(LUẬN văn THẠC sĩ) nghiên cứu cấu trúc và tính chất của một số phức chất platinum(II) chứa phối tử eugenol và dẫn xuất acid carboxylic của pyridine bằng phương pháp hóa học tính toán

Ví dụ như môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quantrọng trong Đại số giao hoán,có thể đặc trưng bởi một trong các điềukiện dưới đây: i Hom M = 0 với mọi i 6= d ii Mọi hệ tham số của M đều là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Công trình được hoàn thành tạiTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thái Hòa

Phản biện 1: TS LÊ ĐỨC THOANGPhản biện 2: TS MAI QUÝ NĂMLuận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ chuyênngành Đại số và Lý thuyết số, họp tại Trường Đại học Quy Nhơn vàongày 31 tháng 5 năm 2020

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin tư liệu, Trường Đại học Quy Nhơn

- Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn

Mục lục

1.1 Địa phương hóa 4

1.2 Sự phân tích nguyên sơ 6

1.3 Chiều Krull 8

1.4 Đối đồng điều địa phương 10

2 Đặc trưng của môđun Buchsbaum 12 2.1 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua hệ tham số 12

2.2 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 17

2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc 22

MỞ ĐẦU

Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương, M là một môđun hữu hạn sinh với dim M = d ≥ 1 và q là một iđêan tham số Khiđó,định lý đa thức Hillbert nói rằng hàm độ dài λM,q(n) = l (M/qnM )

R-là đa thức theo n khi n đủ lớn (n  0) Đặc biệt, bậc của đa thức nàybằng d, còn tích giữa hệ số của nd với d! bằng đúng bội số e(q,M) Hơnnữa, hiệu I (M )=l (M/qnM )− e(q,M)) cho ta nhiều thông tin về cấutrúc của Môđun M Ví dụ như môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quantrọng trong Đại số giao hoán,có thể đặc trưng bởi một trong các điềukiện dưới đây:

(i) Hom (M) = 0 với mọi i 6= d

(ii) Mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy

(iii) Iq(M )=0 với mọi iđêan tham số q của M

Từ ý tưởng nghiên cứu Iq(M ) như là một hàm theo q dẫn đến việc hìnhthành lý thuyết các môđun Buchsbaum như sau:

Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với mỗi Môđun M tùy ý, Iq(M )luôn là một hằng số không phụ thuộc vào cách chọn iđêan tham số q.Năm 1973, Vogel và St¨uckrad đã xây dựng nhiều phản ví dụ để chứng tỏrằng giả thiết của Buchsbaum không đúng trong trường hợp tổng quát.Tuy nhiên, Vogel cũng chỉ ra rằng lớp các môđun thỏa mãn giả thiết

Buchsbaum vẫn còn nhiều kết quả tốt.Vogel gọi môđun thỏa mãn giảthiết Buchsbaum là một môđun Buchsbaum

Chúng tôi chọn đề tài : “Một số đặc trưng của môđun Buchsbaum” đểtiếp cận sâu hơn về Đại số giao hoán

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày định nghĩa và chứng minh lại một số tính chất

cơ bản của đại số địa phương, đại số đồng đều, đối ngẫu, giải phức vàđối ngẫu Một số nội dung dự kiến gồm:

1.1 Địa phương hóa

1.2 Sự phân tích nguyên sơ

1.3 Chiều Krull

1.4 Đối đồng điều địa phương

1.5 Đối ngẫu

Chương 2: Môđun Buchsbaum

Trong chương này trình bày một số đặc trưng môđun Buchsbaum,môđun Buchsbaum phân bậc và tích segre của môđun Cohen-Macaulayphân bậc Nội dung dự kiến gồm:

2.1 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua hệ tham số

2.2 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình củathầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi

xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Tôi cũng xin gửi lờicảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đàotạo Sau Đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp caohọc Đại số và Lý thuyết số khóa 19 đã giảng dạy và tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Tôi cũng xin bày

tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đã luôn giúp đỡ động viên để tôihoàn thành khóa học và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức củabản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức vàkinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo đểluận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Địa phương hóa

