Bạn cuối cùng này ta phân công vào 1 trong 5 nhóm ấy, vì bạn nào cũng phải tham gia trực nhật.. Như vậy, nhóm có bạn cuối cùng này sẽ có 3 bạn, tức là có một nhóm ít nhất 3 bạn trực nh[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG NGUYÊN TẮC ĐIRICHLÊ
1 Kiến thức cần biết
Ta xét chẳng hạn việc đặt các thìa vào các cốc Nếu số thìa và số cốc bằng
nhau thì mỗi cốc có một thìa và mỗi thìa đặt vào một cốc, tức là không thừa cái
thìa nào và cũng không thừa cái cốc nào Nếu số thìa và số cốc không bằng nhau
thì sẽ có hiện tượng : hoặc là có những cốc không (số cốc nhiều hơn số thìa )
hoặc là có những cốc thìa thừa ra (số thìa nhiều hơn số cốc) Trường hợp sau
liên quan đến một tính chất gọi là nguyên tắc Đirichlê ( P.G.L Dirichlet (1805 –
1895) là tên một nhà Toán học Đức ) Nguyên tắc Đirichlê thường được phát
biểu dưới dạng “hài hước” như sau: “Không thể nhốt 7 chú thỏ vào ba cái lồng,
sao cho trong mỗi lồng không có quả 2 chú thỏ” (nghĩa là, phải có một cái lồng
có ít nhất 3 chú thỏ )
Ta vận dụng nguyên tắc Đirichlê để giải bài tập, trong đó cần xác lập sự tương
ứng giữa các đối tượng của hai nhóm mà số lượng hữu hạn các đối tượng của
hai nhóm này không bằng nhau
2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 Tổ của Dương phải trực nhật suốt cả 5 ngày học trong tuần Tổ có 11
bạn, bạn nào cũng phải làm trực nhật Chứng tỏ rằng có một ngày ít nhất 3 bạn
trực nhật
Phân tích Trước hết, hãy xem xét có thể không phân công được 3 bạn trực nhật
một ngày hay không Ta sắp xếp 11 bạn ( có vai trò như các con thỏ ) vào 5
nhóm ( như các lồng ) mỗi nhóm trực nhật mỗi ngày Trước hết ta bố trí 5 bạn
vào 5 nhóm, còn lại 6 bạn Sau đó lại sắp xếp tiếp 5 bạn nữa vào 5 nhóm này,
như vậy mỗi nhóm có 2 bạn và còn lại 1 bạn Bạn cuối cùng này ta phân công
vào 1 trong 5 nhóm ấy, vì bạn nào cũng phải tham gia trực nhật Như vậy, nhóm
có bạn cuối cùng này sẽ có 3 bạn, tức là có một nhóm ít nhất 3 bạn trực nhật
Theo cách phân công như nói trên thì có một ngày có đúng 3 bạn trực nhật,
nhưng ở đầu bài lại đặt ra “có một ngày ít nhất 3 bạn trực nhật” Điều đó được
giải thích như sau Trước hết, về mặt lôgic, nhóm “có 3 bạn” mà ta nói “có ít
nhất 3 bạn” là đúng
Mặt khác, về ý nghĩa thực tế có thể có nhiều cách phân công trực nhật Chẳng
hạn có thể phân công một cách không hợp lí như sau : trong 4 ngày học đầu,
phân công mỗi ngày một bạn, còn lại 7 bạn ta phân công cả vào ngày cuối cùng
Thế thì rõ rằng trong ngày cuối cùng có ít nhất 3 bạn trực nhật Như vậy dù có
đúng 3 bạn, hoặc có nhiều hơn 3 bạn làm trực nhật, khả năng phân công “công
Trang 2bằng” nhất, như trình bày ở phần đầu, thì sẽ có ngày đúng 3 bạn trực nhật
Giải
Ta sắp xếp 11 bạn vào 5 nhóm, mỗi nhóm trực nhật một ngày Vì 2 x 5 = 10 <
11 nên, theo nguyên tắc Đirichlê phả có một nhóm có ít nhất 3 bạn trực nhật
Ví dụ 2 Trường em có 380 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 2 bạn cùng một ngày sinh
Phân tích Một năm thường có 365 ngày, năm nhuận có 366 ngày Giả sử 366
bạn có ngày sinh từ ngày 1 tháng 1 đến 31 tháng 12 Số còn lại là :
380 – 366 = 14 ( học sinh )
Số học sinh này cũng phải có ngày sinh là một ngày nào đó trong năm Do đó,
chắc chắn có ít nhất 2 bạn cùng một ngày sinh Ở đây ta nói ít nhất, bởi vì ta giả
