Tài liệu Bài toán đối ngẫu và ứng dụng doc

Giải bài toán QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình.

BÀI 3

1 Cách thiết lập bài toán đối ngẫu:

* Nguyên tắc thiết lập bài toán đối ngẫu:

1) Nếu f(x) min (max) thì max (min)

2) Số ràng buộc chính trong bài toán này bằng số biến số trong bài toán kia

3) Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là hệ số tự

do của hệ ràng buộc trong bài toán kia.

4) Ma trận điều kiện của hai bài toán là chuyển vị của

nhau.

5) Ràng buộc về biến của bài toán này tương ứng với

ràng buộc về dấu của bài toán kia.

6) Biến không có ràng buộc về dấu trong bài toán này thì ràng buộc tương ứng trong bài toán kia có dấu “=”

7) Ràng buộc bất đẳng thức trong hệ ràng buộc chính

của bài toán min cùng chiều với ràng buộc dấu trong bài toán max

8) Ràng buộc bất đẳng thức trong hệ ràng buộc chính

của bài toán max ngược chiều với ràng buộc dấu trong bài toán min.

 f y    

Ví dụ 1: viết bài toán đối ngẫu của bài toán QHTT sau:

32 1 2

2) Cặp ràng buộc đối ngẫu:

Cặp ràng buộc đối ngẫu là cặp ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương

ứng với một cặp chỉ số.

Ví dụ: trong ví dụ 1 ta có cặp ràng buộc đối ngẫu là : (1), (9); (2), (10); (3), (6); (4), (7); (5), (8)

32 1 2

y1 7 2 3 6 tuy y1

Ví dụ 2: viết bài toán đỗi ngẫu và tìm các cặp ràng buộc đối ngẫu của bài toán sau:

Ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu: Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất:

Ta giả thiết tình huống có người muốn mua toàn bộ số lượng các yếu tố sản xuất của xí nghiệp Khi đó giá bán nên đặt ra là bao nhiêu?

Gọi y i (i = 1,2,3) là giá bán một đơn vị yếu tố sản xuất

 Đối với người bán:

3) Các định lý đối ngẫu:

Định lý 1: Cho hai bài toán đối ngẫu (P) và Khi đó xảy ra ba trường hợp:

 Cả hai đều không có PA.

 Cả hai đều có PA Khi đó cả hai đều giải được.

Cặp x* và y* là tối ưu  f(x*) = g(y*)

 Một bài toán có PA, bài toán còn lại không có

PA Khi đó hàm mục tiêu của bài toán có PA không bị chặn trên tập các PA, do đó bài toán này không có PATƯ.

* Hệ quả : Nếu một trong hai bài toán có PATƯ thì bài

toán kia cũng có PATƯ.

 P

3) Các định lý đối ngẫu:

Định lý 2 : (độ lệch bù yếu)

Cho x và y là hai phương án của hai bài toán Khi đó x và y là hai phương án tối ưu của hai bài toán  nếu trong cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc của bài toán này là lỏng thì ràng buộc đối ngẫu của nó là chặt.

01

01

m

x j a y ij i c j

i n

4) Ứng dụng của bài toán đối ngẫu:

Ví dụ 3: Cho bài toán QHTT:

Ví dụ 4:

a) Giải bài toán ở ví dụ 2 bằng phương pháp đơn hình b) Viết bài toán đối ngẫu và các cặp ràng buộc đối ngẫu c) Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu.

Giải:

a) Đáp số: x* = (0,4,0,8)

f max = f(x*) = 128

Các cặp ràng buộc đối ngẫu:

(1),(11); (2),(12); (3),(7); (4),(8); (5),(9); (6),(10)

5) Một số dạng bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Nếu x* là PATƯ của bài toán (P) Tìm toàn

bộ PATƯ của bài toán .

Phương pháp giải: Sử dụng định lý độ lệch bù yếu.

 P

Bài toán 2: Tìm PATƯ của bài toán (P).

Phương pháp giải: Giải bài toán đối ngẫu sau đó sử

dụng định lý độ lệch bù yếu tìm PATƯ của bài toán (P) Ví dụ: Giải bài toán QHTT sau:

  52 1 60 2 36 3 min

2(1)1

Bài toán 3: Cho bất kỳ x* Hỏi x* có phải là PATƯ Phương pháp giải:

Từ x* sử dụng định lý độ lệch bù yếu ta giải tìm y* Nếu có nghiệm y* và f(x * ) = thì x* là PATƯ

Nếu không có nghiệm y* thì x* không là PATƯ.

 *

f y

Giải bài toán QHTT sau đây bằng cách giải bài toán đối ngẫu và dùng định lý độ lệch bù yếu:

y x

Giải bài toán QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình Viết bài toán đối ngẫu và tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu bằng cách sử dụng định lý độ lệch bù yếu.

 

4 4

4 4

x x