Nội dung của tiết này được trình bày theo [1]

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Tập S ⊂ R được gọi là một tậpnhân đóng nếu 1 ∈ S và với mọi x, y ∈ S thì xy ∈ S

Xét tập

S × R = {(s, r) | s ∈ S và r ∈ R}

và định nghĩa trên S × R một quan hệ hai ngôi:

∀(s, r), (t, k) ∈ S × R, (s, r) ∼ (t, k) ⇔ ∃u ∈ S : u(st − kr) = 0.Khi đó, quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương Với mỗi (s, r) ∈ S × R,

ta kí hiệu lớp tương đương (s, r) là r

s và tập thương (S × R)/∼ là S−1Rhay RS

Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

1.

Định nghĩa 1.1.1 Vành RS được gọi là vành các thương của vành Rtương ứng với tập nhân đóng S.

Chú ý rằng, với mỗi p ∈ Spec(R), S = R \p là một tập nhân đóng.Khi đó, vành RS còn được kí hiệu là Rp

Mệnh đề 1.1.2 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, S là một tậpnhân đóng của R và I là một iđêan của R Khi đó các khẳng định sauđây là đúng

(i) Tập IRS = IS = {r

s | r ∈ I và s ∈ S} là một iđêan của vành RS.(ii) Với mỗi p ∈ Spec(R), Spec(Rp) = {qRp | q ∈ Spec(R) và q ⊂p}.(iii) Với mỗi p ∈ Spec(R), vành Rp là một vành địa phương với iđêancực đại pRp

Cho M là một R-môđun Xét vành các thương RS với S là một tậpnhân đóng Xét tập

S × M = {(s, m) | s ∈ S và m ∈ M }

Trên tập S × M ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi:

∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = 0.Khi đó, quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên S × M và với mỗi(s, m) ∈ S × M , ta kí hiệu lớp tương đương (s, m) là m

s và tập thương(S × M )/∼ là S−1M hay MS

Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau:

rs .

Chúng ta có thể kiểm tra MS là một RS-môđun.

Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS trên vành RS được gọi là môđun địaphương hóa của M tương ứng với tập nhân đóng S

Chú ý rằng, với mỗi p ∈ Spec(R), S = R \p là một tập nhân đóng.Khi đó, ta kí hiệu MS = Mp

1.2 Sự phân tích nguyên sơ

Nội dung của chương này được trình bày theo [5]

Cho R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun

Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêannguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao choAnn(x) = p

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M )hay Ass(M )

Bổ đề 1.2.4 Cho S là một tập nhân đóng của R Đặt R0 = S−1R,

M0 = S−1M Khi đó AssR0(M0) = AssR(M ) ∩ {p ∈ Spec(R) |p∩ S = ∅}

Định lý 1.2.5 Cho R là một vành Noether giao hoán và M là mộtR-môđun Khi đó Ass(M ) ⊆ Supp(M ) và mọi phần tử cực tiểu củaSupp(M ) thuộc về Ass(M ).

Mệnh đề 1.2.6 Cho R là một vành Noether và M là một R-môđunhữu hạn sinh Khi đó Ass(M ) là một tập hữu hạn

Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun được gọi là đối nguyên sơ nếu nó códuy nhất một iđêan nguyên tố liên kết Một môđun con N của M đượcgọi là một môđun con nguyên sơ của M nếu M/N là đối nguyên sơ NếuAss(M/N ) = {p}, ta nói N là p-nguyên sơ hay N liên kết với p

Cho N là một môđun con của M Một phân tích nguyên sơ của N

là một biểu diễn dạng N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr với mọi Qi là nguyên sơtrong M Hơn nữa, một phân tích nguyên sơ được gọi là rút gọn nếukhông thể bỏ một Qi nào và những iđêan nguyên tố liên kết của M/Qi

1.3 Chiều Krull

Nội dung của chương này được trình bày theo [5]