sử 366 bạn có ngày sinh rải từ ngày 1-1 đến 31-12, trên thực tế có thể có 2 bạn
hoặc nhiều hơn 2 bạn có cùng một ngày sinh
Giải
Một năm có 365 hoặc 366 ngày Với 380 học sinh có 380 ngày sinh, ta sắp xếp
380 ngày sinh vào các ngày trong năm Vì 380 > 366 nên, theo nguyên tắc
Đirichlê, chắc chắn có ít nhất 2 bạn có cùng một ngày sinh
Ví dụ 3 Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên bất kỳ, bao giờ cũng có thể tìm
được 2 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 2
Phân tích Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, chỉ gồm có các số chẵn 0, 2, 4,… và các
số lẻ 1, 3, 5,… Vì thế khi có 3 số tự nhiên bất kì thì phải hoặc là trong đó có 2
số chẵn, hoặc là 2 số lẻ Trong trường hợp thứ nhất, hai số chẵn có tổng là một
số chẵn nên tổng này chia hết cho 2 như vậy, hai số chẵn này là hai số phải tìm
Còn trong trường hợp thứ hai, hai số lẻ bao giờ cũng có tổng là một số chẵn nên
tổng này cũng chia hết cho 2, do đó hai số lể này là hai số phải tìm Ở đây
nguyên tắc Đirichlê được ứng dụng ở chỗ ta có ba số tự nhiên mà chỉ có hai loại
số là số chẵn và số lẻ nên trong ba số đó bao giờ cũng có hai số hoặc cùng chẵn
hoặc cùng lẻ
Giải
Số tự nhiên gồm có chẵn và số lẻ, nên trong 3 số tự nhiên bất kì theo nguyên
tắc Đirichlê bao giờ cũng có hai số chẵn hoặc hai số lẻ Tổng của hai số này luôn
luôn là số chẵn nên chia hết cho 2
3 Bài tập tự luyện
1 Trường Kim Đồng có 30 lớp và 1000 học sinh Chứng minh rằng có một lớp
có ít nhất 34 học sinh
2 Trong lớp có 40 học sinh Hỏi có thể tìm được hay không một tháng nào đó
trong năm mà tháng đó có ít nhất 4 bạn kỉ niệm ngày sinh của mình ?
Trang 33 Tổ của Dương có 10 bạn Trong một bài viết chính tả Dương mắc phải 4 lỗi,
còn tất cả các bạn khác mắc số lỗi ít hơn Chứng minh rằng có ít nhất ba bạn
mắc số lỗi như nhau
4 Bàn cờ quốc tế gồm có 8 x 8 = 64 ô vuông bằng nhau Ném vào bàn cờ 100
viên bi thì chỉ có 35 viên bi lăn ra ngoài bàn cờ Chứng minh rằng có một ô
trong bàn cờ chứa ít nhất 2 viên bi, ( kể cả trường hợp viên bi nằm ở trên cạnh ô
vuông )
5 Cho ba số tự nhiên bất kì, trong đó không có số nào chia hết cho 3 Chứng
minh rằng bao giờ cũng có hai số mà khi chia cho 3 cho cùng một số dư
6 Một người mua cho cơ quan 25 bao thuốc lá gồm ba loại : Điện biên, Sông
cầu và Du lịch Hỏi trong số đó có thể có 9 bao thuốc lá cùng loại hay không ?
Đáp án
1 Chia 1000 học sinh vào 30 lớp thì mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? còn dư
bao nhiêu học sinh ?
Lại “phân phối” tiếp số dư vào các lớp !
2 Một năm có mấy tháng
Phân chia 40 bạn vào các tháng ấy, còn số dư lại phân chia tiếp!
3 Trừ bạn Dương ra còn lại mấy bạn?
Tất cả các bạn mắc từ mấy lỗi đến mấy lỗi?
Như vậy, bài viết chính tả chia làm mấy loại (tính theo số lỗi)?
So sánh số người và số loại bài chính tả!
3 Có bao nhiêu viên bi rơi vào bàn cờ ?
So sánh số viên bi và số ô vuông ?
4 Một số tự nhiên khi chia cho 3 thì có những loại số dư nào ?
Ba số đã cho thuộc vào mấy loại số dư ?
So sánh ba số tự nhiên với các loại số dư !
5 Chia 25 bao thuốc lá vào 3 loại thì mỗi loại có mấy bao ? còn dư mấy bao ?
Lại xếp tiếp số bao còn dư đó !
Trang 4
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí