Luận văn thạc sĩ Bồi dưỡng năng lực mô hình Toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế

Chẳng hạn, để giải quyết và giải thích các vấn đề thực tiễn đời sống xã hội bằng công cụ toán học, người ta tiến hành theo bốn bước: 1 - Thiết lập mô hình tổng thể của tình huống thực ti

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

PHẠM QUỐC THÁI

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC

SINH THÔNG QUA DẠY HỌC VẬN DỤNG ĐẠO HÀM

GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hải Phòng, ngày 29 tháng 10 năm 2021

Người cam đoan

Phạm Quốc Thái

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình đến TS

Lê Bá Phương – người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình

làm luận văn Dù tình hình dịch bệnh diễn biến phức tạp tôi và thầy không có nhiều cơ hội được làm việc trực tiếp nhưng thầy luôn sát sao, nhắc nhở và chỉ bảo tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn của mình Bằng tất cả sự kính trọng

và ngưỡng mộ tôi xin khắc ghi trong lòng tình cảm của thầy

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô trong Khoa Toán và Phòng Đào tạo sau đại học Trường Đại học Hải Phòng đã tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và quý thầy cô đồng nghiệp trường THPT Đồ Sơn, quận Đồ Sơn, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, các bạn cùng lớp đã luôn ủng hộ, hỗ trợ và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn đọc

Hải Phòng, ngày 29 tháng 10 năm 2021

Tác giả luận văn

Phạm Quốc Thái

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn 7

1.1.1 Toán học với đời sống hàng ngày của con người 7

1.1.2 Mối quan hệ giữa Toán học và các khoa học khác 8

1.2 Năng lực mô hình hóa 10

1.2.1 Về năng lực 10

1.2.2 Năng lực của người học 11

1.2.3 Một số vấn đề về mô hình hóa toán học 12

1.2.4 Các bước mô hình hóa toán học 13

1.2.5 Mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn 14

1.2.6 NL mô hình hóa toán học 14

1.2.7 Các thành tố đặc trưng của NL mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn của học sinh trung học phổ thông 15

1.3 Tình hình DH Toán và vấn đề bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh THPT 18

1.4 Một số vấn đề về dạy học đạo hàm cho học sinh bậc trung học phổ thông 21

1.4.1 Nội dung đạo hàm ở trường phổ thông 21

1.4.2 Yêu cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông 22 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 28

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN 28

2.1 ĐỊNH HƯỚNG 28

2.2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG NL MÔ H́NH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG

ĐẠO HÀM 28

2.2.1 Biện pháp 1: Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm một cách hợp lý nhằm bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh THPT 28

2.2.1.1 Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp 29

2.2.1.2 Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa 29

2.2.2 Biện pháp 2: Xây dựng quy trình tổ chức hoạt động mô hình hóa toán học trong dạy học vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế 33

2.2.2.1 Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp 33

2.2.2.2 Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa 34

2.2.3 Biện pháp 3: Tổ chức dạy học bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học thông qua nội dung vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tiễn 40

2.2.3.1 Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp 40

2.2.3.2 Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa 40

Kỹ thuật 1 - Gợi động cơ bên trong (động cơ xuất phát từ đối tượng) 41

Kỹ thuật 2 - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mô hình toán học cho các bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm 47

Kỹ thuật 3 - GV tổ chức HS tập luyện khả năng xây dựng, sử dụng, điều chỉnh mô hình toán học 55

2.2.4 Biện pháp 4: Bồi dưỡng NL vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế cho học sinh thông qua các bài kiểm tra đánh giá kết quả 61

2.2.4.1 Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp 61

2.2.4.2 Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa 61

CHƯƠNG 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65

3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65

3.2 NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65

3.3 TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65

3.4 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 77

3.4.1 Đánh giá định tính 77

3.4.2 Đánh giá định lượng 78

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 82

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

QUY ƯỚC VIẾT TẮT

DANH MỤC BẢNG, BIỂU

3.1 Bảng phân bố tần số ghép lớp điểm kiểm tra

thường xuyên của lớp TN & ĐC tại trường THPT

Đồ Sơn 3.2 Bảng phân bố điểm kiểm tra cuối học kì II

DANH MỤC HÌNH ẢNH

3.2 Biểu đồ phân bố điểm kiểm tra cuối học kì II

3.3 Đồ thị phân bố điểm kiểm tra cuối học kì II

3.4 Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra cuối HK II

3.5 Đồ thị phân bố tần suất điểm kiểm tra cuối HK II

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Trong suốt quá trình hình thành và phát triển xã hội toán học luôn có một vai trò quan trọng với các ngành khoa học khác và thực tiễn đời sống; được xem là cội nguồn phát sinh, thúc đẩy khoa học, đồng thời cũng là môi trường xác thực tính đúng đắn của các quy luật khoa học và toán học

Toán học và thực tiễn có mối liên hệ chặt chẽ và mật thiết với nhau, thực tiễn giúp con người hiểu được toán học một cách rõ ràng, cụ thể hơn; cũng nhờ vậy mà lí thuyết toán học thể hiện được vai trò công cụ và ý nghĩa tác dụng đối với thực tiễn Tuy nhiên, không phải các tri thức toán học đều có thể vận dụng trực tiếp vào tất cả các tình huống, sự vật, hiện tượng trong đời sống

mà phải qua một bước trung gian quan trọng là mô hình hóa toán học

Chẳng hạn, để giải quyết và giải thích các vấn đề thực tiễn đời sống xã hội bằng công cụ toán học, người ta tiến hành theo bốn bước:

1 - Thiết lập mô hình tổng thể của tình huống thực tiễn để xác định vấn

đề cần giải quyết;

2 - Mô hình hóa toán học để chuyển sang vấn đề bài toán toán học được biểu đạt bởi ngôn ngữ ký hiệu toán học;

3 - Giải bài toán bằng công cụ toán học;

4 - Đánh giá quá trình giải quyết, kiểm tra kết quả và hợp thức câu trả lời

Học sinh THPT đang trong độ tuổi phát triển và thay đổi mạnh mẽ về cả

về thể chất, tư duy và nhận thức của con người Có thể nói các em đang trong thời kì bước tới tuổi trưởng thành Và trong một tương lai gần các em sẽ là lực lượng chính tham gia vào lao động sản xuất, là tương lai của nước nhà trong công cuộc công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước Vì thế các ở độ tuổi

này học sinh cần chuẩn bị một hành trang thật kĩ để đối mặt với cuộc sống hiện đại đa chiều, đầy biến động Là một thầy giáo trẻ tôi ý thức được việc trang bị cho người học và cũng như trang bị cho bản thân những NL thích ứng với cuộc sống nói chung, NL toán học hóa các vấn đề thực tiễn nói riêng khi còn ngồi trên ghế nhà trường là một vấn đề cần được đặc biệt đáng quan tâm Một trong những mục tiêu của Đảng ta về giáo dục và đào tạo trong giai đoạn hiện nay là đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có NL giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội dân chủ, công bằng, văn minh

Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống trong thực tế, vì vậy điều quan trọng là giáo viên làm thế nào giúp học sinh hiểu, nắm vững và vận dụng tri thức toán học để giải quyết vấn đề, đặc biệt là các vấn đề thực tiễn liên quan

