Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3.. Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt M tại hai điểm sao cho tam giác có diện tích.. a M N, lần lượt là trung điểm của AB và AD,
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2 MÔN TOÁN LỚP 11- THPT
Ngày thi 11 tháng 05 năm 2012
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề này có 05 câu, gồm 01 trang
Câu I (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm )
Cho hàm số 3 2 2 , ( m là tham số)
y f x x mx m x
1 Khi m 1, hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình 3x 20y 17 0
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f' x 0 có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 x1 x2 thoả mãn điều kiện 2
x x
Câu II (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm )
tan 4 cos 2 sin 2
3 cos
x
2 Giải hệ phương trình:
1
3 3
1
y
x y
y
Câu III ( 4,0 điểm)
1 Tìm giới hạn sau: 2 3
2
lim
4
x
x
2 Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5 lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau Lấy ngẩu nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3
Câu IV ( 6,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn 2 2 có
C x y tâm là và I điểm M 1; 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt M
tại hai điểm sao cho tam giác có diện tích
2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a M N, lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN với DM , biết SHvuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 300 Tính SH và khoảng cách giữa hai đường thẳng và SB DM theo a
Câu V ( 2,0 điểm)
Cho x y z, , là các số thực dương thoả mãn: x y z 3xyz
Chứng minh rằng:
3 4
- HẾT
-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… ………
Chú ý:- Học sinh thi khối nào ghi rõ khối đó vào tờ giấy thi VD: Bài Làm Khối B
- Học sinh thi khối B, D không phải làm câu V
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 11 (Đáp án gồm 04 trang)
I 1 ( 2,5 điểm)
(4
điểm) Với m 1 ta có hàm số 3 2 ,
y f x x x x ' 2
6 18 12
f x x x Gọi là hệ số góc của tiếp tuyến, k x y0 ; 0 là toạ độ tiếp điểm của tiếp
tuyến với đồ thị hàm số
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 3x 20y 17 0
0,75
nên . 3 1 Hay
20
k
20 3
20
3
0
1 3 8 3
x x
0,75
+) 0 0 phương trình tiếp tuyến là
y x
+) 0 0 phương trình tiếp tuyến là
y x
Vậy có hai tiếp tuyến là : 20 50 và
3 27
y x
1.00
2 ( 1,5 điểm)
f x x mx m x mx m
có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân
'
0
biệt
0,75
(do )
x m m x m m x1x2
Theo giả thiết 2
x x
2
2
m
0,75
II 1 ( 2,0 điểm)
(4
điểm) Điều kiện : cosx 0 x 2 l ,l Z
2
2
sin 4 cos 2 sin 2 cos 2
3 sin 2 1 cos 2 sin 2 3 cos 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 cos 2 3 cos 2 cos 0 sin 1 2 cos cos 2 2 3 cos 0 sin cos 2 cos 2 2 3 cos 0 cos 2 sin 3 cos 2 0
1,00
) sin 3 cos 2 0 sin cos 1
Trang 3So với điều kiện ta được nghiệm của pt là : ; 2 ,
x k x k kZ
2 ( 2,0 điểm)
Điều kiện : 1
y
y
2 2
1, 2 5
0,75
+) Với a 2,b 1
ta có
4
5, 1 4
4
3 1
x y
x y
+) Với a 1,b 2
ta có
7
4 10, 3 10 7
7
3 2
x y
x y
0,50
Thử lại ta thấy tất cả các nghiệm đều thoả mãn
Vậy hệ có 4 nghiệm
x y; 3;1 , 5; 1 , 4 10;3 10 , 4 10;3 10
0,25
III 1 ( 2,0 điểm)
(4
điểm)
2
2 2
0,50
0,50
2
2
2
2
4.4 4.3 6
0,50
0,50
2 ( 2,0 điểm)
+) Tìm số có ba chữ số khác nhau lập được từ tập E0,1, 2, 3, 4, 5
Số cần tìm có dạng abc
Chọn aE a, 0 có 5 cách
Chọn 2 trong 5 số còn lại của E\ a xếp vào hai vị trí b, c có cách.2
5
A
Vậy có 2 (số)
5
5.A 100
1,00
+) Tính số lập được chia hết cho 3
Số cần tìm có dạng abc , a b c 3
Xét các tập con gồm 3 phần tử của tập E0,1, 2, 3, 4, 5 , ta thấy chỉ có
các tập sau thoả mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là:
Trang 4
A 0,1, 2 , A 0,1, 5 , A 0, 2, 4 , A 0, 4, 5
A 1, 2, 3 , A 1, 3, 5 , A 2, 3, 4 , A 3, 4, 5
Khi a b c, , A A A A1 , 2 , 3 , 4 mỗi trường hợp lập được 4 số thoả mãn yêu cầu
Khi a b c, , A A A A5 ; 6 ; 7 ; 8 mỗi trường hợp lập được 6 số thoả mãn yêu cầu
Vậy có 4.4 4.6 40(số)
Suy ra số không chia hết cho 3 là100 40 60 (số)
Xác suất cần tính là 60
0, 60 100
1,00
IV 1 ( 3,0 điểm)
(6
điểm) (C) có tâm I 1; 2 , R 2 ; Đường thẳng đi qua M 1; 0 có phương
trình
Giả sử cắt (C) tại hai điểm thoả mãn
Gọi H là hình chiếu của I trên AB H là trung điểm của AB 3
IAB
0 0
60
IAB
AIB
AIB
1,00
AIB IH IA d I , IH 3
2 2
4 15 , 1
2 2
15 4 , 1
Pt là 4 15x y 4 15 0; 4 15x y 4 15 0
1,00
AIB IH IA d I , IH 1
2 2
, 1
, 1 3
Pt là 4 7x 3y 4 7 0; 4 7x 3y 4 7 0
Vậy có 4 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán
1,00
2 ( 3,0 điểm)
Ta có
mà
0 0 0
90 90 90
DHC
Hay DM CN
Trong tam giác DCN ta
có
5
DCN
DH CN DN DC S
DN DC a DH
CN
CH DC DH
1,00
A
D
B
C
H N
M S
Trang 5Từ H kẻ HI CD, do SH ABCDSH CD, từ đó suy ra CDSHI
SCD ABCD SI HI, SIH 30 0
Trong tam giác vuông DHC ta có . 2
5
HI
CD
Trong tam giác vuông SHI ta có 0 2 3
tan 30
15
a
1,00
Gọi K là trung điểm của DC BK//DM
Gọi E là giao điểm của BK và CN, từ H kẻ HFSE 1 ,
do BK CN BK SHE BK HF 2
Từ (1) và (2) suy ra HF SBKHF d H SBK ,
Ta có EK//HD mà K là trung điểm của DC nên E là trung điểm của HC
1 5 Trong tam giác vuông ta có
a
12 12 12 52 752 952 2
a HF
HF HE HS a a a
95
a
d DM SB d H SBK HF
1,00
V ( 2 điểm)
(2
x y z xyz
xy yz zx
Đặt 1 1 1 , , 0
3
a b c
ab bc ca
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
3
0,50
Do ab + bc + ca = 3 nên
VT (*) =
b ab bc cac ab bc caa ab bc ca
=
b c a b c a b c a b c a
b c a b
(1)
3
5 2
b c a b
0.75
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
3
5 2
c a b c
3
5 2
a b c a
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được (*)
4
a b c
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được :
a + b + c ≥ 3(ab bc ca )= 3
Đẳng thức xảy ra khi a b c 1 hay x y z 1 (Đpcm)
0,75
Trang 6Chú ý: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