Định nghĩa 1.3.1 Chiều của R được định nghĩa là chặn trên nhỏ nhấtcủa tất cả độ cao của tất cả iđêan nguyên tố của R, tức là

dim(R) = sup{ht(p) | p ∈ Spec(R)}

Nó còn được gọi là chiều Krull của R

Ví dụ 1.3.2

1) Cho K là một trường Khi đó dim K = 0

2) dim(Z) = 1

Nhận xét 1.3.3

(i) Với mỗi p ∈ Spec(R), ht(p) = dim(Rp)

(ii) Với mỗi iđêan I của R, dim(R/I) + ht(I) 6 dim R

Định nghĩa 1.3.4 Cho M 6= 0 là một R-môđun Chiều Krull của Mlà

dim(M ) = dim(R/ Ann(M ))

Trong trường hợp M = 0, ta qui ước dim(M ) = −1

Mệnh đề 1.3.5 Giả sử R là một vành giao hoán Noether và M 6= 0 làmột R-môđun hữu hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.(i) M là một R-môđun có độ dài hữu hạn

(ii) Vành R/ Ann(M ) là Artin

(iii) dim M = 0

Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại

m Một iđêan I được gọi là một iđêan định nghĩa của R nếu mk ⊆ I ⊆ m

với một k > 1 Điều này tương đương với I ⊆ m và R/I là Artin

Cho I là một iđêan định nghĩa của R và M là một R-môđun hữu hạnsinh Đặt

R∗ = grI(R) = ⊕n>0In/In+1và

M∗ = grI(M ) = ⊕n>0InM/In+1M

Giả sử I = Rx1+· · ·+Rxr Khi đó vành phân bậc R∗ là ảnh đồng cấu của

B = (R/I)[x1, , xr], và M∗ là R∗-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi

đó FM∗(n) = `(InM/In+1M ) là một đa thức theo n với deg FM∗(n) 6

Bổ đề 1.3.7 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương Khi đód(R)> dim(R).

Bổ đề 1.3.8 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương và

M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh và x ∈ m Khi đó

d(M ) > dim(M/xM ) > d(M ) − 1

Bổ đề 1.3.9 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương và

M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh, và đặt dim(M ) = r Khi đó tồntại r phần tử x1, , xr ∈ m sao cho `(M/(x1, , xr)M ) < ∞

Định lý 1.3.10 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương

và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

d(M ) = dim(M ) = δ(M )trong đó δ(M ) là số tự nhiên nhỏ nhất r sao cho tồn tại x1, , xr ∈ m

để `(M/(x1, , xr)M ) < ∞

Chú ý rằng, nếu d = dim(M ) và hệ phần tử x1, , xd ∈ m sao cho

`(M/(x1, , xd)M ) < ∞ được gọi là một hệ tham số của M

Mệnh đề 1.3.11 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương

và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

(i) dimR(M ) = dim

b

R(M ).c

(ii) dim M = max{dim(R/p) | p ∈ Ass(M )}

1.4 Đối đồng điều địa phương

Định lý 1.4.1 (Tính độc lập của vành cơ sở) Cho R0 là R-đại số và

N0 là R0-môđun Cho I là một iđêan của R Khi đó với mọi i > 0, ta cóđẳng cấu Hi 0(N0) ∼= Hi(N0) các R-môđun

Khi R0 là R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [4], Định lý 4.3.2)Định lý 1.4.2 (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho R0 là R-đại số phẳng.Khi đó có R0-đẳng cấu HIi(N ) ⊗R R0 ∼= Hi

IR 0(N ⊗R R0) với mọi i > 0.Cho p là iđêan nguyên tố bất kì của R Khi đó Rp là R-đại số phẳng

Từ định lý 1.4.2 ta luôn có Rp-đẳng cấu

HIi(N ) ⊗R Rp ∼= Hi

IR p(N ⊗R Rp)Hơn nữa, vì N ⊗R Rp ∼= N

p với mọi R-môđun N nên(HIi(N ))p ∼= Hi

IRp(Np)