Bộ giáo dục đã có một quyết định quan trọng trong cải cách hình thức thi Trung học phổ thông quốc gia từ việc thi tự luận môn Toán sang hình thức trắc nghiệm từ năm học 2016 - 2017 Có thể nói đây là một bước ngoặt quan trong việc giúp học sinh phát triển các NL và có cơ hội tiếp cận nhiều thêm những bài toán thực tế Nội dung trong ma trận đề thi minh họa qua các năm rất rõ ràng, kiến thức được trải đều theo nội dung trong sách giáo khoa vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm chắc tất cả các phần kiến thức cơ bản, trong đó câu hỏi, bài tập gắn với ứng dụng thực tế ngày càng chiếm tỉ lệ cao bao gồm cả những câu hỏi cơ bản và nâng cao

Tuy nhiên, ở chương trình môn Toán THPT hiện hành, cả về số lượng

và hình thức biểu đạt các bài toán gắn với thực tiễn còn hạn chế, chưa đủ để

GV khai thác sử dụng trong dạy học Toán

Mặt khác, về phía HS, nhiều em gặp khó khăn, lúng túng cả về hiểu biết kiến thức Toán học có liên quan, hướng và cách thức sử dụng công cụ toán học, kỹ năng thực hành vận dụng, khi tiếp xúc với dạng toán liên quan đến

thực tiễn (bao gồm cả trong môn học khác, trong đời sống) Trong đó, khó khăn đáng kể nhất là HS rất ít được tập luyện thực hiện các hoạt động để mô

hình hóa toán học, tức là chuyển được từ tình huống đã cho sang câu hỏi, bài

toán toán học

Trước yêu cầu đổi mới giáo dục toán học, tập trung vào phát triển NL cho người học, gắn học Toán ở trường phổ thông với việc vận dụng vào thực tiễn, đối chiếu với thực trạng dạy học Toán hiện nay, có thể thấy tầm quan trọng và sự cần thiết khai thác mối liên hệ hai chiều giữa toán học và thực tiễn, nói riêng là bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh trong DH Toán

Chủ đề ứng dụng đạo hàm chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc phát huy các NL Đây là một chủ đề thú vị trong chương trình toán học ở trường Trung học phổ thông với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phú, đa dạng, có nhiều sự độc đáo trong các phương pháp giải tạo nên sự hấp dẫn say

mê đối với học sinh

Vận dụng các kiến thức về ứng dụng đạo hàm để giải quyết (chẳng hạn như về tính đơn điệu và cực trị của hàm số) chúng ta cũng có thể giải quyết được một loạt bài toán: khảo sát tính đơn điệu của hàm số; điều kiện để hàm

số đơn điệu trên khoảng cho trước; áp dụng tính đơn điệu để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; dùng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình; xét cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.v.v Ngoài

ra, nó còn được áp dụng để giải quyết vấn đề trong các ngành khoa học khác như là Vật lí, Hóa học, Sinh học và các vấn đề thực tế

Kiến thức đạo hàm được phản chiếu một cách sâu sắc qua thực tiễn cuộc sống vì vậy cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học các bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm, giúp học sinh phát huy hết NL

mô hình hóa toán học để thấy được việc học Toán không chỉ là các kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong đời sống thực

tế, từ đó các em có thêm động lực, niềm đam mê môn học để chinh phục các đỉnh cao trong các kỳ thi và ngược lại học Toán không phải chỉ để thi mà học

để biết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống hằng ngày Trên tinh thần đó, cùng

với một số kinh nghiệm của bản thân, tôi lựa chọn vấn đề “Bồi dưỡng NL

mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế” làm đề tài nghiên cứu của luận văn với mong

muốn giúp học sinh nắm vững phương pháp, hiểu sâu và vận dụng tốt hơn kiến thức đạo hàm vào thực tiễn cuộc sống

2 Mục đích nghiên cứu

- Xác định những thành tố đặc trưng của NL mô hình hóa toán học thông

qua nội dung đạo hàm tình huống thực tiễn với đối tượng là học sinh Trung học phổ thông; từ đó, xây dựng một số biện pháp góp phần bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế

- Xây dựng một hệ thống bài tập về ứng dụng thực tiễn của đạo hàm tạo điều kiện cho GV sử dụng trong việc bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho

HS

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp góp phần bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học của học sinh thông qua hệ thống các bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong chương trình Trung học phổ thông

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các biện pháp góp phần bồi dưỡng một số yếu tố cụ thể của NL mô hình hóa qua hệ thống các bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong chương trình Trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

- Tìm hiểu và nghiên cứu lý luận của các nhà giáo dục, các nhà tâm lí

học,… về các vấn đề dạy học các bài toán áp dụng thực tiễn

- Đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các nguồn tư liệu như sách, tạp chí khoa học, nghiên cứu khoa học, khóa luận, luận văn, về NL mô hình hóa toán học và chủ đề kiến thức đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm

- Hỏi ý kiến chuyên gia, giáo viên hướng dẫn về hướng nghiên cứu của

đề tài

4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra thực tế: Quan sát tiến trình dạy học và thái độ của học sinh trong các giờ học chủ đề Đạo hàm; phỏng vấn GV, HS, chuyên gia

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy học bài Đạo hàm và ứng dụng ở một số lớp, đối chứng kết quả phản hồi của học sinh thông qua thái độ và lượng kiến thức học sinh tiếp thu được Bước đầu kiểm chứng tính hiệu quả và khả thi của nghiên cứu thông qua việc thu thập số liệu điều tra từ các bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm

- Phương pháp thống kê: Thu thập, xử lý số liệu thống kê trong tìm hiểu thực trạng và thực nghiệm sư phạm

5 Cấu trúc của luận văn

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng NL mô hình hóa toán

học cho học sinh qua hệ thống các bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN

1.1.1 Toán học với đời sống hàng ngày của con người

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường xuyên phải đối mặt với những hoàn cảnh, trong đó có những tình huống cần đến tính toán, lựa chọn cách thức giải quyết, trả lời cho những câu hỏi đặt ra trong cuộc sống Cuộc sống của con người ngày càng phong phú, với nhiều biến động cần phải ứng phó, giải quyết, vì vậy nhu cầu sử dụng toán học để tính toán, định lượng và tìm phương án giải quyết những vấn đề trong thực tiễn

Con người có thể dễ dàng bắt gặp những “hình ảnh” của toán học trong thiên nhiên: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa hoa hướng dương hình tròn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bô- na-xi; những chiếc tổ ong được xây dựng một cách khéo léo theo những hình lục

giác đều,… Galilê nói: “Thiên nhiên cũng biểu đạt bằng ngôn ngữ toán thông

qua hình tròn, hình tam giác và các hình toán học khác” Thiên nhiên thật

đẹp theo một cách hấp dẫn con người, khiến con người không ngừng khám phá và cải tạo thế giới Trong lao động, chúng ta càng dễ bắt gặp những vấn

