ 1 nên h(t)là hàm đơnđiệu tăng trên[1;+∞) Điều này kéo theo h0(t) ≥ h(1) = 0 hay f0(t) ≥ 0 Do đó,

f(t)là hàm đơn điệu tăng Điều này dẫn tới f(t) ≥ f(1) = 0 với mọi t ≥1

Vasile Cˆırtoaje đã đưa ra kết quả tổng quát của Mệnh đề 1.8 như sau:

Mệnh đề 1.9 ([7]) Cho n số thực a1 ≥ a2· · ·an ≥ 0, n ≥ 3 Với số nguyên k, j thỏa

Một số áp dụng của bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học

Trong chương này, chúng tôi trình bày hai kĩ thuật quan trọng trong việc sửdụng AM-GM là: Kĩ thuật cân bằng hệ số, Kĩ thuật AM-GM ngược dấu; cùng với

đó là việc vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào giải các bài toán đại số, hình học,

số học, tổ hợp, Các kết quả chương này được trình bày dựa vào [10], [8], [11]

2.1 Một số kĩ thuật trong sử dụng AM-GM

Trong mục này, chúng tôi tập trung trình bày hai kĩ thuật quan trọng trongviệc sử dụng AM-GM, đó là: Kĩ thuật cân bằng hệ số, Kĩ thuật AM-GM ngược dấu

3 là không thể, cho nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x =3 Một sai lầm rất hay gặp, đó là nếu ta lập luận

2 Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho n số nào đó thì ta cần đảm bảo rằngvới điểm rơi mà ta tính toán được thì n số mà ta sử dụng AM – GM phải cùngbằng nhau Tại sao? Bởi vì khi dấu đẳng thức xảy ra, mọi bất đẳng thức vàđánh giá mà chúng ta dùng sẽ chuyển thành đẳng thức, tức là dấu ≥, ≤sẽtrở thành dấu 0 =0 Và khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM, nó cũng khôngphải một ngoại lệ, cho nên với điểm rơi đó, bắt buộc n số đó phải bằng nhau.

3 Tiếp theo, ta quan tâm đến việc thế nào là thừa, thế nào là thiếu Ở đây, vớiđiểm rơi x = 3 thì 1

sử dụng bất đẳng thức AM – GM thì vẫn đảm bảo điểm rơi không bị thay đổi

Kỹ thuật tách như trên còn được gọi là cân bằng hệ số

Ví dụ 2.1.2 Cho x là số thực dương và x ≥3 Chứng minh rằng

Ví dụ 2.1.3 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

Phân tích: Để khử mẫu có dạng b+c, c+a, a+b, ta có thể nghĩ đến việc thêmmột lượng b+c, c+a, a+b để AM – GM, cụ thể

Ngoài ra, ta còn phải có a =b = c nên

a2

b+c = k(b+c) ⇔ k=

a2(b+c)2 =

2 Với bất đẳng thức mà các biến đối xứng thì điểm rơi thường xảy ra khi cácbiến cùng bằng nhau Thực ra, với các bất đẳng thức mà các biến đối xứng,chúng ta thường không gặp nhiều khó khăn trong việc dự đoán điểm rơi vàcân bằng hệ số, điều khó khăn mà chúng ta gặp phải đó là lựa chọn một biểuthức phù hợp để thực hiện đánh giá

Ví dụ 2.1.4 Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn a+b+c ≥ 3 Chứngminh rằng

a3+b3 +c3 ≥3

Phân tích: Dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Để ý rằng

dữ liệu bài toán cho là a+b+c ≥3 và a+b+c bậc nhất, còn yêu cầu bài toán là

a3+b3+c3 ≥ 3 và a3+b3+c3 bậc ba nên ta sẽ tìm cách làm giảm bậc để đánhgiá Ở đây, ta chọna3; 1; 1để sử dụng AM – GM và vẫn đảm bảo dấu đẳng thứcxảy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b= c =1

Ví dụ 2.1.5 Cho a, b, c là ba số thực dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng

c−1 Tuy nhiên, có thể thấy hệ số 4, 5, 6 không có vai trò gì quan trọng nên bảnchất của bài toán này chính là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x