Chương 2

Đặc trưng của môđun Buchsbaum

2.1 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua hệ tham

Hệ số e0(q; M ) gọi là số bội của M ứng với iđêan q

Năm 1965, D A Buchsbaum đã đặt ra giả thiết: Tồn tại một số tựnhiên I(M ) sao cho hiệu `A(M/qM ) − e0(q, M ) = I(M ) là hằng số vớimọi iđêan tham số q của M Tuy nhiên, giả thiết trên không đúng Vàmục đích của phần này là trình bày tính chất đầu tiên của R-môđun Mthỏa mãn giả thiết trên

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là R-môđun Noether Một hệ các phần tử

x1, , xr ∈ m được gọi là một M -dãy yếu, nếu với mỗi i = 1, , r

(x1, , xi−1) · M : xi = (x1, , xi−1) · M : m

Ta biết rằng mỗi M -dãy là một phần của hệ tham số của M Đối vớicác M -dãy yếu ta có kết quả sau

Bổ đề 2.1.2 Cho M là một R-môđun Noether với chiều d dương Khi

đó, mỗi M -dãy yếu x1, , xr với r ≤ d là một phần của hệ tham số của

M

Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun M Noether được gọi là một môđunBuchsbaum nếu mỗi hệ tham số của M là một M -dãy yếu R được gọi

là một vành Buchsbaum nếu nó là một môđun Buchsbaum

Bổ đề 2.1.4 Giả sử rằng R là ảnh toàn cấu của vành địa phương B.Một R-môđun M là một môđun Buchsbaum trên R nếu và chỉ nếu nó

là một môđun Buchsbaum được coi là một B-môđun bằng “hạn chế vôhướng”

Định nghĩa 2.1.5 Cho a ⊂ R là một iđêan và M là một R-môđunNoether với dim M = d và dim M/aM = 0 Một hệ các phần tử x1, , xt

của R được gọi là M -cơ sở của a nếu các điều kiện sau thỏa mãn:(i) x1, , xt tạo thành một cơ sở tối tiểu của a

(ii) Với mỗi hệ i1, , id các số nguyên với 1 ≤ i1 < · · · < id ≤ t thì cácphần tử xi1, , xid lập thành một hệ tham số của M

Mệnh đề 2.1.6 Cho a ⊂ R là một iđêan và M1, , Mn là các R-môđunNoether với dimRMi/aMi = 0 với mọi i = 1, , n Khi đó a1, , at ∈ a

tạo thành một Mi-cơ sở của a với mọi i = 1, , n

Hệ quả 2.1.7 Cho M là một môđun Buchsbaum Giả sử x1, , xr làmột phần của hệ tham số của M với r < dim M Khi đó M/(x1, , xr)M

và M/U ((x1, , xr)M ) là các môđun Buchsbaum Hơn nữa, Mp là môđunCohen-Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p 6= m và p ∈ SuppM

Mệnh đề 2.1.8 Gọi M là mô-đun Noether R với d := dim M > 0 Cácđiều kiện sau là tương đương:

(i) M là một mô-đun Buchsbaum, tức là, mỗi hệ tham số là một chuỗi

(x1, , xi) · · · M : xi+1 = (x1, , xi) · M : xvới mọi x ∈ m

sao cho x1, , xi, x tạo thành một phần của hệ tham số của M (ii)’ Với mỗi hệ tham số x1, , xd của M chúng ta có

(x1, , xd−1) · · · M : xd = (x1, , xd−1) · M : xvới mọix ∈ m

sao cho x1, , xd−1, x lại tạo thành một hệ tham số của M

(iii) Với mỗi hệ tham số x1, , xd của M chúng ta có với mọi i =

0, , d − 1:

(x1, , xi) · · · M : xi+1 = (x1, , xi) · M : x2i+1

(iii)’ Với mỗi hệ tham số x1, , xd của M chúng ta có

(x1, , xd−1) · · · M : xd = (x1, , xd−1) · M : x2d.(iv) Với mỗi phần của hệ tham số x1, , xi của M với i < d chúng tacó

U ((x1, , xi) · · · M ) = (x1, , xi) · M : m.Định lý 2.1.9 Cho M là một R-môđun Noether với dim M = d Khi đó