đề toán học dễ thấy và thiết thực nhất là để tạo ra của cải cho xã hội, con người đã phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất Bởi vậy,

họ phải tính toán đến tất cả các yếu tố ảnh hưởng trực tiếp chất lượng và giá thành sản phẩm, nguồn nguyên liệu, Tất cả những vấn đề đó đều vai trò của toán học thể hiện trong đó

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, các khoa học - trong đó có Toán học ngày càng phát triển, được ứng dụng và phổ biến đối với mọi người Nếu như nhà khoa học có nhiều điều kiện để nghiên cứu và phát triển toán học ở mức độ trừu tượng cao, thì với đa số chúng ta, nhất là với các em HS thì điều quan trọng là hiểu bản chất, sử dụng được Toán học như một công cụ để

ước lượng, đo lường, tính toán, trong những tình huống thông thường như

đi đường, xác định kích thước (chiều cao, chiều rộng, ) của vật,

Trong quá trình hội nhập và phát triển ngày càng mạnh mẽ của xã hội 4.0 hiện nay ngày càng trở nên nhân tạo và vai trò của toán học cũng vì thế

mà ngày càng lớn Tuy không phải hiện tượng thiên nhiên, hoạt động xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình toán học nhưng không gì có thể ngăn cản sự tìm tòi, sáng tạo và khao khát chinh phục những miền kiến thức mới trong thực tế của các nhà toán học Nhà triết học Socrates đã nói một câu

nói rất nổi tiếng cách đây hàng nghìn năm: “Hãy đo, hãy đo, dù không phải

lúc nào cũng đo được” Với vai trò và ứng dụng to lớn của mình, toán học đã

trở thành một khoa học cơ bản, là công cụ hữu ích giúp loài người giải quyết được nhiều bài toán thực tiễn

1.1.2 Mối quan hệ giữa Toán học và các khoa học khác

Vai trò của toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học…

nó được thể hiện rõ ràng và dễ thấy nhất qua những mối quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản về số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan và trong thực tiễn khoa học đời sống

Khoa học và toán học có mối liên hệ mật thiết với nhau, đặc biệt là trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên như hóa học, thiên văn học và vật lý (bao gồm

cả cơ học, nhiệt học, điện học, quang học) Học sinh không nắm vững các kỹ

năng toán học cơ bản sẽ gặp khó khăn trong việc đọc các biểu đồ và đồ thị Toán học có thể giúp học sinh giải quyết các vấn đề hóa học, hiểu chuyển động của các hành tinh và phân tích các nghiên cứu khoa học Toán học cũng quan trọng trong khoa học thực tế, chẳng hạn như kỹ thuật và khoa học máy tính Học sinh có thể phải giải phương trình khi viết chương trình máy tính và

tìm ra thuật toán

Toán học - trong đó phải kể đến Xác suất - Thống kê có tác dụng quan

trọng trong những nghiên cứu khoa học sức khỏe thuộc lĩnh vực Y - Dược

học

Toán học trợ giúp thiết lập những mô hình toán học tối ưu trong kinh tế

học, trực tiếp là công cụ tính toán, giải bài toán kinh tế một cách rất hiệu quả

Văn học có vẻ khác xa so với toán học, nhưng việc nắm vững số học cơ bản có thể giúp học sinh hiểu thơ tốt hơn Mét thơ, số chữ cần viết trong một dòng và ảnh hưởng của nhịp điệu nhất định đối với người đọc đều là sản phẩm của các phép tính toán học Ở một mức độ bình thường hơn, toán học

có thể giúp học sinh lập kế hoạch cho các bài tập đọc trong các lớp văn bằng cách xác định thời gian đọc trung bình của các em và ước tính xem các em sẽ mất bao lâu để đọc một tác phẩm cụ thể Tư duy logic, tuyến tính được sử dụng trong các bài toán cũng có thể giúp học sinh viết rõ ràng và logic hơn Các môn học xã hội, chẳng hạn như lịch sử, thường yêu cầu học sinh xem lại các biểu đồ và đồ thị cung cấp dữ liệu lịch sử hoặc thông tin về các nhóm dân tộc Trong các lớp học địa lý, học sinh có thể cần hiểu độ cao của một khu vực ảnh hưởng như thế nào đến dân số của khu vực đó hoặc lập biểu

đồ mức độ mà các nhóm dân cư khác nhau có tuổi thọ trung bình khác nhau Kiến thức về các thuật ngữ và công thức toán học cơ bản giúp thông tin thống

kê có thể truy cập được

Học sinh quan tâm đến việc theo đuổi sự nghiệp trong sân khấu, âm nhạc, khiêu vũ hoặc nghệ thuật có thể được hưởng lợi từ kiến thức toán học

cơ bản Nhịp điệu âm nhạc thường tuân theo các chuỗi toán học phức tạp và toán học có thể giúp học sinh học các nhịp điệu cơ bản của điệu múa được sử dụng trong các buổi biểu diễn múa ba lê và sân khấu Nghệ thuật phát triển mạnh về hình học và học sinh hiểu các công thức hình học cơ bản có thể tạo

ra các tác phẩm nghệ thuật ấn tượng Các nhiếp ảnh gia sử dụng toán học để tính toán tốc độ cửa trập, độ dài tiêu cự, góc chiếu sáng và thời gian phơi sáng,

Như vậy, có thể nói: Toán học là một khoa học có vai trò công cụ hữu hiệu trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội, không chỉ thông qua những

phương pháp tính toán cụ thể mà còn ở những mô hình toán học trong cuộc

sống

1.2 NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA

1.2.1 Về năng lực

Từ đầu thế kỉ XX đến nay các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa nhiều

ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của NL, tài năng Trên cơ sở đó các ý kiến đó đã được tổng quát và thống nhất với cơ sở từ các quan điểm cơ bản, trọng tâm về lí luận cũng như thực tiễn:

+ Đầu tiên, ta phải công nhận những yếu tố liên quan đến di truyền, bẩm sinh là yếu tố cần thiết cho sự phát triển NL ban đầu Có thể nói đây là điều kiện cần nhưng chưa đủ mà đây chỉ là nền móng đầu tiên cho sự phát triển, để phát huy hết khả năng mỗi con người cần có sự học tập, rèn luyện và trải nghiệm để trở nên hoàn thiện những NL, năng khiếu của mỗi người Và ngược lại NL của mỗi cá thể còn có thể hình thành và phát triển trong suốt quá trình tìm tòi, khám phá bản thân

+ Thứ hai, NL của con người có ảnh hưởng to lớn từ nguồn gốc của xã hội, lịch sử và hoàn cảnh sống Mỗi người từ khi sinh ra đã tồn tại một số phẩm chất nhất định cho sự phát triển các NL tương ứng, nhưng các phẩm chất và tố chất đó cần có một môi trường để cấu thành nên các NL và phát huy nó Qua quá trình hình thành và phát triển, xã hội được con người cải tạo, xây dựng tinh hoa và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau trong môi trường văn hóa - xã hội đây được coi là một môi trường lí tưởng để phát triển những