2

x−1 với x > 1.Phát hiện này giúp ta nhận ra một điều, dù bất đẳng thức này ba biến không đốixứng nhưng bản chất của nó lại là đối xứng Vậy nên, ta dự đoán được ngay dấuđẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b = c và

x−1 ≥ 4 Tuy nhiên, đây không phải là bất đẳng thức quá khó

để chứng minh và ở đây, tôi xin phép chỉ dùng bất đẳng thức AM – GM để chứngminh

Chứng minh Với mọi số thực x >1, áp dụng AM – GM, ta có

x−1 =4.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2 Áp dụng vào bài toán, ta sẽ có

Ví dụ 2.1.6 , Cho a1, a2, , a2020là 2020 số thực dương thoả mãn điều kiện



≥20202020√

a1a2· · ·a2020·2020 2020

s1

để tạo ra một đánh giá giúp chúng ta đưa các biến về bậc nhất, giống như điềukiện

a1+a2 + · · · +a2020 ≥ 2020

mà ta đang có Cũng từ các điều kiện lẫn yêu cầu chứng minh của bài toán, ta cóthể dự đoán rằng điểm rơi xảy ra tại

a1 = a2 = · · · =a2020 = 1

Như vậy, ta có thể giảm bậc bằng cách sử dụng AM – GM để có được đánh giá



≥20202020√

a1a2· · ·a2020·2020 2020

s1

a1+ a22

2 +

12

!+ a33

3 +

23

!+ · · · + a20202020

2020 +

20192020

+



1− 23

+ · · · +



1−20192020

Ví dụ 2.1.7 Cho x, y là hai số thực dương Chứng minh rằng

(1+2x)



1+ y2x



1+ 4

√y

y2 ,

• 1+ y

2x = 1+

y4x +

y4x ≥3

3

r

1· y4x ·

y4x =3

3

r

y216x2.Bây giờ, vế nhân vế lại các bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh Dấuđẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Nhận xét: Một lần nữa, việc tìm điểm rơi trở nên vô cùng quan trọng, bởi vì chỉ

có tìm điểm rơi chính xác, chúng mới dẫn đến được việc lựa chọn và cân bằng hệ

số chính xác, không thừa cũng không thiếu

Ví dụ 2.1.8 Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn x+y+z ≤ 1

3 Chứng minhrằng

89x và tương tự với y, z

Chứng minh Trước hết, ta dễ dàng có được đẳng thức

19y +z+

19z +

89

!

r

z· 19z +

1 =10.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = 1

3 , ta có thể nghĩ đến đánh giá sau để hạ bậc

a3 +

r20203

!3

≥ 2

vuu

ta3·

r20203

!3

= 2a

vuut

r20203

a3+a3+

r20203

!3

≥3 3

vuu

ta3·a3·

r20203

!3

=3a2

r2020

3 .

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

a3+a3+

r20203

!3

≥3 3

vuu

ta3·a3·

r20203

!3

=3a2

r2020

!3

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và vế cộng vế, ta suy ra

Q ≥

3r 20203



a2+b2+c2− 2020

3

r 20203

80803

r2020

c2+2ab = a2 +b2+2c2−2bc−2ca = (b−c)2+ (c−a)2.Như vậy, ta có thể viết biểu thức

Htrở lại thành

H = |a−b|

q

(b−c)2+ (c−a)2

+ |b−c|q

(c−a)2 + (a−b)2

+ |c−a|q

Mặc dù biểu thức H được viết lại gọn hơn, nhưng mối liên hệ từ điều kiện bài chochuyển qua x, y, z là rất mập mờ Tuy nhiên, phát hiện sau sẽ khai sáng bài toán.

Cụ thể, do vai trò của các biến ban đầu là như nhau nên khi giả sử a ≥b ≥ c thì

Chứng minh Từ điều kiện bài cho, ta có

c2+2ab = (b−c)2+ (c−a)2,

b2+2ca = (a−b)2+ (b−c)2,

a2+2bc = (c−a)2+ (a−b)2.Đặt

Hđược viết lại thành

x =2.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trường hợp 2: không tồn tại số nào bằng 0, tức xyz >0

Phân tích Với trường hợp này, khả năng cao là không xảy ra dấu đẳng thức,

bởi ta dự đoán là dấu đẳng thức xảy ra khi có hai biến bằng nhau Điều này chophép ta thực hiện đánh giá “lỏng” hơn một xíu, đó là

Nhận xét: Ở bài toán này, việc tìm điểm rơi lẫn giá trị nhỏ nhất trở nên rất khókhăn, khi mà điều kiện bài toán hết sức “hiểm nghèo” Bằng cách nào đó, khi gặpbài toán như vậy, điều chúng ta nên làm đầu tiên là giảm bớt những sự “hiểmnghèo” đó, nhiều khi chỉ cần một biến đổi có thể xoay chuyển được tình thế.

