Bài giảng môn toán lớp 10 Chương 1: Công thức lượng giác55460

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I.. Cung liên kết Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo a... Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn.

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Định nghĩa

Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM = β với 0≤ β ≤ π2

Đặt α = β +k2 ,k Zπ ∈

Ta định nghĩa:

sinα =OK

cosα =OH

sin tg

cos

α

α =

α với cosα ≠0 cos

cot g

sin

α

α =

α với sinα ≠0

II Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc α

Giá trị 0 0( )o ( )30o

6

4

3

2

π

1

2

2 2

1 2

0

3

3

0

III Hệ thức cơ bản

sin α +cos α =1

2

2

1

1 tg

cos

α với k k Z( )

2

π

α ≠ + π ∈

2

2

1

t cot g

sin

α với α ≠ π ∈k k Z( )

IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo)

a Đối nhau: α và −α

( )

sin −α = −sinα

( )

cos −α =cosα

tg −α = −tg α

cot g −α = −cot g α

b Bù nhau: α và π − α

π − α = − α

c Sai nhau π: và α π + α

π + α = α

d Phụ nhau: α và

2

π

− α

2

2

2

2

π

π

π

π

⎛ − α = α⎞

e.Sai nhau

2

π: và α

2

π+ α

2

2

2

2

π

π

⎛ + α = −⎞ α

π

π

⎛ + α = − α⎞

f

+ π =

k k

cot g x k cot gx

V Công thức cộng

sin a b sinacosb sin bcosa

cos a b cosacosb sinasin b

tga tgb

tg a b

1 tgatgb

±

∓

∓

VI Công thức nhân đôi

=

=

−

−

=

2 2

sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1

2tga tg2a

1 tg a cot g a 1 cot g2a

2cot ga

−

VII Công thức nhân ba:

3 3

sin3a 3sina 4sin a

cos3a 4cos a 3cosa

VIII Công thức hạ bậc:

2

2

2

1

2 1

2

1 cos2a

tg a

1 cos2a

−

=

+

IX Công thức chia đôi

Đặt t tga

2

= (với a≠ π +k2π)

2 2 2

2

2t sina

1 t

1 t cosa

1 t 2t tga

1 t

=

+

−

=

+

=

−

X Công thức biến đổi tổng thành tích

sin a b tga tgb

cosacosb sin b a cot ga cot gb

sina.sin b

±

±

XI Công thức biển đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

−

⎤

Bài 1: Chứng minh sin a cos a 1 246 46

sin a cos a 1 3

=

Ta có:

sin a cos a 1+ − = sin a cos a+ −2sin acos a 1− = −2sin acos a2 Và:

sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 1 3sin acos a

= −

−

Do đó: sin a cos a 146 46 2sin acos a 222 22

Bài 2: Rút gọn biểu thức ( )2

2

1 cosx

1 cosx

+

Tính giá trị A nếu cosx 1

2

= − và x

2

π< < π

Ta có: A 1 cosx sin x 1 2cosx cos x2 2 2

2

2 1 cosx

1 cosx

− +

⇔ =

A

−

Ta có: sin x 1 cos x 12 2 1 3

4 4

Do: x

2

π< < π nên sinx 0>

Vậy sin x 3

2

=

Do đó A 2 4 4

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a A =2cos x sin x sin xcos x 3sin x4 − 4 + 2 2 + 2

tgx 1 cot gx 1

+

a Ta có:

A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x= − + + 2

2

A 2

⇔ = (không phụ thuộc x)

b Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1≠ ≠

Ta có: B 2 cot gx

tgx 1 cot gx 1

1 +

1 1

tgx

+

+

1 tgx

−

− − (không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh

1 cosa

−

Ta có:

cos b sin c cotg b.cotg c

sin b.sin c

2

sin c sin b

cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g bcot g c 1

2

1 cosa

1 cosa 1

2

1 cosa

1 cosa 1

+

−

+

1 cosa 2cosa. c

2sina 1 cosa

+

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong

Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn

Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC=

Ta có: A B+ = π −C

Nên: tg A B( + )= −tgC

1 tgA.tgB

+

+

Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được

3 tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥

3

P 3 P

⇔ ≥

P 3 3

⇔ ≥

Dấu “=” xảy ra

⎪

< <

⎪⎩

tgA tgB tgC

A B C

3

0 A,B,C

2

= =

Do đó: MinP 3 3 A B C

3

π

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

y =2 sin x+cos 2x

b/ y = 4sin x − cosx

a/ Ta có :

4

4

1 cos 2x

2

−

Đặt t = cos 2x với − ≤ ≤1 t 1 thì

( )4 4

1

8

=> 1( )3 3

2

Ta có : y '= 0 ú ( )3 3

1−t =8t

⇔ 1− =t 2t

⇔ t 1

3

=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y 1 1

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

Do đó : và

∈ =

x

y 3 Max

∈ =

x

1 y Min

27

b/ Do điều kiện : sinx≥ 0 và cos x ≥0 nên miền xác định

π

2 với k∈ Đặt t = cosx với 0 ≤ ≤t 1 thì t4 = cos x2 = −1 sin2x

sin x = 1−t

Vậy y = 81−t4 − t trên D '=[ ]0,1

Thì

−

−

3 7 4 8

t

2 1 t

[ )

∀ ∈t 0; 1

Nên y giảm trên [ 0, 1 ] Vậy : ∈ = ( )=

x D

x D

min y y 1 1

Bài 7: Cho hàm số y = sin x4 +cos x4 −2m sin x cosx

Tìm giá trị m để y xác định với mọi x

f (x) =sin x+cos x−2m sin x cos x

f x = sin x+cos x −m sin 2x−2 sin x cos x2

f x 1 sin 2x m sin 2x

2

Đặt : t =sin 2x với t∈ − 1 [ 1, ]

y xác định x∀ ⇔ f x( )≥ ∀ ∈0 x R

⇔ 1 2

2

− − ≥ 0 ∀ ∈t −1,1

⇔ ( ) 2

g t = t +2mt− ≤2 0 t [−1,1]

t

∀ ∈

Do Δ =' m2 + >2 0 ∀ nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt tm 1, t2 Lúc đó t t1 t2

g(t) + 0 - 0

Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ t1 ≤ − < ≤1 1 2

⇔ ( ) ⇔

( )

1g 1 0

− ≤

⎧⎪

⎨

≤

⎪⎩

2m 1 0 2m 1 0

⎧

⎩

⇔

1 m

2 1 m

2

−

⎪⎪

⎨

⎪⎩

Cách khác :

g t( ) 2

= + − ≤ ∀ ∈ − 1 t [ 1, ]

[ , ]

max ( ) max ( ), ( )

∈ −

1 1

max m ), m )

⇔ − 2 − − 1 2 + 1 ≤ 0⇔

1 m 2 1 m 2

−

⎪⎪

⎨

⎪⎩

m

⇔ − ≤ ≤1 1

Bài 8 : Chứng minh 4 4 3 4 5 47

Ta có : sin7 sin cos

π = ⎛π− π ⎞ = π

π = ⎛π− π⎞=

π 3

Mặt khác : 4 4 ( 2 2 )2 2

sin α +cos α = sin α +cos α −2 sin αcos2α

1 2sin cos

2

1

1 sin 2 2

π ⎞

⎟

⎠

3

⎞

⎟

⎠

1

3

1 3 2

2 2

= − =

Bài 9 : Chứng minh :16 sin 10 sin 30 sin 50 sin 70o o o o = 1

Ta có : A A cos 10oo 1

cos 10 cos 10

= = o (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o

o

2 cos 10

⎛ ⎞

⎝ ⎠

o

A 4 sin 20 cos 20 cos 40

cos10

=

o

1

A 2 sin 40 cos 40

cos10

=

Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tgAtgB tgBtgC tgCtgA 1

Ta có : A B C

+ = π −

2 Vậy : tgA B cot gC

+ =

⇔

1 tg tg tg

+

=

−

⇔ tgA tgB tgC 1 tgAtg

B 2

⇔ tgAtgC tgBtgC tgAtgB 1

Bài 11 : Chứng minh : 8+4tgπ+2tg π +tg π = cot g π ( )*

Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg

Mà : cot ga tga cos a sin a cos a2 sin a2

sin a cos a sin a cos a

−

cos 2a

2 cot g2a 1

sin 2a 2

Do đó :

⇔ 4 cot g 4tg 8

π − π =

⇔ 8cot g 8

4

π = (hiển nhiên đúng)

Bài :12 : Chứng minh :

a/ 2 2 2 2 2

2

b/ 1 1 1 1 cot gx cot g16x

sin 2x + sin 4x + sin 8x +sin16x = −

⎞

⎟

⎠

⎟

⎠

cos 2x 2 cos 2x cos

π

cos 2x 2 cos 2x

⎝ ⎠

3 2

=

b/ Ta có : cot ga cot gb cos a cos b sin b cos a sin a cos b

sin a sin b sin a sin b

−

( )

sin b a sin a sin b

−

=

sin x sin 2x sin 2x

−

sin 2x sin 4x sin 4x

−

sin 4x sin 8x sin 8x

−

sin 16x 8x 1

sin16x sin 8x sin16x

−

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được

cot gx cot g16x

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x

Bài 13 : Chứng minh : 8sin 183 0 +8sin 182 0 =1

Ta có: sin180 = cos720

⇔ sin180 = 2cos2360 - 1

⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1

⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1

⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 )

⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0

⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1)

Cách khác :

Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có

( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0

Bài 14 : Chứng minh :

sin x cos x 3 cos 4x

4

b/ sin 6x cos 6x 1(5 3cos 4x)

8

sin x cos x 35 28 cos 4x cos 8x

64

sin x+cos x = sin x+cos x −2 sin x cos x2

2

2

1 sin 2 4

1

1 1 cos 4 4

3 1 cos 4x

4 4

= + b/ Ta có : sin6x + cos6x

sin x cos x sin x sin x cos x cos x

( 4 4 ) 1 2

sin x cos x sin 2x

4

(

cos 4x 1 cos 4x

⎝ ⎠ ) ( do kết quả câu a )

cos 4x

c/ Ta có : 8 + 8 =( 4 + 4 )2 − 4

sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x4

3 cos 4x sin 2x

2 2

9 6 cos 4x cos 4x 1 cos 4x

cos 4x 1 cos 8x 1 2 cos 4x cos 4x

= 9 + 3cos 4x+ 1 cos 8x+ 1 cos 4x− 1 1+cos 8x

cos 4x cos 8x

Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin x3 +cos 3x.cos x3 = cos 2x3

Cách 1:

Ta có : sin 3x.sin x3 +cos 3x.cos x3 =cos 2x3

3sin x 4 sin x sin x 4 cos x 3 cos x cos x

3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x

3 sin x cos x 4 sin x cos x

3 sin x cos x sin x cos x

4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x

3 cos 2x 4 cos 2x 1⎡ sin x cos x⎤

2

1

3 cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x

4

2

1 cos 2x 3 4 1 sin 2x

4

cos 2x 1 sin 2x

3

cos 2x

=

Cách 2 :

Ta có : sin 3x.sin x3 +cos 3x.cos x3

3sin x sin 3x 3 cos x cos 3x

⎞

⎟

⎠

sin 3x sin x cos 3x cos x cos 3x sin 3x

( )

cos 3x x cos 6x

1 3cos 2x cos 3.2x 4

3cos 2x 4 cos 2x 3cos 2x

4 ( bỏ dòng này cũng được)