NL của mỗi người

+ Thứ ba, nguồn gốc của NL còn có thể từ các hoạt động và các sản phẩm của các hoạt động Môi trường xã hội tự nhiên được các thế hệ trước tạo

ra và xây dựng và con người khi sống trong đó phải chịu sự tác động của xã hội, vì thế con người thế hệ sau không chỉ đơn giản tận dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo, phát triển xã hội

để tạo ra kết quả mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động của các thế hệ tiếp theo

1.2.2 Năng lực của người học

Ngày nay, khi xây dựng chương trình giáo dục, xu hướng các nước không chỉ chú trọng đến phần kiến thức, kĩ năng mà ngày càng quan tâm hơn phát triển NL cho học sinh Yêu cầu phát triển NL trong chương trình giáo dục ở các trình độ đã trở thành xu hướng chung của thời đại

Về cơ bản, những kết quả nghiên cứu cho thấy: NL được hiểu là khả

năng vận dụng một cách tổng hợp những kiến thức, kĩ năng, thuộc tính của con người, … để tiến hành một loại hoạt động nào đó, đạt được kết quả tốt

Trong giáo dục, NL được phân chia thành hai loại Một là NL chung, hai

là các NL đặc thù của môn học

Theo chương trình giáo dục tổng thể 2018, NL chung gồm có 3 thành

phần cốt lõi là “NL tự chủ và tự học, NL giao tiếp và hợp tác, NL GQVĐ và

sáng tạo” ([6])

Đối với môn Toán, trong chương trình môn Toán 2018 ([7]), bên cạnh

những những NL chung, đặc thù khoa học tính toán đã được cụ thể hóa thành

5 thành phần cốt lõi của NL toán học cần hình thành và phát triển qua môn

Toán cho HS phổ thông, bao gồm: “NL tư duy và lập luận toán học; NL mô

hình hoá toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL

sử dụng công cụ, phương tiện học toán”

Với quan niệm NL như trên việc đổi mới việc xác định mục đích dạy

học, phương pháp, hình thức dạy học và cả phương pháp đánh giá là rất cần thiết để phát huy hết khả năng của học sinh nhằm phát triển NL cho học sinh

Để phát triển NL người học, người dạy cần chú trọng tới việc tổ chức hệ thống các tình huống học tập, khi đó học sinh buộc phải hoạt động để tìm hiểu tình huống trong quá trình đó giúp học sinh tự phát hiện và giải quyết các tình huống có vấn đề, khi giải quyết các tình huống có vấn đề đòi hỏi học sinh phải huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và nhiều phẩm chất khác, phải tìm kiếm thông tin, tương tác với môi trường học tập, giao tiếp với giáo viên, với bạn học và những người khác để giải quyết vấn đề, nhờ đó phát triển được những NL mà người dạy mong muốn

1.2.3 Một số vấn đề về mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học được hiểu là tìm và biểu đạt một tình huống thực

tiễn ở ngoài toán học thành một mô hình theo cấu trúc và ngôn ngữ ký hiệu toán học của toán học Theo đó, những yếu tố và hình thức biểu hiện không

mang bản chất và sắc thái toán học được chuyển về dạng quan hệ và hình

thức ngắn gọn của toán học

Với HS phổ thông, cần thiết và có thể phân chia thành 6 cấp độ yêu cầu

về mô hình hóa toán học như sau: (theo Nguyễn Danh Nam [19]):

1 HS hoàn toàn không hiểu và biểu thị được tình huống;

2 HS tuy hiểu nhưng không thể phát hiện bản chất toán học;

3 HS có thể rút gọn được vấn đề, nhưng vẫn chưa thể chuyển về vấn đề toán học;

4 HS có thể chuyển được tình huống về vấn đề toán học, nhưng không dùng toán học để giải quyết được;

5 HS chuyển được tình huống về mô hình toán học và giải được bài toán đó;

6 HS có khả năng đánh giá quá trình mô hình hóa và giải quyết

bài toán

1.2.4 Các bước mô hình hóa toán học

Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong [20] có thể tóm tắt thành 4 bước thực hiện mô hình hóa toán học như sau:

Bước 1 Mô tả tình huống đã cho một cách rút gọn;

Bước 2 Biểu đạt lại tình huống thành bài toán bằng ngôn ngữ ký hiệu toán học;

Bước 3 Huy động kiến thức và phương pháp toán học để giải quyết bài toán;

Bước 4 Xem xét đánh giá lại quá trình ở 3 bước trên

Quá trình mô hình hóa có thể minh họa bằng sơ đồ như sau:

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa toán học

Trong DH toán, GV có thể vận dụng, cụ thể hóa thành những yêu cầu cụ thể đối với HS ở từng bước như sau:

Bước 1 - Đọc và hiểu vấn đề trong tình huống

Bước 2 - Xây dựng được bài toán toán học

Bước 3 - Giải được bài toán

Bước 4 - Kiểm tra đánh giá quá trình đã thực hiện

1.2.5 Mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn

Hoạt động mô hình hóa là hoạt động chuyển một vấn đề trong thực tế thành một vấn đề bên trong toán học để khám phá và giải quyết nó bằng công

cụ của toán học Trong phạm vi DH Toán ở trường phổ thông, mô hình hóa

toán học chỉ dừng lại ở mức độ không cao, ít phức tạp và đã được đơn giản

hóa khá nhiều cả về nội dung và hình thức diễn đạt; phù hợp với vốn tri thức, kinh nghiệm cũng như khả năng tư duy của HS trong điều kiện và phạm vi lớp học

Vì thế, “thực tiễn” trong những tình huống đặt ra với HS phổ thông chỉ

là thực tế đã được lược bỏ đi nhiều yếu tố phức tạp, rút gọn và diễn đạt lại

cho phù hợp với đối tượng HS Do vậy, cả về nội dung và hình thức của “vấn

đề tình huống thực tiễn” trong môn Toán chỉ mang ý nghĩa tương đối, không hẳn là tình huống thật trong cuộc sống, chỉ đủ để HS có môi trường và điều

kiện trải nghiệm khi vận dụng môn Toán GQVĐ “có tính” thực tiễn

1.2.6 NL mô hình hóa toán học

Từ quan niệm về NL (chung), xuất phát từ ý nghĩa và yêu cầu DH Toán gắn với thực tiễn ở trường phổ thông, vấn đề giúp HS tập luyện những hoạt động mô hình hóa toán học cần được GV chú trọng

Để xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, HS cần phân tích, sắp xếp, rút gọn lại dữ liệu để kết nối chúng, biểu đạt dưới dạng các mối quan hệ về mặt toán học Ví dụ với bài toán thực tế yêu cần lập ra một hàm số

để biểu diễn được các đại lượng thì đây chính là khâu thiết kế lập hàm số từ các dữ kiện toán học đã xây dựng được từ đó ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết bài toán

Do vậy, có thể thấy: Đối với HS phổ thông, NL mô hình hóa toán học là

khả năng các em phát hiện, thiết lập và diễn đạt được mô hình toán học của

tình huống thực tiễn đã cho

Đối với môn Toán, việc bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho HS có tác dụng:

Giúp HS có hiểu biết về phương pháp và cách thức thực hiện mô hình hóa toán học, có kỹ năng thực hiện các bước mô hình hóa toán học Thông qua quá trình này, HS đồng thời được củng cố các kiến thức, tập luyện các kỹ năng toán học (tính toán, suy luận, ) và đặc biệt là phát triển NL GQVĐ