M là một môđun Buchsbaum nếu và chỉ nếu có một số nguyên I(M ) ≥ 0sao cho

l(M/qM ) − e0(q, M ) = I(M ) với mọi iđêan tham số q của M

Bổ đề 2.1.10 Cho M là một R-môđun Noether có chiều dương M làmột môđun Buchsbaum nếu và chỉ nếu bao đầy đủ m-adic M của M làc

một môđun Buchsbaum trên R Trong trường hợp này I(M ) = I(b M ).c

Bổ đề 2.1.11 Cho M là một R-môđun Noether và a ⊂ R là một iđêansao cho M/aM là môđun Buchsbaum có chiều dương Khi đó, với mỗiphần của hệ tham số x1, , xr của M/aM và b := (x1, , xr)R thì

(a· M : m) ∩bk · M ⊆ a·bk−1 · M với mọi k ≥ 1(b0 := R)

Bổ đề 2.1.12 Cho M là một môđun Buchsbaum trên R có chiều dương.Với mỗi hệ tham số x1, , xd của M , ta đặt q := (x1, , xd) · R Khiđó

qk+1· M : xd

∩q· M =qk· M với mọi k ≥ 1

Nếu depthM ≥ 1 thì

qk+1 · M : xd = qk · M với mọi k ≥ 1

Đặc trưng của vành địa phương Buchsbaum R dẫn đến khái niệm

về các R-dãy yếu Một số tác giả đã nghiên cứu tổng quát hơn về dãychính quy như M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P.Schen-zel [3] Chúng ta sẽ chỉ ra rằng những khái niệm này trùng khớpnhau khi khi xét trên vành địa phương Buchsbaum

Định nghĩa 2.1.13 Cho R là một vành địa phương có độ dài n > 0.Giả sử rằng x1, , xn là một hệ tham số của R Khi đó

1 x1, , xn là một R-dãy yếu nếu

(x1, , xi) · R : xi+1 = (x1, , xi) · R : m với mọi i = 0, , n − 1

2 x1, , xn được cho là một d-dãy nếu với mỗi tập con {i1, , ij}(có thể là tập ∅) của tập {1, , n} và với mọi k, m ∈ {1, , n} \{i1, , ij} ta có

(qk+1 : x) ∩q = qkvới mọi số nguyên k ≥ 1,

x1, , xn được gọi là một hệ ngoài tuyệt đối của tham số nếu xi

là một phần tử ngoài tuyệt đối cho ảnh của (x1, , xn) · R trongR/(x1, , xi−1) · R với mọi số nguyên i = 1, , n

5 x1, , xn có thuộc tính (F ) nếu

(xi, , xij) · R : xi

∩ (x1, , xn) · R = (x1, , xi−1) · R.với mọi số nguyên 1 ≤ i ≤ n

Nếu i = 1 ta được (O : x1) ∩ (x1, , xn) · R = 0

Mệnh đề 2.1.14 R là một vành Buchsbaum nếu và chỉ nếu năm điềukiện của Định nghĩa 2.1.13 thỏa mãn với mọi hệ tham số của R Trongtrường hợp này cả năm điều kiện trên là tương đương

2.2 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua đối đồng

điều địa phương

Cho R là một vành địa phương với iđêan cực đại m và trường k :=R/m Ta biết rằng, một môđun Noether R là môđun Cohen-Macaulaynếu và chỉ nếu Hmi (M ) = 0 với mọi 0 ≤ i < dim M (xem [6])

Kết quả sau cho ta thấy đối đồng điều địa phương là một công cụ đểnghiên cứu các môđun Buchsbaum

Mệnh đề 2.2.1 Cho M là một R-môđun Noether với chiều dương Cácđiều kiện theo sau là tương đương:

(i) Tồn tại một hệ tham số của M trong m2 là một M -dãy yếu

(ii) Mỗi hệ tham số của M trong m2 là một M -dãy yếu

(iii) m.Hmi (M ) = 0 với mọi 0 ≤ i < dimM

Hơn nữa, nếu một trong số các điều kiện là thỏa mãn thì ta có(iv) l(M/q.M )−e0(q, M ) là độc lập của q với mọi iđêan tham số q ⊆ m2