3

cos 2x

=

Bài 16 : Chứng minh : o o o o o 3 1

cos12 cos18 4 cos15 cos 21 cos 24

2

+

cos12 +cos18 −4 cos15 cos 21 cos 24o

2 cos15 cos 3 2 cos15 cos 45 cos 3

2 cos15 cos 3 2 cos15 cos 45 2 cos15 cos 3

2 cos15 cos 45

= −

cos 60 cos 30

2

+

= −

Bài 17 : Tính P =sin 502 o +sin 70 cos 50 cos702 − o o

Ta có : = 1( − o) (+1 − o) (− 1 o + )

o

o

P 1 cos120 cos 20 cos 20

4 2

Bài 18 : Chứng minh : o o o o 8 3

3

Áp dụng : sin a( b)

tga tgb

cos a cos b

+

Ta có : ( o o) ( o o)

tg50 +tg40 + tg30 +tg60

sin 90 sin 90 cos 50 cos 40 cos 30 cos 60

o

1 sin 40 cos 40 cos 30

2

sin 80 cos 30

2 cos10 cos 30

o o

cos 30 cos10 2

cos10 cos 30

cos 20 cos10 4

cos10 cos 30

=

o

8 3 cos 20 3

=

Bài 19 : Cho ΔABC, Chứng minh :

a/ sin A sin B sin C 4 cosAcosBcosC

2 b/ socA cos B cos C 1 4 sinAsinBsinC

2 c/ sin 2A+sin 2B+sin 2C =4 sin A sin B sin C

d/ cos A2 +cos B2 +cos C2 = −2 cos A cos B cos C

e/ tgA +tgB+tgC =tgA.tgB.tgC

f/ cot gA.cot gB+cot gB.cot gC+cot gC.cot gA =1

g/ +cot gA cot gB+cot gC =cot gA.cot gB.cot g

C 2

a/ Ta có : sin A sin B sin C 2sinA BcosA B sin A( B)

b/ Ta có : cos A cos B cos C 2 cosA BcosA B cos A( B)

2

4 sin sin sin 1

c/ sin 2A sin 2B+sin 2C= 2 sin A( +B cos A) ( −B)+2 sin C cos C

= 2 sin C cos(A−B)+2 sin C cos C

= 2sin C[cos(A−B) − cos(A+B) ]

2

= −4 sin Csin A sin( B)−

= 4 sin C sin A sin B

d/ cos A2 +cos B2 +cos C

1

1 cos 2A cos 2B cos C

2

( ) ( ) 2

1 cos A B cos A B cos C

1 cos C cos A B cos C

= − ⎡⎣ − − ⎤⎦ do (cos A( +B) = −cos C)

1 cos C cos A B cos A B

1 2 cos C cos A cos B

= −

e/ Do a+ = π −b C nên ta có

tg A( +B) = −tgC

⇔ tgA tgB tgC

1 tgAtgB

−

⇔ tgA+tgB= −tgC+tgAtgBtgC

⇔ tgA+tgB+tgC =tgAtgBtgC

f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC

⇔ 1 tgAtgB cot gC

tgA tgB

+

⇔ cot gA cot gB 1 cot gC

cot gB cot gA

− = − + (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)

⇔ cot gA cot gB 1− = −cot gC cot gB−cot gA cot gC

⇔ cot gA cot gB+cot gB cot gC+cot gA cot gC =1

g/ Ta có : tgA B cot gC

+ =

⇔

1 tg tg

+

=

−

⇔

cot g cot g 1

+

=

− (nhân tử và mẫu cho cotgA

2 cotgB

2)

⇔ cot gA cot gB cot gAcot gBcot gC cot g

2

⇔ cot gA cot gB cot gC cot gA.cot gB.cot g

2

Bài 20 : Cho ΔABC Chứng minh :

cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)

= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC

Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh :

cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4 sin3Asin3Bsin3C

Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C

2

2 cos (A B) cos (A B) 1 2sin

2 Mà : A+B = π −C nên 3(A B) 3

2 + = π −2 3C

2

=> cos3(A B) cos 3

π

3C 2 3C

cos

π

3C sin 2

= −

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C

3 A B

−

3 A B

−

3 A B

−

−

= 4 sin3Csin3Asin( 3B) 1+

4 sin sin sin 1

Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh :

tg tg cot g cos A cos B cos C 1 2 2 2

=

Ta có :

2

cos A cos B cos C 1 2 cos cos 2 sin

2

C

cot g

B

−

B

−

2 sin sin

cot g

2 2 cos .cos

=

C A B cot g tg tg

=

Bài 23 : Cho ΔABC Chứng minh :

sin cos cos sin cos cos sin cos cos

( )

Ta có : A B C

= − vậy tg A B cot gC

⇔

+

=

−

⇔ tgA tgB tgC 1 tgAtg

B 2

⇔tgAtgC tgBtgC tgAtgB 1 1( )

Do đó : (*) ú sinAcosBcosC sinBcosCcosA sinCcosAcos

sin sin sin 1

⇔ sinA cosBcosC sinBsinC cosA sinBcosC sinCcosB 1

⇔ sinAcosB C cosAsinB C 1

⇔ sinA B C 1

2

+ + = ⇔ sinπ 1

2 = ( hiển nhiên đúng)

Bài 24 : Chứng minh : tgA tgB tgC 3 cos A cos B cos C( )*

2 2 2 sin A sin B sin C

Ta có :

2

2

C 2

−

−

4 sin sin sin 4

A B A B sin A sin B sin C 2sin cos sin C

2 cos cos 2sin cos

C 2

−

4 cos cos cos

2 (2) Từ (1) và (2) ta có :

(*) ⇔

+

⇔ sinA cosBcosC sinB cosAcosC sinC cosAcosB

⎤

⎥⎦

sinAsinBsinC 1

⇔ sinA cosBcosC sinBsinC cosA sinBcosC sinCcosB 1

⇔ sinA.cosB C cosAsinB C 1

⇔sin A B C 1

2

⇔ sin 1

2

π = ( hiển nhiên đúng)

Bài 25 : Cho ΔABC Chứng minh:

cos cos cos cos cos cos

Cách 1 :

+

Ta có :

B

2 cos cos cos cos cos cos

+

−

−

cos cos

2

cos cos cos cos cos

B 2

Do đó : Vế trái

−

2

2 cos cos

cos cos

Cách 2 :

Ta có vế trái

cos cos cos cos cos cos

2

cos cos sin sin cos cos sin sin

cos cos sin sin

cos cos

− +

B

2

Mà : tgAtgB tgBtgC tgAtgB 1

(đã chứng minh tại bài 10 )

Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 : Cho ΔABC Có cot gA, cot gB, cot g

C

2 theo tứ tự tạo cấp số cộng Chứng minh cot gA.cot gC 3

Ta có : cot gA, cot gB, cot g

C

2 là cấp số cộng

⇔ cot gA cot gC 2 cot gB

2

⇔

+

=

sin sin sin

⇔

sin sin sin

=

C (do 0<B< π nên cosB 0

2 > )

⇔

cos cos sin sin

sin sin

−

= ⇔ cot gAcot gC 3

Bài 27 : Cho ΔABC Chứng minh :

Ta có : cot gA cot gB cot gC cot gA.cot gB.cot g

2

(Xem chứng minh bài 19g )

Mặt khác :tg cot g sin cos 2

cos sin sin 2

Do đó : 1 tgA tgB tgC cotg A cotgB cotgC

sin A sin B sin C

BÀI TẬP

1 Chứng minh :

a/ cos cos2 1

π− π =

2 b/ cos15oo sin15oo 3

cos15 sin15

− c/ cos2 cos4 cos6

2

−

3

d/ sin 2x sin 6x3 +cos 2x.cos 6x3 =cos 4x

tg20 tg40 tg60 tg80 =3

f/ tgπ+tg2π +tg5π+tgπ = 8 3cos

π 9

g/ cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 7