1.2.7 Các thành tố đặc trưng của NL mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn của học sinh trung học phổ thông

Xuất phát từ mục đích của luận văn là bồi dưỡng NL mô hình hoá toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông nên việc xác định các thành tố của nó là một vấn đề cần thiết; dựa trên những căn cứ:

1) Các kết quả nghiên cứu có liên quan;

2) Quá trình (đặc điểm và các bước) vận dụng toán học vào GQVĐ thực tiễn

3) Vốn tri thức, kỹ năng toán học và khả năng tư duy của học sinh THPT

Trong những căn cứ được dẫn ra ở trên, ít nhiều chúng tôi đã được tiếp cận, ở đây, xin bàn luận cụ thể về căn cứ thứ nhất là các quan điểm của các nhà khoa học về vấn đề này

- Một điều cần được khẳng định ngay là NL mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn của học sinh trung học phổ thông phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của họ về thế giới đang sống Trình độ toán học của mỗi học sinh phụ thuộc vào năng lực toán học của mỗi cá nhân đó

NL mô hình hóa là vấn đề phức tạp, còn nhiều quan điểm khác nhau về thành phần cấu trúc của nó, tuy nhiên chung quy lại đó là các đặc điểm tâm lí giúp tâm lí giúp người học có khả năng lĩnh hội và sáng tạo các tri thức toán học

Phần lớn các nhà khoa học trước đây, xem xét vấn đề NL mô hình hóa thiên

về mặt trí tuệ Trọng tâm của luận văn không phải nghiên cứu về NL toán học học của học sinh trung học phổ thông mà chỉ xem xét nó như là một điều kiện cần để phát triển NL mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho người học Lứa tuổi học sinh trung học phổ thông là từ 15 đến 18 tuổi, theo J Piaget tốc độ liên tưởng kết nối các ý tưởng cao dẫn đến sự thay đổi nhanh về cấu trúc nhận thức, do đó các em phát triển nhanh về mặt trí tuệ Hơn nữa, trẻ càng lớn trẻ càng trải nghiệm trong cuộc sống, khả năng phát hiện ra các mối quan hệ định tính của hiện thực khách quan càng phát triển Mặt khác, càng lớn hệ thống tri thức hóa toán học của học sinh càng được trang bị đầy đủ hơn, ngôn ngữ toán học phong phú hơn Do đối tượng học sinh mà luận văn quan tâm nghiên cứu dàn trải tất cả lớp của bậc trung học phổ thông nên dù có cố gắng đến mấy thì việc xác định các thành tố của NL này cũng chỉ có tính chất tương đối

Theo tác giả Phan Đình Diệu, “con người rút ra được các tri thức chủ

yếu là thông qua việc nghiên cứu trên những mô hình” Đã có nhiều nhiều các

tác giả khác như Hans Freudenthal, Pollak, Nguyễn Cảnh Toàn,… đều cho rằng quá trình vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn chủ yếu tuân thủ theo quy trình:

Tình huống thực tế  mô hình, bài toán toán học  giải bài toán  trả lời câu hỏi đặt ra trong thực tiễn

Và theo tác giả Thái Duy Tuyên, quá trình mô hình hóa nói chung gồm 3 giai đoạn: 1) Xây dựng mô hình; 2) Nghiên cứu trên mô hình; 3) Xử lí kết quả

và điều chỉnh mô hình Xin nêu lại quan điểm của A A Dorođhixưn, về quá trình xây dựng mô hình toán học của các nhà khoa học chia làm 6 giai đoạn (như đã dẫn ở mục 1.2.2) là quá trình có thể lặp đi lặp lại nhiều lần và có sự điều chỉnh nhất định Các quan điểm của các tác giả Thái Duy Tuyên và A A Dorođhixưn tuy hình thức có vẻ khác nhau, nhưng kì thực không mâu thuẫn

nhau Quá trình mô hình hóa mà tác giả Thái Duy Tuyên đưa ra là mô hình hóa nói chung, còn quá trình mô hình hóa do A A Dorođhixưn đưa ra là quá trình mô hình hóa sử dụng công cụ toán học của các nhà toán học Hoạt động

mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán không phải là hoạt động vừa được mô tả ở trên nhưng có nhiều điểm tương đồng Bởi vậy, các quan điểm trên là các tư liệu tham khảo đã được đối chiếu trong khi xác định các thành tố của NL mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh mà luận văn quan tâm

Dựa vào các luận điểm của các nhà khoa học mà chúng tôi đã phân tích

ở trên, quan niệm về hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn nêu ra ở mục…., chúng tôi cho rằng các thành tố của NL mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học phổ thông bao gồm:

1 NL tiếp nhận các thông tin toán học từ tình huống thực tiễn, thể hiện

ở khả năng:

- Quan sát tình huống thực tiễn;

- Liên tưởng, tưởng tượng kết nối các yếu tố thực tiễn với các ý tưởng toán học;

- Ước lượng, dự đoán các kết quả có thể xảy ra của tình huống

2 NL định hướng đến các yếu tố cốt lõi của tình huống, thể hiện ở khả năng:

- Xác định yếu tố cốt lõi của tình huống;

- Tìm ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho;

- Lược bỏ những gì không bản chất;

- Tự đặt ra bài toán có nội dung thực tiễn

3 NL xây dựng mô hình hóa toán học, thể hiện ở khả năng:

- phát hiện, nhìn nhận ra được quy luật của tình huống thực tiễn;

- biểu diễn các đại lượng từ các yếu tố của thực tiễn bằng kí hiệu, khái

niệm toán học;

- sử dụng ngôn ngữ toán học để biểu đạt các đại lượng và mối quan hệ của các đại lượng bằng các mệnh đề toán học, các biểu thức, đẳng thức chứa biến;

- biểu đạt các mối quan hệ bằng ngôn ngữ ký hiệu toán học (đồ thị, bảng,

sơ đồ, biểu đồ, )

- khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học

4 NL làm việc với mô hình toán học, thể hiện ở khả năng:

- giải bài toán;

- biểu đạt mô hình toán học theo dụng ý riêng;

- sử dụng toán học để phân tích, phát hiện, dự đoán những vấn đề trong thực tiễn;

5 NL kiểm tra, đánh giá điều chỉnh mô hình, thể hiện ở khả năng:

- kiểm tra kết quả;

- phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình;

- vận dụng suy luận có lí và việc đưa ra các mô hình cho tình huống thực tiễn và biết so sánh và điều chỉnh nếu thấy bất hợp lí để lựa chọn được một

mô hình hợp lí, tối ưu

1.3 TÌNH HÌNH DH TOÁN VÀ VẤN ĐỀ BỒI DƯỠNG NL MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT

Các kết quả nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam cho thấy: Trên thế giới vấn đề phát triển NL mô hình hóa toán học cho HS trong môn Toán đã được quan tâm nghiên cứu từ lâu Không chỉ xây dựng lý luận

mà còn đề xuất những giải pháp dạy và học môn Toán nhằm vào mục tiêu gắn môn toán với thực tiễn ứng dụng toán học Điều đó chắc chắn gắn liền với việc bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho HS

