Bài giảng môn toán lớp 10 Các hệ thức lượng giác trong tam giác và giải tam giác55212

Câu 4 : Các hệ thức lượng giác trong tam giác , giải tam giác 1,5 điểmS3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 1... d Tính Đường cao ha xuất phát từ đỉnh A e Tính độ d

Câu 4 : Các hệ thức lượng giác trong tam giác , giải tam giác (1,5 điểm)

S3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ

GIẢI TAM GIÁC

1 ĐỊNH LÍ CÔSIN

Trong tam giác ABC bất kì với BC  a ; cạnh AC  b ; AB  c

Công thức :

 từ định lí côsin suy ra công thức hệ quả

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Tính độ dài đường trung tuyết trong tam giác

Trong ΔABC , gọi ma , mb , mc , lần lượt là các đường trung tuyết

từ A , B , C

a2  b2  c2  2bc cosA

b2  a2  c2  2ac cosB

c2  a2  b2  2ab cosC

a 2  b 2  c 2  2bc cosA

b 2  a 2  c 2  2ac cosB

c 2  a 2  b 2  2ab cosC

Bài tập : Cho ΔABC có các cạnh AB  13 cm ; AC  10 cm ; Â

 60 0

a) Tính Cạnh BC

b) Tính các góc  , B , C

c) Tính độ dài đường trung tuyết AM của ΔABC

Giải

a) Gọi AB  C  13 cm ; AC  b  10 cm ; BC  b  ?

Ta có : a2  b2  c2  2bc cosA

  102  132  2 10 13 cos600  139

 a  139  11,7898

 BC  11,7898 (cm)

b) CosB  ………

 ………  B  470 160 Bấm shift cos 0,6786  

c) C  1800  (A  B)  1800  (600 470160)  720 44

2 ĐỊNH LÍ SIN

Trong tam giác ABC bất kì với BC  a ; Ca  b ; AB a và bán kính đường tròn ngoại tiếp

SinA

a

SinB

b

SinC c

3 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

S  ab sinC  bc sinA  ca sinB

2

1

2

1

2 1

S 

R

abc

4

S  pr

S  p(pa (pb) (pc) ( công thức hê – rông )

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp

r 

c b a

s



 2

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

R 

s

abc

4

Công thức tính độ dài đường cao

S  a ha  2s  a ha

2 1

 2s   ha

a

s

2

Công thức nửa chu vi : P 

2

c b

a 

4 GIẢI TAM GIÁC

BÀI TẬP : ABC biết A  1200 cạnh b  8 cm ; c  5 cm

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Luyện Tập Bài tập 1: cho tam giác ΔABC có các cạnh BC  3 cm ; CA  4 cm ; AB  6 cm a) Tính A ; B ; C (áp dụng định lí côsin) b) Tính diện tích tam giác ΔABC c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC (áp dụng định lí sin) d) Tính Đường cao ha xuất phát từ đỉnh A e) Tính độ dài đường trung tuyết ma xuất phát từ đỉnh A Giải

Bài tập 2: Tam giác ΔABC có a  137,5 cm ; B  830 ; C  570 a) Tính A ; Cạnh AC và cạnh AB b) Tính diện tích tam giác c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp d) Tính độ dài đường cao cao BH e) Tính độ dài đường trung tuyết BM Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 5 : Lập phương trình đường thẳng đường tròn Các bài toán liên quan giữa đường thẳng và đường tròn (2 điểm) S1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa : vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường

của đường thẳng Δ nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng với Δ

2 Phương trình tham số của đường thẳng

a) Cho diểm M (x0 ; y0) phuo7ngtri2nh tham số của đường

thằng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u (u 1 ; u 2 )

có dạng :

x  x 0  tu 1

y  y 0  tu 2

x0 ; yo

VD1: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A (2 ; 3) và

có vectơ chỉ phương u  (1 ; 4)

u 1 ; u 2

Giải : phương trình đường thẳng của Δ là :

x  2  t

y  3  4t

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

hệ số góc của đường thẳng là k 

u u

trong đó VTCP u  (u ; u)

VD2: A (2 ; 3) Và B (3 ; 1)

Giải: vectơ chỉ phương của đường thẳng u  AB  (1 ; 2)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d

x  2  t

(t  R)

y  3  2t

Hệ số góc của đường thẳng d : k   -2

1

2



3 Vectơ pháp tuyết của đường thẳng

Định nghĩa : Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyết của đường

thảng Δ nếu n  0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của Δ

4 Phương trình tổng quát của đường thẳng

a).Định nghĩa : ax  by  c  0

Nhận xét : nếu đường thẳng d nếu có VTCP  (a ; b)

b) Phương trình Tổng quát

 VTPT của đường thẳng là n  (b ; a)

 phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (x0

; yo) và có vectơ pháp tuyết n  (a ; b)

có dạng :