Ví dụ 2.1.11 (Iran 2014) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn

Phân tích: Trước hết, ta cần khai thác giả thiết, vì rõ ràng ở bài toán này, ta khó

có thể nhẩm được điểm rơi đẹp Thế thì, từ điều kiện bài cho, ta có

b+√

c2 vào thì bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đối xứnghai biến b, c và giữa b, c không còn điều kiện ràng buộc, nên khả năng cao điểmrơi xảy ra khi b = c và√a =2√b, tức là a =4b =4c Thử vào, ta thấy

Vậy thì đây chính là điểm rơi của bất đẳng thức cần chứng minh Với điểm rơinhư vậy, kết hợp với đẳng thức

(a+b−c)2 =4ab ⇔  a+b−c

2

2

·2c =2abc,đồng thời với điểm rơi a =4b =4c thì a+2b−c =2c, ta sẽ có cách tách

Chứng minh Từ điều kiện bài toán, giả sử a ≥ b ≥c, ta thấy rằng

a2+b2+c2 =2(ab+bc+ca)

⇔ (a+b)2−2(a+b)c+c2 = 4ab

⇔ (a+b−c)2 =4ab

4 ·2c= 3

3

r4ab

4 ·2c= 3

3

√2abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a

1

c ≥

13

2 .Tuy nhiên, đây là hệ phương trình gồm hai phương trình ba ẩn, để giải được làcông việc rất khó khăn Để ý rằng a+2b+3c ≥10, vậy nên ta sẽ kỳ vọng a, b, c sẽ

là phần bị tách ra, còn 3

4a,

98b,

1

c là phần giữ nguyên Lại thêm điều kiện a+2b+3c ≥ 10, ta sẽ phải tách a, b, c sao cho sau khi bỏ đi phần sử dụng với AM – GM,phần còn lại, nếu lấy hệ số của a, b, c thì nó sẽ lần lượt tỷ lệ với 1, 2, 3 Vậy, ta có thểhình dung cách tách

1c

= ka+2kb+3kc+ (1−k)a+ 3

4a + (1−2k)b+

98b + (1−3k)c+

1c

≥ k(a+2b+3c) +2

r(1−k)a· 3

4a +

r(1−2k)b· 9

8b +

r(1−3k)c· 1

2(1−2k) +2

√

1−3k = 13

2 ,

ta sẽ tìm được k phù hợp Tuy nhiên, trong bài toán bất đẳng thức này, việc giảichi tiết phương trình trên là không thực sự cần thiết Với việc

1

c ≥

132

đã gợi ý cho ta một điều, đó là k sẽ là một số hữu tỷ “đẹp” sao cho

q

3(1−k),

r9

+ b

2 +

98b

+ c

4 +

1c



≥ 10

4 +2

r3a

4 ·

34a +2

rb

2 ·

98b +2

rc

Phân tích: Ở câu a), ta có thể thấy biểu thức P với vai trò của x, z như nhau, ta dự

đoán được điểm rơi sẽ xảy ra nếu x = z Tuy nhiên, ở điều kiện bài toán, ta thấynếu x2+y2+z2 =1 thì x2+y2+ (−z)2 = 1 Hơn nữa, với hệ số 2019 của zx, yêucầu bài toán là tìm giá trị nhỏ nhất, tất cả những yếu tố đó giúp ta liên tưởng tớiviệc điểm rơi xảy ra tại x = −z >0 hoặc ngược lại Lại thêm một chút “cảm giác”,

ta thấy rằng nếu x = −z càng lớn thì 2019zx càng nhỏ và kéo theo P sẽ càng nhỏ.Như vậy, ta đoán được điểm rơi là x = −z = 1



= −2019

2 .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Q = xy+yz+2zx ≤

xy + yz +2|zx| = |x| ·

...

2−b+1

ab2+2a2vẫn xảy dấu đẳng thức Và vậy, với cách đánh giá AM – GM này, ta vẫnđảm bảo dấu đẳng thức xảy đánh giá hệ số phần sau đánhgiá tỷ lệ phù hợp với Đây đánh giá... minh Đặt(a; b; c) =

3x;

45y;

32z

! Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, tacó

15xyz ≥3x+5y+7z≥ 15 15

q

x3y5z7... class="text_page_counter">Trang 40

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

p

x3+1=

q(x+1) x2−x+1