Ở Việt Nam, các tác giả như Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Hoàng Tụy, Trần Kiều, Nguyễn Bá Kim, Vũ Quốc Chung, Nguyễn Tùng Lâm, đã đề cập đến thực trạng DH Toán ở trường phổ thông còn có những hạn chế, bất cập nhất định, trong đó nổi bật là việc dạy học Toán ít gắn bó với thực tiễn Cụ thể là:

Giáo dục toán học trung học cần tập trung vào làm đúng vai trò tạo điều kiện cho HS có đủ vốn kiến thức và NL vận dụng môn Toán vào học nghề và lao động

Quan điểm hoạt động hóa người học của các nhà khoa học giáo dục và các nhà sư phạm thể hiện trong sách giáo khoa không được các giáo viên đứng lớp thực hiện một cách nghiêm túc Nhiều giáo viên thực hiện chỉ dẫn của sách giáo khoa về tổ chức các hoạt động cho học sinh một cách miễn cưỡng Tình trạng “thầy đọc trò chép” ở một số nơi còn tái diễn, các hoạt

động ngoài trời còn chưa được chú trọng Theo tác giả Trần Kiều: “Thực tế

dạy học đang chỉ ra đây là một trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông nước ta” Và thực trạng đó vẫn còn tồn tại cho đến tận

bây giờ Giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh những gì có trong sách giáo khoa

mà không có cơ hội quan sát và tự thao tác các hoạt động, nhất là các hoạt động phản ánh quy trình vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa được thiết kế một cách có hệ thống nhằm trang bị cho người học các tri thức đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế

Tư tưởng của sách giáo khoa có nhiều hướng tăng cường vận dụng vào thực tiễn; tuy nhiên các bài toán có nội dung chưa nhiều dẫn đến học sinh ít

có cơ hội được bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn chúng

ta chủ trương tránh tình trạng “quá tải” trong nội dung lý thuyết của chương trình nhằm cho học sinh có điều kiện rèn luyện một số năng lực quan trọng khác

Trong thực tế dạy và học môn Toán ở THPT hiện nay, việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán ở trường trung học hầu như các giáo viên chưa quan tâm Các lí lẽ mà giáo viên đưa ra là không đủ thời gian, do nhận thức của học sinh, Vì thế mà việc xây dựng mô hình các bài toán thực tiễn càng khó khăn

Với các vấn đề đã trình bày ở trên, chúng tôi có thể đánh giá một cách tổng quan rằng: việc vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn trong dạy học

ở các trường Trung học đã khó, việc xây dựng mô hình cho các bài toán thực tiễn đó lại càng khó hơn Đặc biệt là việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh còn có nhiều rào cản, cụ thể là:

- Học sinh chưa có hứng thú với hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn Nguyên nhân dẫn đến thực trạng này là trình độ toán học của các

em còn hạn chế, những tình huống trong dạy học chưa thực sự hấp dẫn

- Học sinh chưa có kĩ năng khi đối mặt với các tình huống trong cuộc sống các em cần có mong muốn tự đặt ra các bài toán cho chính mình

- Học sinh chưa có những hiểu biết nhất định về thế giới mà họ đang chung sống, nhất là những mối quan hệ định tính của sự vật và hiện tượng; khó khăn trong việc dùng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học để chuyển tình huống thực tiễn về dạng toán học Từ đó xây dựng được mô hình của các bài toán thực tiễn đó

Giáo viên chưa có kế hoạch cụ thể về việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh; cụ thể là chưa xác định được nội dung cũng như cách thức phù hợp để bồi dưỡng năng lực cho người học thông qua dạy học toán

Từ những kết quả đã có cùng với việc quan sát, tìm hiểu thực tiễn dạy và học Toán ở trường THPT, chúng tôi thấy:

GV Toán chưa dành nhiều sự quan tâm, chủ động xây dựng kế hoạch bồi

dưỡng NL mô hình hóa toán học cho HS Vẫn có tình trạng GV thiếu hiểu biết và kinh nghiệm khi muốn thực hiện mục tiêu này Mặt khác cũng còn do nguyên nhân thuộc về nội dung SGK, khung chương trình và thời gian thực hiện, vốn tri thức (môn Toán, môn học khác, hiểu biết thực tế), kỹ năng toán học và cả phương pháp học Toán của HS

Điều đó cho thấy: Cần có những biện pháp giúp cho GV và HS thực hiện mục tiêu hình thành phát triển NL mô hình hóa toán học trong dạy và học môn Toán ở trường phổ thông

1.4 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH THPT

1.4.1 Nội dung đạo hàm ở trường phổ thông

Trước đây, nội dung đạo hàm được học trọn vẹn trong chương trình Giải

tích 12 Theo chương trình hiện hành, nội dung đạo hàm và ứng dụng được

đưa vào SGK Đại số và giải tích 11, với ý đồ phục vụ cho HS có đủ vốn kiến thức công cụ toán học khi học Vật lí, Hóa học, , bao gồm những kiến thức

cơ bản sau đây:

Khái niệm đạo hàm (cấp 1), một số công thức, quy tắc tính toán đạo hàm

cơ bản giúp HS học vận tốc trong Vật lý, hiểu bản chất và liên hệ với tiếp

tuyến trong Hình học,

Đạo hàm (cấp hai) và cách tính giúp HS hiểu bản chất và cách tính toán

gia tốc trong Vật lý Ngoài ra, định nghĩa Vi phân cũng được đưa ra nhằm chuẩn bị cho việc học Tích phân ở Giải tích 12

Nội dung “Ứng dụng đạo hàm” ở chương đầu của Giải tích 12, trong

chương này ứng dụng của đạo hàm được trình bày qua một số bài toán như: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số hay thông qua công

cụ đạo hàm để tính diện tích, thể tích của một số vật thể

Trong những năm gần đây việc dạy học bài tập ứng dụng đạo hàm là khá phổ biến, do các bài tập này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là trong đề thi trung học phổ thông quốc gia Bài tập về phần này rất đa dạng và phong phú từ cả những bài tập cơ bản và nâng cao Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay thì những bài toán về ứng dụng của đạo hàm lại xuất hiện với tần suất ngày càng nhiều hơn

1.4.2 Yêu cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông

Đạo hàm là chương quan trọng đối với lớp 11 Việc học tốt chương này

để làm nền tảng cho các kiến thức liên quan đến lớp 12, ôn thi Đại học cũng như việc học Toán tại các trường chuyên nghiệp sau này Do vậy, giáo viên cần lưu ý một số vấn đề khi dạy lý thuyết và bài tập về đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm như sau:

- Nắm chắc định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng tập con của tập số thực

- Nắm được phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa, công thức của một số hàm số thường gặp

- Nắm được ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn, khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