VD1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1 ; -2) và có vectơ pháp tuyết n (3 ; 5)

Giải : Phương trình đường thẳng Δ là :

3(x  1)  5(y  2)  0  3x  3  5y  10  0

 3x  5y  7  0

VD2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua

A(2 ; 4) , B(1 ; 2)

Giải : Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  AB  (3 ; 2)

 Vectơ pháp tuyết của đường thẳng d là n  (2 ; 3)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là

 2(x  1) 3(y2)  0

 2x  2  3y  6  0

 2x  3y  8  0

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Xét hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x  b1y  c1  0

a2x  b2y  c1  0

Ta có các trường hợp sau đây :

a) hệ I có 1 nghiệm (x0 ; y0) , khi đó Δ1 cắt Δ2 tại điểm M0 ( x0 ; yo) b) hệ I có vô số nghiệm, khi đó Δ1 trùng với Δ2

a(x – x 0 )  b(y – y 0 )  0

c) hệ I vô nghiệm, khi đó Δ1 và Δ2 không có điểm chung, hay Δ1

song song với Δ2

VD: a) xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ : x  2y  1  0

và d 1 : 3x  6x  3  0

Giải : Xét hệ phương trình

3x  6x  3x  0 3x  6x  3

Ta thấy :  

3

1

2



3 1



 hệ phương trình có vô nghiệm vậy Δ  d1

b) Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ : x  2y  1  0

và d 2 : y  2x

Giải : Xét hệ phương trình

x  2y  1  0 x  2y  1

 

y  2x 2x  y  0

Vậy Δ cắt d2 tại điểm M - ;

5

1 5 2

c) Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ : x  2y  1  0 và d 3

: 2x  5  4y

Giải : Xét hệ phương trình

x  2y  1  0 x  2y  1

 

2x  5y  4y 2x  4y  5  Ta thấy :   3 1 4 2   5 1   Do đó hệ phương trình vô nghiệm vậy // d3 6 Góc giữa hai đường thẳng Công thức : ………

………

………

………

………

………

VD: tìm số đo của góc giữa 2 đường thẳng d1: 4x  2y  6  0 và d2 : x  3y  1  0 Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

7 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng Δ : ax  by  c  0 và điểm M (x0 ; yo) khoảng cách từ M đến Δ ký hiệu d (M ; Δ) Công thức ………

………

………

………

VD : Tính khoảng cách từ điểm M (1 ; 2) đến đường thẳng Δ : 3x  4y  7  0 Giải: khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là : ………

………

………

………

………

………

………

………

Tóm tắt kiến thức phương trình đường thẳng

1 Phương trình tham số của đường thẳng d có VTCP u  (u 1 ;

u 2 ) , M (x 0 ; y 0 )  d là :

x  x 0  tu 1

(t  R)

y  y 0  tu 2

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có VTPT n  (a ; b)

M (x 0 ; y 0 ) : a (x  x 0 )  b(y  y 0 )

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có hệ số góc k ,

M (x 0 ; y 0 )  d là :

y  y 0  k (x  x 0 ) với k 

u u

Bài Tập

Bài tập 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong

trường hợp sau :

a) Δ đi qua điểm A(3 ; 4) và vectơ chỉ phương u  (2 ; 3) b) Δ đi qua 2 điểm M (1 ; 2) và N (2 ; 3)

c) Δ đi qua điểm B (2 ; 5) và vectơ pháp tuyết n  (4 ; 3)

Giải :

a) Phương trình tham số của đường thẳng d :

x  3  2t

y  4  3t b) vectơ chỉ phương của đường thẳng d : u  MN  (3 ; 1) Phương trình tham số của đường thẳng Δ :

x  2  3t

 (t  R)

y  3  t

c) vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là : n  (3 ; 4)

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là

x  2  3t

y  5  4t

Bài tập 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong

mỗi trường hợp :

a) d qua điểm A ( 3 ; 4) và vectơ pháp tuyết n  (2 ; 3)

Giải: Vectơ chỉ phương trình của đường thẳng d là : n  (2 ; 3)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là :

2 (x  3)  3(y  (4)  0

 2x  6  3y  12  0

 2x  3y  18  0

b) d đi qua 2 điểm M (1 ; 2) và N (2 ; 3)

Giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là : u  MN  (3 ; 1) ;

n  (1 ; 3)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d

1(x  2)  3(y  3)  0

 x  2  3y  9  0

 x  3y  7  0

c) d đi qua điểm B (2 ; 5) và vectơ chỉ phương u  (4 ; 3) ; VTPT: n  (3 ; 4)

Giải : Phương trình tổng quát của đường thẳng d

3x (x  2)  4(y  5)  0

 3x  6  4y  20  0

 3x  4y  26  0

d) Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

y  y0  k(x  x0)  y  (4)  2 (x  2)

 y  4  2x  4

 2x  y  0

Bài tập 3: cho 2 điểm A (2 ; 4) , B (3 ; 1)

a) Viết phương trình tham số của đoạn thẳng AB

Giải : Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB u  AB  (5 ; 5)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là :

x  2  5t  (t  R)

y  4  5t

b) Vectơ pháp tuyết của đường thẳng AB là : n  (5 ; 5)

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là :

5(x  3)  5(y  1)  0  5x  15  5y  5  0

 5x  5y  10  0

 x  y  2  0

d) Khoảng cách từ M (3 ; 2) đến đường thẳng AB : x  y  2 

0 là :

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Luyện Tập

Bài tập 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi

trường hợp sau :

a) d đi qua điểm M (2 ; 1) và có vectơ chỉ phương u  (3 ; 4)

b) d đi qua điểm M (2 ; 3) và có vectơ pháp tuyết là n  (5 ; 1)

Bài Tập 2 : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong

mỗi trường hợp sau :

a) Δ đi qua M (5 ; 8) và có hệ số góc k  3 ;

b) Δ đi qua hai điểm A (2 ; 1) và B (4 ; 5)

Bài tập 3 : cho tam giác ABC, biết A(1 ; 4) , B (3 ; 1) , và C (6 ; 2)

a)Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB , BC , và CA b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyết AM

Bài Tập 4 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm

M (4 ; 0) và điểm N (0 ; 1)

Bài Tập 5 : Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây :

a) d1 : 4x  10y  1  0 và d2 : x  y  2  0

x  5  t

b) d1 : 12x  6y  10  0 và d2 :

y  3  2t

x  6  5t c) d1 : 8x  10y  12  0 và d2 :

y  6  4t

x  2  2t

Bài tập 6 : Cho đường thẳng d có phương trình tham số

y  3  t

Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A (0 ; 1) một khoảng bằng 5

Bài Tập 7: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình :

d1 : 4x  2y  6  0 d2 : x  3y  1  0

Bài tập 8: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường

hợp sau :

a) A (3 ; 5) Δ : 4x  3y  1  0

b) B (1 ; 2) d : 3x  4y  26  0

c) C (1 ; 2) m : 3x  4y  11  0

Bài Tập 9: Tìm bán kính của đường tròn tâm C (2 ; 2) tiếp xúc với

đường thẳng Δ : 5x  12  10  0

S2 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn : ( x  a)2 (y  b)2  R2

Được gọi là phương trình đường tròn tâm I (a ; b) bán kính R

VD: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :

a) ( C ) có tâm I (2 ; 3) bán kính là 5

Giải : Phương trình đường tròn C có tâm I (2 ; 3) và bán kính R 

5 là :

 (x  2)2  (y  3)2  25

b) ( C ) có tâm là góc toạ độ 0 , bán kính là R  3

Giải : Phương trình đường tròn ( C ) có tâm (0 ; 0) và bán kính R 

3 là :

 x2  y 2  32  92

c) ( C ) có đường kính AB với A (2 ; 5) ; B (4 ; 1)

Giải : Tâm của đường tròn ( C ) là : I (3 ; 3)

R  IA  ( 2  ) 3 (5  3)2  5

Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (3 ; 3) và bán kính R  là5

 (x  3)2  (y  3)2   55

xI  2  4  3

yI  5  1 3

R  IA  ……… d) ( C ) có tâm I (1 ; 2) và đi qua M (3 ; 5) Bán kính của đường tròn là :

R  IM ……… Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (1 ; 2) và bán kính R  5

 (x  1)2  (y  2)2  52  252

Tóm tắt phương trình đường tròn

Phương trình x 2  y 2  2ax  by  c  0 được gọi là phương trình , Tâm I (a ; b) , bán kính R  abc

VD : Xác định tâm và bán kính của đường tròn sau :

a) x 2  y 2  2x  2y  2  0

Ta có :

2a  2 a  1

 b  2  b  1

c  2 c  2