Sở GD&ĐT Nghệ An.Trường THPT Diễn Châu 2.. Môn Toán Lớp 10- Chương trình cơ bản.. Tìm điểm Eẻ Oy để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE.. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?. Đ
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trường THPT Diễn Châu 2.
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trường năm học 2007 – 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chương trình cơ bản.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 a,(4,25 điểm) Giải phương trình: 2x2- 3 x2+2x= - 1 4- x.
b, (2,5 điểm) Tìm a để phương trình:
, có đúng 3 nghiệm phân biệt.
(x2- 4x+ 3) x- a2 = 0
Câu 2(5,0 điểm) Cho hệ phương trình (1)
(2)
mx y
ùù ớ
ùợ
a, Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệmduy nhất.
b, Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất,
hãy tìm m để y > - 3
Câu 3 a, (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 1), B(3; -1), C(-2; 3) Tìm điểm Eẻ Oy để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE.
b, (3,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình
2x- y+ 2= 0 và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho độ dài vectơ AM+ BM có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
uuur uuur
Câu 4.(2,25 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0
Chứng minh rằng: a b b c c a Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- chương trình cơ bản.(gồm có 02 trang)
Trang 2Câu 1 Tổng
điểm
a Đk: x2+ 2x³ 0 (0,25đ)Û x³ 0 hoặc xÊ - 2 (0,25đ)
Pt đã cho tương đương với 2(x2+ 2x)- 3 x2+2x+1= 0 (0,25đ)
Đặt t= x2+ 2x t, ³ 0 (0,25đ) Ta có phương trình: 2t2- 3t+1= 0 (1).(0,25đ)
Pt (1) Û t= hoặc t=1 (thỏa mãn đk ).(0,5đ)
1
Với t = 1 ta có phương trình: x2+ 2x = 1Û x2+ 2x= 1Û x2+ 2x- 1= 0
(0,5đ)
.(0,5đ)
x
Û = - 1± 2
Với t = 1 ta có phương trình:
2
2 Û x + x= Û x + x- =
(0,5đ)
.(0,5đ)
x
1 2
Đối chiếu với điều kiện phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:
(0,25đ) và (0,25đ).
x = - 1± 2 x = - ± 5
1 2
4.25đ
b Đk: x- a2³ 0Û x³ a2 (0,5đ)
Pt đã cho tương đương với x x (0,5đ) x hoặc x .(0,5đ)
x a
x a
ở
2
2 2
0 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Û a2<1 (0,5đ)Û - 1< a<1
Vậy với -1< a < 1 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5đ
Câu 2
a
Th1: Nếu m = 0, thay vào hệ ta được (0,5đ)
x x
ỡ = ù
ùợ
3 3
5
3 Vậy khi m = 0, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0,25đ)
x y
ỡ = ù ù
ù = -ù ùợ
3 5 3 Th2: Nếu m ạ 0 , hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Û m
m
-ạ
-1
3 (0,5đ) Û m2 ạ 3Û mạ ± 3 (0,5đ)
Vậy m ạ ± 3 (0,25đ)
2.0 đ
b Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Û m ạ ± 3 (0,5đ)
Từ (1) ta có: x= 3m+3+ my, (0,25đ)
thay vào (2) ta có,
(0,25đ)
m 3m+ 3+ my - 3y= 5 Û (m2- 3)y= - 3m2- 3m+ 5 Û
(vì ) (0,5đ)
y
m
=
-2 2
(0,5đ)
y > - 3Û m m
m
>
-2 2
3
m
+ >
-2 2
3 0
m m
-
->
-2
4 3
0 3
3.0đ
Trang 3(0,75đ)
Û m ẻ - Ơ -( ; ) (ẩ - 4; )
3 Vậy: m ẻ - Ơ -( ; ) (ẩ - 4; ) (0,25đ)
3
Câu 3
a Eẻ Oy nên E có tọa độ (0; y) (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE Û AB và cùng phương
uur
EC
uuur
(0,5đ)
Ta có: AB(1; -2), (-2; 3 –y) (0,5đ)
uur
EC
uuur
và cùng phương (0,5đ)
AB
uur
EC
uuur
=
(0,25đ) Vậy E(0; -1) (0,25đ)
Û y = - 1
2,5đ
0 0 Û x - y + = (0,25đ) Û y = x +
Vậy M(x0;2x +0 2)(0,25đ)
Ta có: AM x( - ; x - ) (0,25đ) ,
uuur
(0,25đ)
BM x0 2x -0 2
uuur
.(0,25đ)
uuur uuur
(0,25đ)
AM+ BM = x - 2+ x - 2
uuur uuur
= x 2- x + (0,25đ)
(0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi ,
(x )
= 0- 8 2+ 4 ³ 2
20
8 5 khi đó y =0 26 (0,5đ) Vậy tại M( (0,5đ)
5
uuur uuur
; )
8 26
5 5
3.5đ
Câu 4
Ta có: a b b c c a (a b ) (a c ) (b c ) (0,5đ)
Do a b c, , khác 0 nên a b c2, 2, 2 là các số dương áp dụng bất đẳng thức
+
a b
b a
+
a c
c a
+
b c
c b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a2 = b2 = c2 (0,25đ)
2.25đ
Ghi chú: Thí sinh làm theo các phương pháp đúng chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa
Ngô Trí Thụ