- Biết cách tính được đạo hàm cấp lớn hơn 1 đối với một vài hàm số ở

dạng cơ bản

- Giáo viên cần đưa ra các ví dụ minh họa, trong một số ví dụ, GV cần chỉ rõ các bước thực hiện Giáo viên nêu những chú ý cần thiết hoặc những sai lầm thường gặp khi giải toán và trong mỗi ví dụ đó có thể đưa ra nhiều cách giải theo nhiều hướng khác nhau để HS hiểu sâu kiến thức Đặc biệt các bài toán có nội dung thực tiễn cần lồng ghép vào nhiều hơn trong nội dung giảng dạy

- Cho HS làm các bài tập phân theo từng dạng phải đảm bảo tính linh hoạt cho từng đối tượng HS, bám sát nội dung đã học và không loại trừ các kiến thức nâng cao

- Cho HS thực hiện luyện tập các bài toán tổng hợp nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi thành thạo, thực hiện linh hoạt các thao tác trong giải toán ứng dụng đạo hàm nói riêng và giải toán nói chung

Cụ thể hơn, việc dạy học ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 nhằm đạt được các mục đích và yêu cầu sau:

GV phối hợp sử dụng những PPDH tùy theo nội dung bài dạy, đối tượng

HS và điều kiện thực tế: Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học tự học, dạy học khám phá, dạy học hợp tác hay đàm thoại phát hiện

Có thể thấy tình hình dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ thông trước yêu cầu gắn với ứng dụng thực tiễn như sau:

Về phía GV:

- Việc dạy học Toán chủ yếu với mục đích nhằm đảm bảo đủ số tiết đã

ăn sâu vào suy nghĩ của GV, việc tổ chức những hoạt động thực hiện theo hướng phát triển NL vận dụng toán học vào thực tiễn buộc GV phải thay đổi lối mòn trong nội dung, phương pháp dạy học nên GV ngại thực hiện

- Việc đánh giá kết quả học tập môn toán hiện nay chủ yếu quan tâm mặt kiến thức thuần túy, ít quan tâm đến việc đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn mặc dù vẫn có một số bài toán có nội dung thực tiễn trong SGK và sách bài tập, dẫn đến tình trạng GV và HS đối phó với nội dung và cách kiểm tra đánh giá

+ Vẫn có một số GV hạn chế về vốn tri thức toán học, kinh nghiệm dạy Toán; trong khi môn Toán là một môn học khó và trừu tượng, khiến cho không phải bất cứ bài dạy lý thuyết nào cũng lấy được ví dụ sinh động gắn với thực tiễn,

+ Giáo viên chưa chú trọng thiết kế những câu hỏi bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh để giúp cho các em hiểu rõ hơn các kiến thức được học về đạo hàm và ứng dụng Cách dạy và nội dung còn thiếu linh hoạt, chỉ dựa vào nội dung đã được trình bày trong SGK dẫn đến HS kém hứng thú, tích cực HT

- Giáo viên còn hạn chế về khả năng lý giải một cách tường minh về vấn

đề vận dụng toán học vào thực tiễn khi dạy học, thiếu các tài liệu tham khảo, khai thác và mở rộng kiến thức về vận dụng toán học vào thực tiễn nên không xây dựng được nội dung phong phú, hấp dẫn về vận dụng toán học, không kích thích được học sinh tích cực tham gia vận dụng toán học vào thực tiễn

Về phía học sinh:

+ Khả năng tiếp cận kiến thức của HS chưa đồng đều, nhất là khi tiếp xúc với dạng bài toán có nội dung và hình thức thực tiễn, cần đến việc chuyển đổi ngôn ngữ thì các em còn lúng túng trong việc thiết lập mô hình

toán học tương ứng với nội dung thực tiễn của bài toán Đặc biệt, HS chưa biết toán học hóa các tình huống thực tiễn Trong khi đó các bài tập trên lớp

và trong SGK chưa thực sự phù hợp với đối tượng học sinh

+ Không những vậy, HS còn vấp phải những khó khăn, sai lầm thuộc về

kỹ năng cơ bản trong học Toán như tính toán, biến đổi, sử dụng ký hiệu, sai

sót về quy tắc, công thức,

+ Kiến thức toán - trong đó có hàm số và đạo hàm của không ít học sinh

còn chưa chắc chắn, thậm chí không hiểu bản chất, nên dễ chán nản, không hứng thú học và không biết vận dụng, rõ nhất là các em còn thụ động, thiếu linh hoạt và sáng tạo trong tư duy toán học, đặc biệt là với những bài toán dưới dạng không quen thuộc, đòi hỏi khả năng xâu chuỗi được công cụ đạo hàm với nhiều loại kiến thức khác (trong và ngoài môn Toán)

Từ những đánh giá nêu trên cho thấy người giáo viên cần đưa ra những biện pháp phát triển NL thích hợp để giải toán ứng dụng đạo hàm cho học sinh trung học phổ thông như sau:

- Đảm bảo kiến thức nền cho học sinh đủ để các em học và hiểu được hàm số và đạo hàm cùng với những ứng dụng trong và ngoài môn Toán

- Xây dựng và tổ chức những tình huống tạo điều kiện để HS được tiếp xúc với việc ứng dụng hàm số và đạo hàm

- Chủ động dạy tri thức phương pháp liên quan đến việc ứng dụng hàm

số và đạo hàm vào giải toán - nhất là những bài toán có nội dung thực tiễn, đòi hỏi các em phải thực hiện quá trình mô hình hóa toán học

- Chú trọng tổ chức HS tập luyện các thao tác tư duy cơ bản (so sánh, khái quát hóa và đặc biệt hóa, phân tích, tổng hợp, ) đồng thời phát hiện, sửa chữa những sai lầm gặp phải trong học lý thuyết về hàm số và đạo hàm; cũng như khi các em vận dụng công cụ này GQVĐ thực tiễn

- Lựa chọn, xây dựng và hệ thống hóa những bài tập về ứng dụng hàm

số và đạo hàm và khai thác trong quá trình dạy chủ đề đạo hàm và ứng dụng

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, chúng tôi đã tổng hợp một số vấn đề lý luận về mô hình hóa toán học, NL mô hình hóa toán học và sơ bộ tình hình về việc phát triển NL này trong môn Toán ở trường phổ thông

Chương 1 cũng đã nêu rõ nội dung, mục đích và yêu cầu của việc dạy học đạo hàm trong chương trình phổ thông ở Việt Nam Từ cơ sở lý luận và thực tiễn, chúng tôi đã xác lập yêu cầu cần đạt trong dạy học vận dụng đạo hàm cho học sinh THPT, trong đó yếu tố nổi bật là rèn luyện cho học sinh khả năng liên tưởng, kết nối các tình huống thực tiễn với toán học và công cụ

để giải quyết là kiến thức về đạo hàm hay nói một cách tổng quát là bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế

Những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương 1 làm căn cứ

để chúng tôi xây dựng các biện pháp sư phạm ở chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG CỦA

ĐẠO HÀM

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN 2.1 ĐỊNH HƯỚNG

 Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm tập trung vào tổ chức các hoạt

động học tập của học sinh trong lĩnh hội các tri thức, kĩ năng toán học và vận dụng các kiến, kĩ năng vào giải quyết các tình huống thực tiễn

 Định hướng 2: Các biện pháp phải thể hiện rõ tư tưởng phát triển NL mô

hình hóa toán học

 Định hướng 3: Các biện pháp sư phạm dựa trên nền tảng vốn văn hóa toàn

diện của người học Gắn tới nội dung học các môn học khác trong chương trình trung học phổ thông như Vật lí, Hóa học, Sinh học; do đó cần phải quán triệt tinh thần tích hợp liên môn trong dạy học Giáo viên dạy toán phải biết khả năng mỗi học sinh của mình trong các môn học mà họ được thiết kế các tình huống và trong dạy học các vấn đề liên quan một cách phù hợp Ngoài ra, cần phối hợp với các giáo viên bộ môn khác, tạo điều kiện cho người học quan sát những tình huống điển hình, tạo điều kiện cho học sinh kết nối các yếu tố thực tiễn với các ý tưởng của toán học

 Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm phải khả thi và góp phần nâng cao

chất lượng học toán trong chủ đề đạo hàm ở THPT

2.2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG NL MÔ H́NH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

2.2.1 Biện pháp 1: Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm một cách hợp lý nhằm bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học cho học sinh THPT

2.2.1.1 Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp

Để bồi dưỡng NL mô hình hóa toán học của học sinh THPT thông qua dạy học đạo hàm thì điều thiết yếu là cần phải có một hệ thống bài tập khai thác ứng dụng thực tiễn của đạo hàm hợp lý, đủ về số lượng, đa lĩnh vực và có tính đại diện tiêu biểu, đặc sắc Trong thực tế thì ở sách giáo khoa lớp 11 và

12 có quá ít những bài tập về ứng dụng thực tiễn của đạo hàm, chính vì vậy, việc phải xây dựng một hệ thống bài tập khai thác ứng dụng thực tiễn của đạo hàm nhằm thực hiện ý đồ Sư phạm là việc rất cần thiết

2.2.1.2 Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa

Tổ chức họp sinh hoạt chuyên môn đối với Giáo viên Tổ Bộ môn Toán,

đề xuất chia Giáo viên Toán thành hai nhóm (nhóm 1 và nhóm 2) mỗi nhóm

cử một giáo viên có uy tín làm nhóm trưởng, phân công công việc cho từng nhóm Cụ thể, nhóm 1 sưu tầm và biên soạn các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực Vật lý và Kỹ thuật, nhóm 2 sưu tầm và biên soạn các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực đời sống và Kinh tế Số lượng bài toán cho mỗi nhóm tối thiểu là 10 bài

và hoàn thành công việc được giao trong khoảng thời gian 1 tháng Ngay sau khi hết hạn thời gian sẽ tổ chức họp sinh hoạt chuyên môn, trong buổi sinh hoạt chuyên môn này, nhóm trưởng mỗi nhóm sẽ trình chiếu và thuyết trình các bài toán của nhóm mình (cả nội dung bài toán và cách thức giải quyết bài toán) Sau đó toàn bộ Giáo viên của Tổ Bộ môn sẽ thảo luận, đóng góp ý kiến

và thống nhất xem chọn lựa những bài toán nào đáp ứng được việc bồi dưỡng

NL mô hình hóa toán học cho học sinh để làm tư liệu giảng dạy chung cho cả

Tổ Bộ môn

Trên thực tế, hoạt động được mô tả như trên đã được chúng tôi thực hiện trong khoảng thời gian tháng 7 năm 2018 (thời gian hè) tại trường THPT

Đồ Sơn và kết quả là đã xây dựng được một hệ thống bài tập nhiều về số lượng, tốt về chất lượng

Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu ví dụ về một số bài toán trong hệ thống bài toán mà chúng tôi đã xây dựng được

Ví dụ 1 (một số bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong lĩnh vực

vật lý và kỹ thuật)

Bài 1 Xét một cơ cấu chuyển động như hình vẽ

biết AB có độ dài là 10 mét, điểm A chạy trên Oy, điểm

B chạy trên Ox Nếu như B đang chuyển động ra khỏi

gốc O với tốc độ 1m/s, thì đầu A của thanh trượt sẽ

chuyển động về O với tốc độ bao nhiêu tính ở thời điểm B cách O là 6 mét?

Bài 2 Một bể bằng kim loại dùng để lọc chất lỏng công nghiệp có dạng

hình nón (hình phễu) với bán kính đáy là 2m, chiều

cao là 4m và được thiết kế theo kiểu đỉnh của hình

nón ở phía dưới (ứng với đáy bể - chỗ thoát của chất

lỏng), còn đáy của hình nón ở phía trên Giả sử chất

lỏng được bơm vào bể với tốc độ là 3

2m /h Hãy tính tốc độ tăng chiều cao của khối chất lỏng ở thời điểm chất lỏng trong bể có độ sâu là 3m

Bài 3 Một người cầm chiếc đèn pha chiếu lên bức tường, hình thành nên

một chùm sáng hình nón trong không khí Anh ta dần di

chuyển đến gần bức tường hơn, lúc này độ cao của hình

nón sẽ giảm dần, ánh sáng tập trung lại, làm cho bán

kính đáy tăng lên Giả sử độ cao của hình nón đang

giảm với tốc độ 6 ft/ phút (1ft=30,48 cm), đồng thời bán kính đáy đang tăng

lên với tốc độ 7 ft/ phút thì ở thời điểm khi độ cao là 3ft và bán kính là 8ft, thể tích hình nón đang tăng hay giảm? Sự thay đổi đó biến thiên như thế nào?

Bài 4 Hai xe kéo I và II được nối với

nhau bởi một sợi dây AB dài 39 m mắc qua

một cái ròng rọc P (xem Hình) Điểm Q

nằm trên sàn ngay dưới P, cách P là 13 m

và nằm giữa hai chiếc xe kéo Khoảng cách từ A và B tới sàn đều bằng 1 m

Xe kéo I được kéo ra xa điểm Q với vận tốc 2 m/s Hỏi xe kéo II di chuyển tới điểm Q với tốc độ là bao nhiêu khi xe kéo I cách Q một khoảng là 5 m

Bài 5 Vật A chuyển động theo phương thẳng đứng

nhờ lồng vào thanh đứng cố định và nối với sợi dây mềm

vắt qua một cái ròng rọc (Hình vẽ) Sau đó chuyền cho

đầu dây B một vận tốc không đổi Tìm vận tốc và gia tốc

chuyển động của vật A

Bài 6 Một biển báo lối thoát ra ở trên đường cao tốc có độ cao 20 ft,

được đặt trên cao 30 ft tính từ mép dưới biển

báo xuống tầm nhìn ngang của người tài xế

(Hình vẽ) Khi xe ở xa, tín hiệu trên biển báo

khó thấy vì khoảng cách lớn Khi xe và biển

báo ở quá gần, tín hiệu cũng trở nên khó thấy

vì người tài xế phải ngước lên một góc quá dốc Tín hiệu dễ thấy nhất khi xe

ở khoảng cách x mà tại đó góc nhìn  của người tài xế lớn nhất có thể Hỏi tại thời điểm đó x bằng bao nhiêu ft

Ví dụ 2 (Một số bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong lĩnh vực

đời sống, kinh tế và tối ưu)